전미분

정의 1 (전미분 가능) 함수 \(f\)가 점 \((x_0,\,y_0)\)의 근방에서 적당한 상수 \(\rm A,\,B\)를 잡아서

\[f(x,\,y)-f(x_0,\,y_0)={\rm A}(x-x_0)+{\rm B}(y-y_0)+(x-x_0)\lambda_1+(y-y_0)\lambda_2\cdots(1)\]

라 두었을 때

\[\lim_{(x,\,y)\to(x_0,\,y_0)}\lambda_1=\lim_{(x,\,y)\to(x_0,\,y_0)}\lambda_2=0\]

이 성립하면 \(f\)는 점 \((x_0,\,y_0)\)에서 전미분가능(全微分可能)하다고 한다. (단, \(\rm A,\,B\)는 \(x_0,\,y_0\)에 의존하는 상수이다.)

\(x=x_0+h,\,y=y_0+k\)라 두면 (1)은

\[f(x_0+h,\,y_0+k)-f(x_0,\,y_0)={\rm A}h+{\rm B}k+\lambda_1h+\lambda_2k\]

가 된다.

정리 1 함수 \(z=f(x,\,y)\)에 대해서 \(f_x,\,f_y\)가 존재하고 이것이 연속이면 \(f\)는 전미분가능하다.

<증명> 함수 \(z=f(x,\,y)\)의 정의역내의 임의의 점 \((x_0,\,y_0)\) 근방에서의 함수의 증분은

\[f(x_0+h,\,y_0+k)-f(x_0,\,y_0)=\{f(x_0+h,\,y_0+k)\}+\{f(x_0,\,y_0+k)-f(x_0,\,y_0)\}\]

이다. 윗 식의 제 1항과 제 2항에 평균치 정리를 적용하면

\[\begin{gather}\text{우변}=f_x(x_0+\theta_1h,\,y_0+k)h+f_y(x_0,\,y_0+\theta_2k)k\\0<\theta_1<1,\,0<\theta_2<1\end{gather}\]

여기서

\[\begin{align}&\lambda_1=f_x(x_0+\theta_1h,\,y_0+k)-f_x(x_0,\,y_0)\\&\lambda_2=f_y(x_0,\,y_0+\theta_2k)-f_y(x_0,\,y_0)\end{align}\]

라 두면, \(f_x,\,f_y\)가 연속이므로 \(h\to0,\,k\to0\) 일 때 \(\lambda_1\to0,\,\lambda_2\to0\) 이다. 따라서

\[f(x_0+h,\,y_0+k)-f(x_0,\,y_0)=\{f_x(x_0,\,y_0)h+f_y(x_0,\,y_0)k\}+(\lambda_1h+\lambda_2k)\cdots(2)\]

그러므로 \(f\)는 전미분가능하다.

(2)의 우변의 제 1항

\[dz_0=df(x_0,\,y_0)=f_x(x_0,\,y_0)h+f_y(x_0,\,y_0)k\]

를 점 \(x_0,\,y_0\)에 대한 \(f(x,\,y)\)의 전미분(全微分)이라고 하며 기호 \(df(x_0,\,y_0)\)로 표시한다. 함수를 \(x=f(x,\,y)\)로 표시할 경우는 전미분을 \(dz\)로 나타내기도 한다.

특히 \(f(x,\,y)=x\)라 두면 \(dx=h\) 이고, \(f(x,\,y)=y\)라 두면 \(dy=k\) 이다. 따라서 임의의 점 \((x,\,y)\)에서 \(f(x,\,y)\)의 전미분은

\[dz=df(x,\,y)=f_x(x,\,y)dx+f_y(x,\,y)dy\cdots(3)\]

라고 쓸 수 있다.

일반적으로, \(f\)가 전미분가능하면 (1)로부터

\[\lim_{(x,\,y)\to(x_0,\,y_0)}f(x,\,y)=f(x_0,\,y_0)\]

임을 알 수 있으므로 다음 정리가 얻어진다.

정리 2 함수 \(z=f(x,\,y)\)가 점 \((x_0,\,y_0)\)에서 전미분가능하면, \(f\)는 \((x_0,\,y_0)\)에서 연속이다.

또한 (1)에서 \(y=y_0\)라 두면

\[f(x,\,y_0)-f(x_0,\,y_0)={\rm A}(x-x_0)+\lambda_1(x-x_0)\]

이므로

\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,\,y_0)-f(x_0,\,y_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}({\rm A}+\lambda_1)={\rm A}\]

따라서 \({\rm A}=f_x(x_0,\,y_0)\). 마찬가지로 하면 \({\rm B}=f_y(x_0,\,y_0)\) 이다. 따라서 다음 정리가 얻어진다.

정리 3 함수 \(z=f(x,\,y)\)가 점 \((x_0,\,y_0)\)에서 전미분가능하면, \((x_0,\,y_0)\)에서 \(f_x(x_0,\,y_0)\)와 \(f_y(x_0,\,y_0)\)가 존재한다.

[예제 2] \(z=e^x\sin{y}\)의 전미분을 구하여라.

\[dx=e^x\sin{y}dx+e^x\cos{y}dy\]

[예제 3] \(x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta\)의 각각의 전미분을 구하여라.

\[dx=\cos\theta dr-r\sin\theta d\theta,\,dy=\sin\theta dr+r\cos\theta d\theta\]