관성능률의 평행축 정리

어떤 물체의 중심 \(G\)를 지나는 직선 \(g\) 둘레의 관성능률을  \({\rm I}_g\)라 하고 \(g\)에 평행한 직선 \(g'\) 둘레의 관성능률을 \({\rm I}_g'\)로 두면

\[{\rm I}_g'={\rm I}_g+k^2{\rm M}\]

이다. 단, \(k\)는 \(g\)와 \(g'\)와의 거리이고 \(\rm M\)은 물체의 전체 질량이다.

<증명> 아래 그림과 같이 \(g\)를 \(z\)축으로 두자. 또 \(g'\)를 \(z'\)축으로 하는 좌표계 x'y'z'-계를 설정하자.

\(yz\)평면과 \(zx\)평면에 관한 2차능률을 각각 \(\rm H_1\)과 \(\rm H_2\), \(y'z'\)평면과 \(z'x'\)평면에 관한 2차능률을 각각 \(\rm H_1'\)과 \(\rm H_2'\)로 두면

\[{\rm H}_1=\int_a^bx^2g(x)dx,\qquad{\rm H}_2=\int_c^dy^2h(y)dy\]

한편 \(x'=x+k,\,y'=y\) 이므로

\[{\rm H}_1'=\int_a^b(x+k)^2g(x)dx,\qquad{\rm H}_2'=\int_c^dy^2h(y)dy={\rm H}_2\]

이다. 따라서

\[\begin{align}{\rm H}_1'&=\int_a^b\left(x^2+2kx+k^2\right)g(x)dx=\int_a^bx^2g(x)dx+2k\int_a^bxg(x)dx+k^2\int_a^bg(x)dx\\&=\int_a^bx^2g(x)dx+k^2{\rm M}={\rm H}_1+k^2{\rm M}\end{align}\]

여기서 중심 \(G\)가 \(z\)축 상에 있으므로

\[\int_a^bxg(x)dx=0\]

도 명백히

\[{\rm M}=\int_a^bg(x)dx\]

도형의 관성능률 식 (1)에 의하여

\[{\rm I}_g'={\rm I}_z'={\rm H}_1'+{\rm H}_2'={\rm H}_1+{\rm H}_2+k^2{\rm M}={\rm I}_z+k^2{\rm M}={\rm I}_g+k^2{\rm M}\]

이 얻어진다.

  《문     제》

1. 반지름 \(a\)인 원판의 둘레 상의 점을 통하고 원판에 수직인 직선 둘레의 관성능률을 구하여라.

2. 반지름 \(a\)인 구의 이 구면에 접하는 접선 둘레의 관성능률을 구하여라.

<풀이>

1. \({\rm I}_g=a^2{\rm M}/2\) (도형의 관성능률 예제 9 참조) 이므로 \({\rm I}_g'={\rm I}_g+k^2{\rm M}=a^2{\rm M}/2+a^2{\rm M}=3a^2{\rm M}/2\)

2. \({\rm I}_g=2a^2{\rm M}/5\) (도형의 관성능률 예제 10 참조) 이므로 \({\rm I}_g'={\rm I}_g+k^2{\rm M}=2a^2{\rm M}/5+a^2{\rm M}=7a^2{\rm M}/5\)