2 변수 함수

함수와 그래프

정의 1 (\(\epsilon\)-近傍) 평면 상의 한 점 \({\rm A}(a,\,b)\)에서 거리가 \(\epsilon\)보다 작은 점 \({\rm P}(x,\,y)\)들의 집합

\[{\rm N}_\epsilon({\rm A})=\{{\rm P}|\rho({\rm A,\,P})<\epsilon\}=\left\{(x,\,y)|\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\epsilon\right\}\]

를 \(\rm A\)의 \(\epsilon\)-근방(近傍)이라고 한다(단, \(\rho(\rm A,\,P)\)는 두 점 \(\rm A,\,P\) 사이의 거리를 표시한다) .

평면전체 또는 그 부분집합 \(\rm D\) 내의 임의의 점 \({\rm P}(x,\,y)\)에 단 하나의 실수 \(z\)를 대응시키는 대응규칙을, \(\rm D\)를 정의역으로 하는 함수라 하고,

\[f\ :\ \rm D\ \to\ R\]

로 나타낸다. 함수 \(f\)의 정의역을 \({\rm D}_f\)로 표시한다. \(f\)에 의해 점 \(\rm P\)에 실수 \(z\)가 대응한다는 것을

\[z=f({\rm P})=f(x,\,y)\]

로 나타내며, 이러한 실수 \(z\)의 집합을 \(f\)의 치역이라 하고 \({\rm R}_f\)로 표시한다.

\(x=f(x,\,y)\)는 두 변수 \(x\)와 \(y\)의 값이 주어질 때, \(z\)의 값이 정해지므로 \(f\)를 2변수 함수(二變數函數)라고 한다.

3개 이상의 변수에 관한 함수도 같은 방법으로 정의될 수 있는데 2변수 이상의 함수를 다변수함수(多變數函數)라 한다.

[예제 1] 2변수 함수의 예

(1) \(f(x,\,y)=3x-2y\), 정의역은 전평면

(2) \(f(x,\,y)=1-x^2-y^2\), 정의역은 전평면

(3) \(f(x,\,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}\), 정의역은 원점을 중심으로 하고 반경이 1인 원과 그 내부

(4) \(f(x,\,y)=\dfrac{x}{y}\), 정의역은 전평면에서 \(x\)축을 제외한 집합

(5) \(f(x,\,y)=\dfrac{x+y}{x^2+y^2}\), 정의역은 전평면에서 원점 \((0,\,0)\)을 제외한 집합

2변수 함수 \(z=f(x,\,y)\)에 대하여 점 \((x,\,y,\,f(x,\,y))\)의 집합을 2변수 함수 \(f\)의 그래프라 한다. 2변수 함수의 그래프는 일반적으로 곡면이다.

[예제 2] 함수 \(z=f(x,\,y)=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\)의 그래프는 아래와 같이 곡면이다.

이 곡면을, 평면 \(z=k(>0)\)으로 자르면 절단면은 타원

\[\frac{x^2}{(a\sqrt{k})^2}+\frac{y^2}{(b\sqrt{k})^2}=1\]

이며, 평면 \(y=k\)로 자르면 절단면은

\[z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}\]

이라는 포물선이 된다. 평면 \(x=k\)로 자른 절단면도 포물선이다. 이 곡면을 타원포물면이라 한다.

[예제 3] 함수 \(z=f(x,\,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}\)의 그래프는 원점을 중심으로 하는 반경이 1인 구면을, \(xy\)평면으로 자른 상반구면이다.

극한

정의 2 2변수 함수 \(f\)가 점 \({\rm A}(a,\,b)\)의 근방에서 정의되어 있다고 하자(점 \({\rm A}(a,\,b)\)에서는 정의되어 있지 않아도 좋다). 점 \({\rm P}(x,\,y)\)가 일정한 \({\rm A}(a,\,b)\)에 한없이 접근할 때, \(f(x,\,y)\)의 값은 한없이 일정한 값 \(\alpha\)에 가까와지면, 함수 \(f\)는 점 \({\rm A}(a,\,b)\)에서 극한치 \(\alpha\)를 갖는다고 하고

\[\lim_{(x,\,y)\to(a,\,b)}f(x,\,y)=\lim_{\rm P\to A}f({\rm P})=\alpha\]

로 표시한다.

위와 같은 직관적인 극한의 개념을 \(\epsilon-\delta\)법으로 정의하면 다음과 같다.

「임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여, 적당한 양수 \(\delta\)가 존재하여

\[0<\sqrt{(x-a)^2+(x-b)^2}<\delta\]

인 모든 점 \((x,\,y)\)에 대하여 \(|f(x,\,y)-\alpha|<\epsilon\)이 성립할 때, 함수 \(f(x,\,y)\)는 점 \({\rm A}(a,\,b)\)에서 극한치 \(\alpha\)를 갖는다고 한다.」

정의 3 (연속) 함수 \(f\)가 점 \({\rm A}(a,\,b)\)의 근방에서 정의되어 있을 때,

\[\lim_{(x,\,y)\to(a,\,b)}f(x,\,y)=f(a,\,b)\ \text{즉},\ \lim_{\rm P\to A}f({\rm P})=f({\rm A})\]

이면, \(f\)는 점 \({\rm A}(a,\,b)\)에서 연속(連續)이라 한다.

[예제 1] 다음 함수에 대하여 \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}f(x,\,y)\)를 조사하여라.

(1) \(\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\)          (2) \(\dfrac{xy}{x^2+y^2}\)

<풀이> 평면상의 극좌표계를 이용하면

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