반복적분 (Iterated Integral)

그림 1

함수 \({\rm F}(x,\,y)\)가 그림 1과 같은 직사각형의 영역 \(\rm D\), 즉

\[{\rm D}:a\le{x}\le b,\qquad c\le{y}\le d\]

가 주어져 있을 때, \(\rm D\)를 직선 \(y=k\)(상수)로 절단하여 절단된 선분을 \(\rm PQ\)라 하자. 이 선분 \(\rm PQ\) 위에서는 \(y\)가 상수이므로 \({\rm F}(x,\,y)\)는 \(x\)만의 함수가 된다. 여기서 \(y\)를 고정하여 \({\rm F}(x,\,y)\)를 \(a\)에서 \(b\)까지 적분한 결과를

\[{\rm A}(y)=\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\]

로 표시하고, 이것을 선분 \(\rm PQ\)를 따른 \({\rm F}(x,\,y)\)의 적분이라 한다. 이 적분 \({\rm A}(y)\)의 값은 \(y\)의 값에 의하여 결정되므로 \({\rm A}(y)\)는 \(y\)의 함수이다. 여기서, 이 함수 \({\rm A}(y)\)를 \(y\)에 관하여 \(c\)부터 \(d\)까지 적분하면

\[\int_c^d{\rm A}(y)dy=\int_c^d\left\{\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\right\}\cdots(1)\]

가 얻어진다. 이것을 영역 \(\rm D\)에서 \({\rm F}(x,\,y)\)의 반복적분(反復積分 ; iterated integral)이라 한다.

그림 2

영역 \(\rm D\)에서 \({\rm F}(x,\,y)\ge0\) 이라 하자. \(\rm D\)를 밑면으로 하는 기둥과 곡면 \(z={\rm F}(x,\,y)\)의 사이에 있는 입체와 직선 \(\rm PQ\)를 포함하며 \(xy\) 평면에 수직인 평면과 교차하는 면적을 \({\rm A}(y)\)로 두면 \({\rm A}(y)=\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\)이다. 따라서 반복적분 \(\int_c^d{\rm A}(y)dy=\int_c^d\{\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\}dy\)는 입체의 부피를 나타낸다.

그림 3

다음 직사각형의 영역 \(\rm D\)를 \(y\)축에 평행인 직선으로 잘라, 잘라진 절단 부분을 \(\rm RS\)로 두자. 선분 \(\rm RS\) 위의 점은 그 \(x\)축 좌표가 일정하다. 따라서 선분 \(\rm RS\)에 따른 \({\rm F}(x,\,y)\)는 \(y\)만의 함수이다

따라서, 선분 \(\rm RS\)에 따른 \({\rm F}(x,\,y)\)의 적분

\[{\rm B}(x)=\int_c^d{\rm F}(x,\,y)\]

는 변수 \(x\)의 함수이다. 이 함수 \({\rm B}(x)\)를 \(a\)에서 \(b\)까지 적분하면

\[\int_a^b{\rm B}(x)dx=\int_a^b\left\{\int_c^d{\rm F}(x,\,y)dy\right\}dx\cdots(2)\]

이 얻어진다. 이것도 영역 \(\rm D\)에서의 \({\rm F}(x,\,y)\)의 반복적분이라 한다. 2종의 반복적분 (1)과 (2)는 같다. 즉

\[\int_c^d\left\{\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\right\}dy=\int_a^b\left\{\int_c^d{\rm F}(x,\,y)dy\right\}dx\]

반복적분을 간략하게

\[\int_c^d\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dxdy=\int_a^b\int_c^d{\rm F}(x,\,y)dydx\]

로 나타내기도 한다. 이 경우 한쪽을 다른쪽의 적분순서를 변경한 것이라고 한다.

[예제 1] 다음 반복적분을 구하여라.

(1) \(\int_0^b\int_0^ax^2ydxdy=\int_0^b\left[x^3y\over3\right]_{x=0}^{x=a}dy={a^3\over3}\int_0^bydy={a^3b^2\over6}\)

(2) \(\int_0^a\int_0^bx^2ydydx=\int_0^a\left[x^2y^2\over2\right]_{y=0}^{y=b}dx={b^2\over2}\int_0^ax^2dx={a^3b^2\over6}\)

그림 4

그림 4 처럼 적분영역이 직사각형이 아닌 경우에 반복적분을 생각하자. \(y\)축에 평행한 직선으로 영역 \(\rm D\)를 잘라서 생긴 선분을 \(\rm PQ\)라 하자. 선분 \(\rm PQ\) 상의 각 점은 \(x\)좌표가 일정하므로 그 값을 \(x\)로 두면 선분 \(\rm PQ\)를 따른 \({\rm F}(x,\,y)\)의 적분은

\[{\rm B}(x)=\int_{g(x)}^{f(x)}{\rm F}(x,\,y)dy\]

이다. 이 경우 적분의 상하한은 일반으로 \(x\)의 함수인 것에 주목해야 한다. 이 적분 \({\rm B}(x)\)를 \(x\)에 따라 적분하면 영역 \(\rm D\)에서의 반복적분

\[\int_a^b\left\{\int_{g(x)}^{f(x)}{\rm F}(x,\,y)dy\right\}dx=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}{\rm F}(x,\,y)dydx\]

가 얻어진다.

