치환적분법

정리 1 \(\int f(t)dt=F(t)\) 이면 \[\begin{split}\int f\{g(x)\}g'(x)dx&=\int f(t)dt\qquad(t=g(x))\\&=F\{g(x)\}\end{split}\]

<증명> \(t=g(x)\)라 놓고 합성함수의 미분법을 이용하면

\[\frac{d}{dx}F\{g(x)\}=\frac{d}{dx}F(t)\frac{dt}{dx}=f(t)g'(x)=f\{g(x)\}g'(x)\]

따라서

\[\int f\{g(x)g'(x)=F\{g(x)\}\]

이 공식을 치환적분법의 공식이라 한다.

[예제 1] 다음 함수를 적분하여라.

\((1)\ x(x^2+1)^2\qquad(2)\ \frac{x}{(x^2+2)^n}(n\ne1)\qquad(3)\ \frac{x}{\sqrt{2x^2+3}}\)

\((4)\ \frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\qquad(5)\ \frac{x}{\sqrt{1-x^4}}\qquad(6)\ xe^{x^2}\)

\((7)\ \sqrt{\frac{3-x}{1+x}}\qquad(8)\ \frac{({\rm Sin}^{-1})^2}{\sqrt{1-x^2}}\qquad(9)\ (x^2+1)\sqrt[3]{x^3+3x+1}\)

<풀이>

\((1)\ x^2+1=t\ \text{라 두면}\ xdx=dt/2\)

\(\int x(x^2+1)^2dx={1\over2}\int t^2dt={t^3\over6}={(x^2+1)^3\over6}\)

\((2)\ x^2+2=t\ \text{라 두면}\ xdx=dt/2\)

\(\int\frac{x}{(x^2+2)^n}dx={1\over2}\int t^{-n}dt=\frac{t^{-n+1}}{2(-n+1)}=-\frac{1}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}}\)

\((3)\ 2x^2+3=t\ \text{라 두면}\ xdx=dt/4\)

\(\int\frac{x}{\sqrt{2x^2+3}}dx={1\over4}\int\frac{dt}{\sqrt{t}}={\sqrt{t}\over2}={\sqrt{2x^2+3}\over2}\)

\((4)\ x^2+1=t\ \text{라 두면}\ xdx=dt/2\)

\(\int\frac{x^3}{\sqrt{2x^2+1}}dx={1\over2}\int\frac{t-1}{\sqrt{t}}dt={t-3\over3}\sqrt{t}={x^2-2\over3}\sqrt{x^2+1}\)

\((5)\ x^2=t\ \text{라 두면}\ xdx=dt/2\)

\(\int\frac{x}{\sqrt{1-x^4}}dx={1\over2}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}={1\over2}{\rm Sin}^{-1}t={1\over2}{\rm Sin}^{-1}x^2\)

\((6)\ x^2=t\ \text{라 두면}\ xdx=dt/2\)

\(\int e^{x^2}dx={1\over2}\int e^tdt={1\over2}e^t={1\over2}e^{x^2}\)

\((7)\) 피적분함수를 다음과 같이 변형한다.

\(\sqrt{\frac{3-x}{1+x}}=\frac{3-x}{\sqrt{(1+x)(3-x)}}=\frac{2}{\sqrt{4-(x-1)^2}}-\frac{x-1}{\sqrt{4-(x-1)^2}}\)

여기서 제2항의 적분을 계산하기 위하여 \((x-1)^2=t\)라 두면 \((x-1)dx=dt/2\)

\(\int\frac{x-1}{\sqrt{4-(x-1)^2}}dx={1\over2}\int\frac{dt}{\sqrt{4-t}}=-\sqrt{4-t}=-\sqrt{(1+x)(3-x)}\)

이것을 위의 식에 대입하면

\(\int\sqrt{\frac{3-x}{1+x}}dx=2{\rm Sin}^{-1}\frac{x-1}{2}+\sqrt{(1+x)(3-x)}\)

\((8)\ x=\sin\theta\)라 두면, \(dx=\cos\theta d\theta,\) 또 \({\rm Sin}^{-1}x=\theta\)

\(\int\frac{({\rm Sin}^{-1}x)^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int\frac{\theta^2}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}\cos\theta d\theta=\int\theta^2d\theta={\theta^3\over3}={({\rm Sin}^{-1}x)^3\over3}\)

\((9)\ x^3+3x+1=t\)라 두면, \((x^2+1)dx=dt/3\).

