2 변수 함수

함수와 그래프

정의 1 (\(\epsilon\)-近傍) 평면 상의 한 점 \({\rm A}(a,\,b)\)에서 거리가 \(\epsilon\)보다 작은 점 \({\rm P}(x,\,y)\)들의 집합

\[{\rm N}_\epsilon({\rm A})=\{{\rm P}|\rho({\rm A,\,P})<\epsilon\}=\left\{(x,\,y)|\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\epsilon\right\}\]

를 \(\rm A\)의 \(\epsilon\)-근방(近傍)이라고 한다(단, \(\rho(\rm A,\,P)\)는 두 점 \(\rm A,\,P\) 사이의 거리를 표시한다) .

평면전체 또는 그 부분집합 \(\rm D\) 내의 임의의 점 \({\rm P}(x,\,y)\)에 단 하나의 실수 \(z\)를 대응시키는 대응규칙을, \(\rm D\)를 정의역으로 하는 함수라 하고,

\[f\ :\ \rm D\ \to\ R\]

로 나타낸다. 함수 \(f\)의 정의역을 \({\rm D}_f\)로 표시한다. \(f\)에 의해 점 \(\rm P\)에 실수 \(z\)가 대응한다는 것을

\[z=f({\rm P})=f(x,\,y)\]

로 나타내며, 이러한 실수 \(z\)의 집합을 \(f\)의 치역이라 하고 \({\rm R}_f\)로 표시한다.

\(x=f(x,\,y)\)는 두 변수 \(x\)와 \(y\)의 값이 주어질 때, \(z\)의 값이 정해지므로 \(f\)를 2변수 함수(二變數函數)라고 한다.

3개 이상의 변수에 관한 함수도 같은 방법으로 정의될 수 있는데 2변수 이상의 함수를 다변수함수(多變數函數)라 한다.

[예제 1] 2변수 함수의 예

(1) \(f(x,\,y)=3x-2y\), 정의역은 전평면

(2) \(f(x,\,y)=1-x^2-y^2\), 정의역은 전평면

(3) \(f(x,\,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}\), 정의역은 원점을 중심으로 하고 반경이 1인 원과 그 내부

(4) \(f(x,\,y)=\dfrac{x}{y}\), 정의역은 전평면에서 \(x\)축을 제외한 집합

(5) \(f(x,\,y)=\dfrac{x+y}{x^2+y^2}\), 정의역은 전평면에서 원점 \((0,\,0)\)을 제외한 집합

2변수 함수 \(z=f(x,\,y)\)에 대하여 점 \((x,\,y,\,f(x,\,y))\)의 집합을 2변수 함수 \(f\)의 그래프라 한다. 2변수 함수의 그래프는 일반적으로 곡면이다.

[예제 2] 함수 \(z=f(x,\,y)=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\)의 그래프는 아래와 같이 곡면이다.

이 곡면을, 평면 \(z=k(>0)\)으로 자르면 절단면은 타원

\[\frac{x^2}{(a\sqrt{k})^2}+\frac{y^2}{(b\sqrt{k})^2}=1\]

이며, 평면 \(y=k\)로 자르면 절단면은

\[z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}\]

이라는 포물선이 된다. 평면 \(x=k\)로 자른 절단면도 포물선이다. 이 곡면을 타원포물면이라 한다.

[예제 3] 함수 \(z=f(x,\,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}\)의 그래프는 원점을 중심으로 하는 반경이 1인 구면을, \(xy\)평면으로 자른 상반구면이다.

극한

정의 2 2변수 함수 \(f\)가 점 \({\rm A}(a,\,b)\)의 근방에서 정의되어 있다고 하자(점 \({\rm A}(a,\,b)\)에서는 정의되어 있지 않아도 좋다). 점 \({\rm P}(x,\,y)\)가 일정한 \({\rm A}(a,\,b)\)에 한없이 접근할 때, \(f(x,\,y)\)의 값은 한없이 일정한 값 \(\alpha\)에 가까와지면, 함수 \(f\)는 점 \({\rm A}(a,\,b)\)에서 극한치 \(\alpha\)를 갖는다고 하고

\[\lim_{(x,\,y)\to(a,\,b)}f(x,\,y)=\lim_{\rm P\to A}f({\rm P})=\alpha\]

로 표시한다.

위와 같은 직관적인 극한의 개념을 \(\epsilon-\delta\)법으로 정의하면 다음과 같다.

「임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여, 적당한 양수 \(\delta\)가 존재하여

\[0<\sqrt{(x-a)^2+(x-b)^2}<\delta\]

인 모든 점 \((x,\,y)\)에 대하여 \(|f(x,\,y)-\alpha|<\epsilon\)이 성립할 때, 함수 \(f(x,\,y)\)는 점 \({\rm A}(a,\,b)\)에서 극한치 \(\alpha\)를 갖는다고 한다.」

정의 3 (연속) 함수 \(f\)가 점 \({\rm A}(a,\,b)\)의 근방에서 정의되어 있을 때,

\[\lim_{(x,\,y)\to(a,\,b)}f(x,\,y)=f(a,\,b)\ \text{즉},\ \lim_{\rm P\to A}f({\rm P})=f({\rm A})\]

이면, \(f\)는 점 \({\rm A}(a,\,b)\)에서 연속(連續)이라 한다.

[예제 1] 다음 함수에 대하여 \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}f(x,\,y)\)를 조사하여라.

