접평면과 법선

2변수 함수 \(f(x,\,y)\)가 연속인 편도함수 \(f_x\)와 \(f_y\)를 갖는다고 하자. 방정식

\[z=f(x,\,y)\]

는 공간에 대한 곡면을 표시하고, 이 곡면 상의 임의의 점을 \((x,\,y,\,z)\)라 하면 \((x,\,y,\,z)=(x,\,y,\,f(x,\,y))\) 이다.

이 곡면 상의 점 \((a,\,b,\,f(a,\,b))\)를 지나는 평면 \(y=b\)와 \(x=a\)에 의해 이 곡면을 절단하는 단면의 곡선을 각각 \(\rm C_1,\,C_2\)라 한다.

\[\begin{gather}f_x(a,\,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,\,b)-f(a,\,b)}{h}\\f_y(a,\,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a,\,b+h)-f(a,\,b)}{h}\end{gather}\]

이므로, 점 \({\rm P}(a,\,b,\,c),\,(c=f(a,\,b))\)에서

곡선 \(\rm C_1\)의 접선의 방향비는 \((1,\,0,\,f_x(a,\,b))\)

곡선 \(\rm C_2\)의 접선의 방향비는 \((0,\,1,\,f_y(a,\,b))\)

이다. 여기서 \(\rm P\)에 대한 \(\rm C_1,\,C_2\)의 접선을 포함하는 평면을 구해 보자. 우선 점 \({\rm P}(a,\,b,\,c)\)를 지나는 평면은 일반적으로

\[l(x-a)+m(y-b)+n(z-c)=0\]

이고, \(l,\,m,\,n\)이 평면에 수직인 직선의 방향비이다. 따라서 \(\rm C_1,\,C_2\)의 접선이 이 평면 안에 있기 위해서는, 직교조건에 의해

\[\begin{gather}1\cdot l+0\cdot m+f_x(a,\,b)\cdot n=0\\0\cdot l+1\cdot m+f_y(a,\,b)\cdot n=0\end{gather}\]

이어야 한다. 이것으로부터 \(l,\,m,\,n\)의 비를 구하면

\[l:m:n=f_x(a,\,b):f_y(a,\,b):-1\]

이 된다. 따라서 구하는 평면의 방정식은

\[z-c=f_x(a,\,b)(x-a)+f_y(a,\,b)(y-b)\]

이다. 이 평면을, 곡면 \(z=f(x,\,y)\)의 점 \({\rm P}(a,\,b,\,c)\)에 대한 접평면(接平面)이라 한다.

점 \({\rm P}(a,\,b,\,c)\)를 지나고, \(\rm P\)에 대한 접평면에 수직인 직선, 즉

\[\frac{x-a}{f_x(a,\,b)}=\frac{y-b}{f_y(a,\,b)}=\frac{z-c}{-1}\]

를 이 곡면의 점 \(\rm P\)에 대한 법선(法線)이라 한다.

[예제 1] 구면 \(x^2+y^2+z^2=r^2\) 상의 점 \({\rm P}(a,\,b,\,c)\)에 대한 접평면과 법선의 방정식을 구하여라. 단 \(c\ne0\) 이다.

<풀이> \(z=f(x,\,y)\)라 하면 \(x^2+y^2+f^2(x,\,y)=r^2\).

이 식의 양변을 \(x\)로 편미분하면

\[x+f(x,\,y)f_x(x,\,y)=0\]

\(y\)로 편미분하면

\[y+f(x,\,y)f_x(x,\,y)=0\]

그런데, \(c=f(a,\,b)\) 이므로

\[\begin{gather}f_x(a,\,b)=-\frac{a}{f(a,\,b)}=-{a\over c}\\f_y(a,\,b)=-\frac{b}{f(a,\,b)}=-{b\over c}\end{gather}\]

따라서, 점 \((a,\,b,\,c)\)에 대한 접평면의 방정식은 

\[-{a\over c}(x-a)-{b\over c}(y-b)-(z-c)=0\]

법선의 방정식은

\[\frac{x-a}{a}=\frac{y-b}{b}=\frac{z-c}{c}\]

《문     제》

다음 각 곡면의 주어진 점에서의 접평면과 법선의 방정식을 구하여라.

(1) \(xy+yz+zx=11:(1,\,2,\,3)\)

(2) \(4x^2+3y^2+z^2=8:(1/2,\,1,\,2)\)

<풀이>

(1) \(z=f(x,\,y)\)라 하면 \(xy+yf(x,\,y)+f(x,\,y)x=11\).

양변을 \(x\)로 편미분하면

\[y+(x+y)f_x(x,\,y)+f(x,\,y)=0\]

\(y\)로 편미분하면

\[x+(x+y)f_y(x,\,y)+f(x,\,y)=0\]

그런데, \(f(1,\,2)=3\) 이므로 \(f_x(1,\,2)=-5/3,\,f_y(1,\,2)=-4/3\).

따라서, 점 \((1,\,2,\,3)\)에 대한 접평면의 방정식은

\[5x+4y+3z=22\]

법선의 방정식은

\[{x-1\over5}={y-2\over4}={z-3\over3}\]

(2) \(z=f(x,\,y)\)라 하면 \(4x^2+3y^2+f^2(x,\,y)=8\).

양변을 \(x\)로 편미분하면

\[4x+f(x,\,y)f_x(x,\,y)=0\]

\(y\)로 편미분하면

\[3y+f(x,\,y)f_y(x,\,y)=0\]

그런데, \(f(1/2,\,1)=2\) 이므로 \(f_x(1/2,\,1)=-1,\,f_y(1/2,\,1)=-3/2\).

따라서, 점 \((1/2,\,1,\,2)\)에 대한 접평면의 방정식은

\[2x+3y+2z=8\]

법선의 방정식은

\[{x-1/2\over2}={y-1\over3}={z-2\over2}\]