\(\int(x^2+1)\sqrt[3]{x^3+3x+1}dx={1\over3}\int\sqrt[3]{t}dt={t\sqrt[3]{t}\over4}={1\over4}(x^3+3x+1)\sqrt[3]{x^3+3x+1}\)

치환적분법에 의해서 다음 공식들을 증명할 수 있다. 즉,

\(\begin{matrix}\int f(ax+b)dx={1\over a}F(ax+b)\quad(\int f(x)dx=F(x),\,a\ne0)&(1)\\\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ \ &(2)\\\int\{f(x)\}^\alpha f'(x)dx={1\over\alpha+1}\{f(x)\}^{\alpha+1}\quad(\alpha\ne-1)\qquad\qquad\ \,&(3)\end{matrix}\)

(1)의 증명 : \(ax+b=t\)라 두면 \(dx=dt/a\)

\(\int f(ax+b)dx={1\over a}\int f(t)dt={1\over a}F(t)={1\over a}F(ax+b)\)

(2)의 증명 : \(f(x)=t\)라 두면 \(f'(x)dx=dt\)

\(\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|=\ln|f(x)|\)

(3)의 증명 : \(f(x)=t\)라 두면 \(f'(x)dx=dt\)

\(\int\{f(x)\}^\alpha f'(x)dx=\int t^\alpha dt={1\over\alpha+1}t^{\alpha+1}={1\over\alpha+1}\{f(x)\}^{\alpha+1}\)

또, 치환적분법에 의하면 다음과 같은 꼴의 적분을 계산할 수 있다. 이 때, 각각은 (  ) 안에서와 같은 치환을 한다.

\[\begin{matrix}\int f(\cos{x})\sin{x}dx\ (\cos{x}=t)&\int f(\sin{x})\cos{x}dx\ (\sin{x}=t)\\\int f(e^x)dx\ (e^x=t)\qquad\qquad\ \,&\int f(\ln{x})\frac{dx}{x}\ (\ln{x}=t)\qquad\quad\end{matrix}\]

[예제 2] 다음 함수를 적분하여라.

\((1)\ \sin^2x\cos{x}\qquad(2)\ \frac{\sin{x}}{\cos^2x}\qquad(3)\ \frac{1}{e^x+e^{-x}}\qquad(4)\ {1\over x\ln{x}}\qquad(5)\ \frac{\sin{x}}{1+\cos^2x}\qquad(6)\ {1\over\sin{x}}\)

<풀이>

\((1)\ \sin{x}=t\)라 두면 \(\cos{x}dx=dt\)

\(\int\sin^2x\cos{x}dx=\int t^2dt={t^3\over3}={\sin^3x\over3}\)

\((2)\ \cos{x}=t\)라 두면 \(\sin{x}dx=-dt\)

\(\int\frac{\sin{x}}{\cos^2x}dx=-\int\frac{dt}{t^2}={1\over t}=\sec{x}\)

\((3)\ e^x=t\)라 두면 \(e^xdx=dt\)

\(\int\frac{dx}{e^x+e^{-x}}=\int\frac{dt}{t^2+1}={\rm Tan}^{-1}t={\rm Tan}^{-1}e^x\)

\((4)\ \ln{x}=t\)라 두면 \(dx/x=dt\)

\(\int\frac{dx}{x\ln{x}}=\int{dt\over t}=\ln|t|=\ln|\ln{x}|\)

\((5)\ \cos{x}=t\)라 두면 \(\sin{x}dx=-dt\)

\(\int\frac{\sin{x}}{1+\cos^2x}dx=-\int\frac{dt}{1+t^2}=-{\rm Tan}^{-1}t=-{\rm Tan}^{-1}(\cos{x})\)

\((6)\ \) 삼각함수 항등식 2배각의 공식을 이용한다. \(\tan{x\over2}=t\)라 두면, \({1\over2}\sec^2{x\over2}dx=dt\)

\(\int\frac{dx}{\sin{x}}=\int\frac{dx}{2\sin{x\over2}\cos{x\over2}}={1\over2}\int\frac{\sec^2{x\over2}}{\tan{x\over2}}dx=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|=\ln|\tan{x\over2}|\)

<별해>

\(\cos{x}=t\)라 두면, \(-\sin{x}dx=dt\)

\(\int\frac{dx}{\sin{x}}=\int\frac{\sin{x}}{1-\cos^2x}dx=-\int\frac{dt}{1-t^2}={1\over2}\ln|\frac{t-1}{t+1}|={1\over2}\ln|\frac{\cos{x}-1}{\cos{x}+1}|\)

계산에 익숙해지면 새로운 변수를 치환하지 않고, 암산하여 간단히 처리한다. 예를 들면 다음과 같이 계산한다.