(1) \(\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\)          (2) \(\dfrac{xy}{x^2+y^2}\)

<풀이> 평면상의 극좌표계를 이용하면

\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta\]

이므로, \((x,\,y)\to(0,\,0)\)은 \(r\to0\)를 의미한다. 따라서

(1) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=\lim_{r\to0}{r\over2}\sin2\theta\cos\theta=0\)

(2) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}=\lim_{r\to0}{1\over2}\sin2\theta\)

이지만, 이 값은 점 \((x,\,y)\)가 원점에 접근하는 방향에 따라 \(\dfrac{1}{2}\)와 \(-\dfrac{1}{2}\) 사이의 임의의 값을 갖는다. 따라서 원점 \((0,\,0)\)에서의 극한은 존재하지 않는다.

[예제 2] \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\left(x\sin{1\over y}+y\cos{1\over x}\right)\)를 구하여라.

<풀이> \(\displaystyle\left|x\sin{1\over y}+y\cos{1\over x}\right|\le|x|+|y|\) 이므로

\(\displaystyle0\le\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\left|x\sin{1\over y}+y\cos{1\over x}\right|\le\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}(|x|+|y|)=0\)

따라서 \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\left(x\sin{1\over y}+y\cos{1\over x}\right)=0\)

《문     제》

1. 다음 함수의 정의역을 구하여라.

(1) \(f(x,\,y)=\dfrac{1}{x^2-y^2}\)                          (2) \(f(x,\,y)=\sqrt{3^2-x^2-y^2}\)

(3) \(f(x,\,y)=\ln(3x-5y)\)                   (4) \(f(x,\,y)=e^{-(x^2+y^2)}\)

<풀이>

(1) \(y=\pm x\)를 제외한 전평면

(2) 원점을 중심으로 하고 반경이 3인 원둘레 및 내부

(3) 평면상에서 직선 \(y=3x/5\) 아래쪽

(4) 전평면

2. 다음 식으로 정의되는 함수 \(f\)에 대하여, 각각

(i) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}f(x,\,y)\)          (ii) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left\{\lim_{y\to0}f(x,\,y)\right\}\)          (iii) \(\displaystyle\lim_{y\to0}\left\{\lim_{x\to0}f(x,\,y)\right\}\)

를 구하여라.

(1) \(\dfrac{x+y}{x-y}\)           (2) \(\dfrac{x^2+y^2}{xy+(x-y)^2}\)          (3) \(\dfrac{x-y^2}{x^2-y}\)          (4) \(\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

<풀이>

(1) (i) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\frac{x+y}{x-y}=\lim_{r\to0}\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\sin\theta}\) : 존재하지 않는다.

     (ii) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left\{\lim_{y\to0}\frac{x+y}{x-y}\right\}=\lim_{x\to0}1=1\)

    (iii) \(\displaystyle\lim_{y\to0}\left\{\lim_{x\to0}\frac{x+y}{x-y}\right\}=\lim_{y\to0}(-1)=-1\)

(2) (i) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\frac{x^2+y^2}{xy+(x-y)^2}=2\lim_{r\to0}\frac{1}{\sin2\theta}\) : 존재하지 않는다.

     (ii) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left\{\lim_{y\to0}\frac{x^2+y^2}{xy+(x-y)^2}\right\}=\lim_{x\to0}1=1\)

    (iii) \(\displaystyle\lim_{y\to0}\left\{\lim_{x\to0}\frac{x^2+y^2}{xy+(x-y)^2}\right\}=\lim_{y\to0}1=1\)

(3) (i) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\frac{x-y^2}{x^2-y}=\lim_{r\to0}\frac{\cos\theta-r\sin^2\theta}{r\cos^2\theta-\sin\theta}\) : 존재하지 않는다.

     (ii) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left\{\lim_{y\to0}\frac{x-y^2}{x^2-y}\right\}=\lim_{x\to0}{1\over x}=\pm\infty\)

    (iii) \(\displaystyle\lim_{y\to0}\left\{\lim_{x\to0}\frac{x-y^2}{x^2-y}\right\}=\lim_{y\to0}y=0\)

(4) (i) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{r\to0}r\sin\theta\cos\theta=0\)

     (ii) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left\{\lim_{y\to0}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right\}=\lim_{x\to0}0=0\)

    (iii) \(\displaystyle\lim_{y\to0}\left\{\lim_{x\to0}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right\}=\lim_{y\to0}0=0\)

3. 함수 \(f\)는, \((x,\,y)\ne(0,\,0)\)에서는 다음 각 식으로 정의되고, \((x,\,y)=(0,\,0)\)에서는 \(f(0,\,0)=0\)라고 한다. 각 함수의 \((0,\,0)\)에 대한 연속성을 조사하여라.

(1) \(\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}\)          (2) \(\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}\)          (3) \(xy\ln(x^2+y^2)\)          (4) \(|x|^y\)

<풀이>

(1) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=\lim_{r\to0}r^2\sin^2\theta\cos^2\theta=0=f(0,\,0)\) : 연속

(2) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\lim_{r\to0}\frac{r\cos\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta}\) : 불연속

(3) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}xy\ln(x^2+y^2)=\sin2\theta\lim_{r\to0}r^2\ln{r}=-{\sin2\theta\over2}\lim_{r\to0}r^2=0=f(0,\,0)\) : 연속

(4) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}|x|^y=\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}e^{y\ln|x|}=\lim_{r\to0}e^{r\sin\theta\ln|r\cos\theta|}=\lim_{r\to0}e^{-r\sin\theta}=1\ne f(0,\,0)\)

     : 불연속