응력 함수 (Stress Function)
Airy stress functions
2-D 평형 탄성 문제에 있어서 에어리 응력 함수(Airy stress function) 사용은 매우 유용하다. 여기서는 체적력과 가속도가 없는 경우를 소개한다. 이 경우 2-D 평형 방정식은 다음과 같이 축약된다.
\[\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}=0\qquad\frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}=0\]
\[\sigma_{xx}=\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\qquad\sigma_{yy}=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\qquad\tau_{xy}=-\frac{\partial^2\phi}{\partial{x}\partial{y}}\]
이 응력 함수는 평형 방정식을 만족한다.
\[\begin{gather}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}\right)=0\\\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}\right)=0\end{gather}\]
위의 결과 \(\phi\)의 선택과는 상관 없이 항상 만족한다는 사실이다. 따라서 어떤 함수를 선택해도 해당 문제의 해가 될 수 있다. 단지 해당 문제가 무엇인지 모를 뿐이다.
예를 들면 \(\phi={1\over2}{\rm A}y^2\) 이라면 이 함수는 어떤 문제의 해이다. 그 문제를 알기 위해 응력장을 결정하기 위한 편미분을 취한다.
\[\sigma_{xx}=\frac{\partial^2}{\partial y^2}\left({1\over2}{\rm A}y^2\right)=\rm A\]
위의 결과로부터 이것은 \(x\) 방향 단축인장(uniaxial tension)의 해임을 쉽게 알 수 있다. 마찬가지로 \(\phi=-{\rm B}xy\)는 균일한 순수전단(pure shear)의 해이다.
\[\tau_{xy}=-\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}(-{\rm B}xy)=\rm B\]
하지만 \(\phi\)의 선택에는 제한이 있다. 이는 다음과 같은 제약들로부터 생긴다. 등방성 재질, 응력과 변형률은 후크의 법칙을 따를 것, 그리고 물리적 현상에 부합할 것. (예를 들면 둘로 접힐 정도로 변형률이 음수일 수는 없다.) 이 제한은 \(\phi\)는 이중조화 함수(Biharmonic Equation) 또는 호환 방정식(Compatibility Equation)을 반드시 만족해야 한다는 것으로 귀결된다.
\[\nabla^4\phi=\frac{\partial^4\phi}{\partial x^4}+2\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{\partial^4\phi}{\partial y^4}=0\]
체적력(body force)이 없는 등방성 재료에 대해서, \(\nabla^4\phi=0\)을 만족하는 어떠한 \(\phi\) 함수도 평형 상태의 응력과 변형률장(field)으로 나타낼 수 있음을 보장한다.
이중조화 함수는 4차 도함수이므로 \(x,\,y\)에 관한 임의의 3차 이하 다항식은 자동적으로 해가 된다.
| 극 좌표계 (Polar Coordinates) 극 좌표계에서 라플라스 연산자는 \[\nabla^2=\frac{\partial}{r\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\partial^2}{r^2\partial\theta^2}\]따라서 이중조화 함수는 다음과 같이 나타낸다. \[\nabla^4\phi=\left\{\frac{\partial}{r\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\partial^2}{r^2\partial\theta^2}\right\}^2\phi=0\]또한 각 응력 성분들과의 관계는 \[\sigma_{rr}=\frac{\partial\phi}{r\partial r}+\frac{\partial^2\phi}{r^2\partial\theta^2}\qquad\sigma_{\theta\theta}=\frac{\partial^2\phi}{\partial r^2}\qquad\tau_{r\theta}=-\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial\phi}{r\partial\theta}\right)\][증명] 평형 방정식에 각 응력 성분을 대입하여 만족함을 보이면 된다. \[\begin{split}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\sigma_{rr}\right)-\sigma_{\theta\theta}+\frac{\partial\tau_{r\theta}}{\partial\theta}&=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial\phi}{\partial r}+\frac{\partial^2\phi}{r\partial\theta^2}\right)-\frac{\partial^2\phi}{\partial r^2}-\frac{\partial^2}{\partial\theta\partial r}\left(\frac{\partial\phi}{r\partial\theta}\right)\\&=\frac{\partial^2\phi}{\partial r^2}+\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial^2\phi}{r\partial\theta^2}\right)-\frac{\partial^2\phi}{\partial r^2}-\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial^2\phi}{r\partial\theta^2}\right)=0\end{split}\] |
| 집중 하중 예제 (Line Load Example) 그림과 같이 집중 하중 \(P\)를 받는 무한체(無限體)의 경우 극좌표계의 에어리 응력 함수로 풀 수 있다.  이 경우 응력 함수는 \[\phi=-\frac{{\rm P}r}{\pi}\theta\sin\theta\]위의 식은 아래와 같이 이중조화 함수를 만족하므로 응력 함수이다. \[\nabla^4\phi=\nabla^2\left(\nabla^2\phi\right)=\nabla^2\left(-\frac{2{\rm P}}{\pi r}\cos\theta\right)=0\]이 함수로부터 각 응력 성분을 유도하면 \[\sigma_{rr}=\frac{\partial\phi}{r\partial r}+\frac{\partial^2\phi}{r^2\partial\theta^2}=-\frac{2\rm P}{\pi r}\cos\theta\qquad\sigma_{\theta\theta}=\frac{\partial^2\phi}{\partial r^2}=0\qquad\tau_{r\theta}=-\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial\phi}{r\partial\theta}\right)=0\]이 응력장은 집중 하중으로부터 나온 것으로 반경 방향 응력의 총합과 같음을 보일 수 있다. \[-\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sigma_{rr}\cos\theta rd\theta=-\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(-\frac{2\rm P}{\pi r}\cos\theta\right)\cos\theta rd\theta={2\rm P\over\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta d\theta=\rm P\] |
댓글
댓글 쓰기