\[\begin{align}&\int\frac{\sin{x}}{\cos{x}}dx=-\int\frac{d(\cos{x})}{\cos{x}}=-\ln|\cos{x}|\\&\int\frac{\sec^2{x\over2}}{2\tan{x\over2}}dx=\int\frac{d(\tan{x\over2})}{\tan{x\over2}}=\ln|\tan{x\over2}|\\&\int\frac{e^x}{1+e^x}dx=\int\frac{d(1+e^x)}{1+e^x}=\ln(1+e^x)\\&\int4(x^4+2)^nx^3dx=\int(x^4+2)^nd(x^4+2)=\frac{(x^4+2)^{n+1}}{n+1}\ (n\ne-1)\end{align}\]

정리 1의 공식에서 \(x\)와 \(t\)를 서로 바꾸면

\[\int f(x)dx=\int f\{g(t)\}g'(t)dt=\Phi(t)\]

가 된다. 이 결과에 \(x=g(t)\)의 역함수 \(t=g^{-1}(x)\)를 대입하면

\[\int f(x)dx=\Phi(g^{-1}(x))\]

가 된다. 이와 같은 방법으로 \(\int f(x)dx\)를 계산함에 있어서 최후의 단계에서 \(x=g(t)\)의 역함수 \(t=g^{-1}(x)\)를 대입할 필요가 있다. 그러므로 \(g'(t)\ne0\) 이라야 한다. 결국 적분변수의 변환 \(x=g(t)\)에 나타나는 함수 \(g(t)\)는 단조함수가 아니면 안된다. 다시 말하면 \(g(t)\)가 단조인 범위에 있어서만 치환적분법이 유효한 것이다.

다음 적분을 계산해 보자.

\[\int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^n}}\]

적분변수를

\[\sqrt{1+x^n}=t\]

로 변환하면 \(x^n=t^2-1,\,nx^{n-1}dx=2tdt\). 따라서

\[\int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^n}}={2\over n}\int\frac{dt}{t^2-1}={1\over n}\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|={1\over n}\ln\left|\frac{\sqrt{1+x^n}-1}{\sqrt{1+x^n}+1}\right|\]

[예제 3] 다음 함수를 적분하여라.

\((1)\ x\sqrt{3-x}\qquad(2)\ \frac{1}{x+2\sqrt{x-3}}\)

<풀이>

\((1)\ \sqrt{3-x}=t\)라 두면 \(x=3-t^2,\,dx=-2tdt\).

\(\int x\sqrt{3-x}dx=\int(2t^4-6t^2)dt={2\over5}t^3(t^2-5)={2\over5}(x-3)(x+2)\sqrt{3-x}\)

\((2)\ \sqrt{x-3}=t\)라 두면 \(x=t^2+3,\,dx=2tdt\).

\(\int\frac{dx}{x+2\sqrt{x-3}}=\int\frac{2tdt}{t^2+2t+3}=\int\frac{2t+2}{t^2+2t+3}dt-2\int\frac{dt}{(t+1)^2+2}=\ln|t^2+2t+3|-\sqrt{2}{\rm Tan}^{-1}{t+1\over\sqrt{2}}\)

\(=\ln|x+2\sqrt{x-3}|-\sqrt{2}{\rm Tan}^{-1}\frac{\sqrt{x-3}+1}{\sqrt{2}}\)

[예제 4] 다음 함수를 적분하여라. \((a>0)\)

\((1)\ \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}\qquad(2)\ \frac{1}{x+3+\sqrt{x+2}}\)

<풀이>

\((1)\ \sqrt{x^2-a^2}=t\)라 두면 \(x^2=t^2+a^2,\,xdx=tdt\).

\(\int\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}dx=\int\frac{t^2}{t^2+a^2}dt=\int dt-a^2\int\frac{dt}{t^2+a^2}=t-a{\rm Tan}^{-1}{t\over a}=\sqrt{x^2-a^2}-a{\rm Tan}^{-1}\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}\)

\((2)\ \sqrt{x+2}=t\)라 두면 \(x=t^2-2,\,dx=2tdt\).

\(\int\frac{dx}{x+3+\sqrt{x+2}}=\int\frac{2t+1}{t^2+t+1}dt-\int\frac{dt}{(t+{1\over2})^2+({\sqrt{3}\over2})^2}=\ln(t^2+t+1)-{2\over\sqrt{3}}{\rm Tan}^{-1}{2t+1\over\sqrt{3}}\)

\(=\ln(x+3+\sqrt{x+2})-{2\over\sqrt{3}}{\rm Tan}^{-1}\frac{2\sqrt{x+2}+1}{\sqrt{3}}\)

《문     제》

1. 다음 함수를 적분하여라.

