전미분

정의 1 (전미분 가능) 함수 \(f\)가 점 \((x_0,\,y_0)\)의 근방에서 적당한 상수 \(\rm A,\,B\)를 잡아서

\[f(x,\,y)-f(x_0,\,y_0)={\rm A}(x-x_0)+{\rm B}(y-y_0)+(x-x_0)\lambda_1+(y-y_0)\lambda_2\cdots(1)\]

라 두었을 때

\[\lim_{(x,\,y)\to(x_0,\,y_0)}\lambda_1=\lim_{(x,\,y)\to(x_0,\,y_0)}\lambda_2=0\]

이 성립하면 \(f\)는 점 \((x_0,\,y_0)\)에서 전미분가능(全微分可能)하다고 한다. (단, \(\rm A,\,B\)는 \(x_0,\,y_0\)에 의존하는 상수이다.)

\(x=x_0+h,\,y=y_0+k\)라 두면 (1)은

\[f(x_0+h,\,y_0+k)-f(x_0,\,y_0)={\rm A}h+{\rm B}k+\lambda_1h+\lambda_2k\]

가 된다.

정리 1 함수 \(z=f(x,\,y)\)에 대해서 \(f_x,\,f_y\)가 존재하고 이것이 연속이면 \(f\)는 전미분가능하다.

<증명> 

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