곡선의 길이 (Length of Curve)

평면상 또는 공간에서 곡선호 \(\rm PQ\)의 길이를 구하는 방법을 생각해 보자. 호 위에 아래 그림과 같이 점 \({\rm P=P}_0,\,{\rm P}_1,\,{\rm P}_2,\,\cdots,\,{\rm P}_{n-1},\,{\rm P}_n={\rm Q}\)로서 \(\rm PQ\)의 분할 \(\Delta\)를 만들자.

이 경우 \(n\)개의 현

\[\overline{\rm P_0P_1},\,\overline{\rm P_1P_2},\,\cdots,\,\overline{{\rm P}_{n-1}{\rm P}_n}\]

의 길이를 각각

\[l_1,\,l_2,\,\cdots,\,l_n\]

으로 두고 그 합

\[l_n=\sum_{i=1}^nl_i=l_1+l_2+\cdots+l_n\]

을 생각하자. 분할 \(\Delta\)에서 각 현 \({\rm P}_{i-1}{\rm P}_i\)의 길이 \(l_i\)가 \(l_i\to0\) 되도록 분점의 개수를 무한히 증가시키면 극한치

\[\lim_{n\to\infty}l_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nl_i=\rm L\]

가 얻어진다. 이 극한치 \(\rm L\)를 곡선호 \(\rm PQ\)의 길이라고 한다.

정리 1 평면상의 곡선 호의 길이    방정식 \(y=f(x)\ (a\le x\le b)\)로 표시되는 곡선호 \(\rm AB\)의 길이는 \[{\rm L}=\int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx\]로 주어진다.

<증명> \(x\)축상의 구간 \([a,\,b]\)의 분할 \(\Delta\)를 만들어 그 분점을

\[a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\]

로 두자. 이것에 대응하여 \(\rm AB\) 상에 \(n+1\)개의 점을

\[{\rm A=P}_0(x_0,\,f(x_0)),\,{\rm P}_1(x_1,\,f(x_1)),\,\cdots,\,{\rm P}_{n-1}(x_{n-1},\,f(x_{n-1})),\,{\rm P}_n(x_n,\,f(x_n))={\rm B}\]

로 두자. 이 때

\[\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\qquad\Delta y_i=f(x_i)-f(x_{i-1})\qquad(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\]

으로 두면 미분의 평균치 정리에 의하여

\[\Delta y_i=f(x_{i-1}+\Delta x_i)-f(x_{i-1})=f'(\xi_i)\Delta x_i,\qquad x_{i-1}<\xi_i<x_i\]

를 만족하는 \(xi_i\)가 존재하므로

\[l_i=\sqrt{\Delta x_i^2+\Delta y_i^2}=\sqrt{1+\{f'(\xi_i)\}^2}\Delta x_i\]

가 얻어진다. 따라서

\[{\rm L}_n=\sum_{i=1}^n\sqrt{1+\{f'(\xi_i)\}^2}\Delta x_i\]

의 길이의 정의에 의하여

\[{\rm L}=\int_a^b\sqrt{1+\{f'(\xi_i)\}^2}dx=\int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\]

--- under construction ---