\((1)\ x(x^2+2)^3\qquad(2)\ \frac{x}{(x^2-1)^3}\qquad(3)\ x\sqrt{a^2-x^2}\qquad(4)\ \frac{s}{\sqrt{4+s^2}}\)

\((5)\ (2x+3)\sqrt{x^2+3x+2}\qquad(6)\ t^3\sqrt{t^2+2}\qquad(7)\ x(x+\sqrt{x^2-4})\qquad(8)\ \frac{x+1}{\sqrt{4-x^2}}\)

\((9)\ \frac{s^3}{\sqrt{1-s^2}}\qquad(10)\ x^2\sqrt{x^3+a^3}\qquad(11)\ \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\qquad(12)\ \sqrt{\frac{x-3}{x-1}}\)

<풀이>

\((1)\ x^2+2=t\)라 두면, \(2xdx=dt\).

\(\int x(x^2+2)^3dx={1\over2}\int t^3dt={t^4\over8}=\frac{(x^2+2)^4}{8}\)

\((2)\ x^2-1=t\)라 두면, \(2xdx=dt\).

\(\int\frac{x}{(x^2-1)^3}dx={1\over2}\int\frac{dt}{t^3}=-{1\over4t^2}=-{1\over4(x^2-1)^2}\)

\((3)\ a^2-x^2=t\)라 두면, \(-2xdx=dt\).

\(\int x\sqrt{a^2-x^2}dx=-{1\over2}\int\sqrt{t}dt=-{1\over3}t\sqrt{t}=-{1\over3}(a^2-x^2)\sqrt{a^2-x^2}\)

\((4)\ 4-s^2=t\)라 두면, \(2sds=dt\).

\(\int\frac{s}{\sqrt{4+s^2}}ds={1\over2}\int\frac{dt}{\sqrt{t}}=\sqrt{t}=\sqrt{4+s^2}\)

\((5)\ x^2+3x+2=t\)라 두면, \((2x+3)dx=dt\).

\(\int(2x+3)\sqrt{x^2+3x+2}dx=\int\sqrt{t}dt={2\over3}(x^2+3x+2)\sqrt{x^2+3x+2}\)

\((6)\ t^2+2=x\)라 두면, \(2tdt=dx\).

\(\int t^3\sqrt{t^2+2}dt={1\over2}\int(x-2)\sqrt{x}dx={1\over15}x\sqrt{x}(3x-10)={1\over12}(t^2+2)\sqrt{t^2+2}(3t^2-4)\)

\((7)\ x^2-4=t\)라 두면, \(2xdx=dt\).

\(\int x(x+\sqrt{x^2-4})dx=\int x^2dx+{1\over2}\int\sqrt{t}dt={x^3\over3}+{1\over3}t\sqrt{t}={1\over3}\{x^3+(x^2-4)\sqrt{x^2-4}\}\)

\((8)\ 4-x^2=t\)라 두면, \(-2xdx=dt\).

\(\int\frac{x+1}{\sqrt{4-x^2}}dx=-{1\over2}\int\frac{dt}{\sqrt{t}}+\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}=-\sqrt{t}+{\rm Sin}^{-1}{x\over2}=-\sqrt{4-x^2}+{\rm Sin}^{-1}{x\over2}\)

\((9)\ 1-s^2=t\)라 두면, \(-2sds=dt\).

\(\int\frac{s^3}{\sqrt{1-s^2}}ds=-{1\over2}\int\frac{1-t}{\sqrt{t}}dt={\sqrt{t}\over3}(t-3)=-\frac{\sqrt{1-s^2}(s^2+2)}{3}\)

\((10)\ x^3+a^3=t\)라 두면, \(3x^3dx=dt\).

\(\int x^2\sqrt{x^3+a^3}dx={1\over3}\int\sqrt{t}dt={1\over9}(x^3+a^3)\sqrt{x^3+a^3}\)

\((11)\) 피적분함수를 다음과 같이 변형한다.

\(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\frac{1+x}{\sqrt{(1-x)(1+x)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

제2항의 적분을 계산하기 위하여 \(1-x^2=t\)라 두면 \(-2xdx=dt\).

\(\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=-{1\over2}\int\frac{dt}{\sqrt{t}}=-\sqrt{t}=-\sqrt{1-x^2}\)

이것을 원래 적분식에 대입하면

\(\int\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}+\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx={\rm Sin}^{-1}x-\sqrt{1-x^2}\)

\((12)\) 피적분함수를 다음과 같이 변형한다.

\(\sqrt{\frac{x-3}{x-1}}=\frac{x-3}{\sqrt{(x-1)(x-3)}}=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-4x+3}}=\frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2-1}}-\frac{1}{\sqrt{(x-2)^2-1}}\)

제1항의 적분을 계산하기 위하여 \((x-2)^2=t\)라 두면 \(2(x-2)dx=dt\).

\(\int\frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2-1}}dx={1\over2}\int\frac{dt}{\sqrt{t-1}}=\sqrt{t-1}=\sqrt{(x-1)(x-3)}\)

이것을 원래 적분식에 대입하면

\(\int\sqrt{\frac{x-1}{x-3}}dx=\int\frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2-1}}dx-\int\frac{dx}{\sqrt{(x-2)^2-1}}\)

\(=\sqrt{(x-1)(x-3)}-\ln|x-2+\sqrt{(x-1)(x-3)}|\)

2. 다음 함수를 적분하여라.

\((1)\ \sin{x}\cos{x}\qquad(2)\ \sin{x}\cos^2x\qquad(3)\ \sin^3x\cos^3x\qquad(4)\ \frac{\cos{x}}{\sin^2x}\qquad(5)\ \frac{\sin{x}}{\sqrt{\cos{x}}}\)

\((6)\ \frac{e^x}{1+e^x}\qquad(7)\ \frac{\ln{x}}{x}\qquad(8)\ {1\over x}\left(\sqrt{\ln{x}}+{1\over\sqrt{\ln{x}}}\right)\qquad(9)\ \frac{1}{x(\ln{x})^2}\)

<풀이>

\((1)\ \int\sin{x}\cos{x}dx=\int\sin{x}d(\sin{x})=\frac{\sin^2x}{2}\) 또는 \(-\frac{\cos^2x}{2}\)

\((2)\ \int\sin{x}\cos^2xdx=-\int\cos{x}d(\cos{x})=-{\cos^3x\over3}\)

\((3)\ \int\sin^3x\cos^3xdx=\int(\sin^3x-\sin^6x)d(\sin{x})={\sin^4x\over4}-{\sin^6x\over6}\) 또는 \(-{\cos^4x\over4}+{\cos^6x\over6}\)

\((4)\ \int\frac{\cos{x}}{\sin^2x}dx=\int\frac{d(\sin{x})}{\sin^2x}=-{1\over\sin{x}}\)

\((5)\ \int\frac{\sin{x}}{\sqrt{\cos{x}}}dx=-\int\frac{d(\cos{x})}{\sqrt{\cos{x}}}=-2\sqrt{\cos{x}}\)

\((6)\ \int\frac{e^x}{1+e^x}dx=\int\frac{d(1+e^x)}{1+e^x}=\ln(1+e^x)\)

\((7)\ \int\frac{\ln{x}}{x}dx=\int\ln{x}d(\ln{x})={(\ln{x})^2\over2}\)

\((8)\ \int{1\over x}\left(\sqrt{\ln{x}}+{1\over\sqrt{\ln{x}}}\right)dx=\int\left(\sqrt{\ln{x}}+{1\over\sqrt{\ln{x}}}\right)d(\ln{x})={2\over3}\ln{x}\sqrt{\ln{x}}+2\sqrt{\ln{x}}\)

\((9)\ \int\frac{dx}{x(\ln{x})^2}=\int\frac{d(\ln{x})}{(\ln{x})^2}=-{1\over\ln{x}}\)

3. 다음 함수를 적분하여라.

\((1)\ \frac{\sqrt{x}}{x+1}\qquad(2)\ \frac{1}{x+\sqrt{x+2}}\)

<풀이>

\((1)\ \sqrt{x}=t\)로 변환하면 \(x=t^2,\,dx=2tdt\).

\(\int\frac{\sqrt{x}}{x+1}dx=2\int\frac{t^2}{t^2+1}dt=2\int\left(1-{1\over t^2+1}\right)dt=2(t-{\rm Tan}^{-1}t)=2(\sqrt{x}-{\rm Tan}^{-1}\sqrt{x})\)

\((2)\ \sqrt{x+2}=t\)로 변환하면 \(x+2=t^2,\,dx=2tdt\)

\(\int\frac{dx}{x+\sqrt{x+2}}=\int\frac{2t}{t^2+t-2}dt=\int\frac{2t+1}{t^2+t-2}dt-\int\frac{dt}{(t-{1\over2})^2-({3\over2})^2}=\ln|t^2+t-2|-{1\over3}\ln\left|\frac{t-1}{t+2}\right|\)

\(=\ln|x+\sqrt{x+2}|-{1\over3}\ln\left|\frac{\sqrt{x+2}-1}{\sqrt{x+2}+2}\right|\)