같은 영역 \(\rm D\)에서 적분순서를 변경한 반복적분을 생각하면 2종류의 반복적분은 같다. 즉

\[\int_c^d\int_{\phi(y)}^{\psi(y)}{\rm F}(x,\,y)dxdy=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}{\rm F}(x,\,y)dydx\]

[예제 2] 다음 함수 \({\rm F}(x,\,y)\)와 영역 \(\rm D\)에 대하여 반복적분 \(\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}{\rm F}(x,\,y)dydx\)과 적분순서를 변경한 반복적분을 구하여라.

(1) \({\rm F}(x,\,y)=xy,\) \({\rm D}:0\le{x}\le1\) \(0\le{y}\le{x}\)

(2) \({\rm F}(x,\,y)=1-x-y,\) \({\rm D}:0\le{x}\le1\) \(-x\le{y}\le{x}\)

<풀이>

(1) 영역 \(\rm D\)는 그림 5와 같은 삼각형이다. 따라서 구하는 반복적분은

\[\int_0^1\int_0^xxydydx=\int_0^1\left[{xy^2\over2}\right]_{y=0}^{y=x}dx={1\over2}\int_0^1x^3dx={1\over2}\left[{y^4\over4}\right]_0^1={1\over8}\]

그림 5를 다시 참조하여 적분 순서를 변경하면

\[\int_0^1\int_y^1xydxdy=\int_0^1\left[{x^2y\over2}\right]_{x=y}^{x=1}dy={1\over2}\int_0^1\left(y-y^3\right)dy={1\over2}\left[{y^2\over2}-{y^4\over4}\right]_0^1={1\over8}\]

그림 5

(2) 영역 \(\rm D\)는 그림 6과 같이 삼각형을 나타낸다. 그림을 참조하여 반복적분을 계산하면

\[\begin{align}\int_0^1\int_{-x}^x(1-x-y)dydx&=\int_0^1\left[y-xy-{y^2\over2}\right]_{y=-x}^{y=x}dx=2\int_0^1\left(x-x^2\right)dx\\&=2\left[{x^2\over2}-{x^3\over3}\right]_0^1={1\over3}\end{align}\]

적분 순서를 변경해 보자. 편의상 그림 6 처럼 2개의 영역 \(\rm D_1,\,D_2\)로 나누어 계산하면

\[\begin{split}&\int_0^1\int_1^2(1-x-y)dxdy+\int_0^1\int_{-y}^1(1-x-y)dxdy\\&=\int_0^1\left[x-{x^2\over2}-yx\right]_{x=y}^{x=1}dy+\int_0^1\left[x-{x^2\over2}-yx\right]_{x=-y}^{x=1}dy\\&=\int_0^1\left({1\over2}-2y+{3\over2}y^2\right)dy+\int_0^1\left({1\over2}-{y^2\over2}\right)dy\\&=\left[{y\over2}-y^2+{y^3\over2}\right]_0^1+\left[{y\over2}-{y^3\over6}\right]_0^1={1\over3}\end{split}\]

그림 6

《 문 제 》

1. 다음 반복적분을 구하여라.

(1) \(\int_0^1\int_1^2(x-y)dxdy=\int_0^1\left[{x^2\over2}-xy\right]_{x=1}^{x=2}dy=\int_0^1\left({3\over2}-y\right)dy=\left[{3\over2}y-{y^2\over2}\right]_0^1=1\)

(2) \(\int_2^4\int_4^{x^2}\frac{x}{y^2}dydx=\int_2^4\left[-{x\over y}\right]_{y=4}^{y=x^2}dx=\int_2^4\left(-{1\over{x}}+{x\over4}\right)dx=-\left[-\ln{x}+{x^2\over8}\right]_2^4\)

\(={3\over2}-\ln2\)

(3) \(\int_0^3\int_0^{2\left(1-{x\over3}\right)}\left(1-{x\over3}-{y\over3}\right)dydx=\int_0^3\left[y-{xy\over3}-{y^2\over6}\right]_{y=0}^{y=2\left(1-{x\over3}\right)}dx\)

\(=\int_0^3\left({4\over3}-{8\over9}x+{4\over27}x^2\right)dx={4\over3}\)

(4) \(\int_0^a\int_0^\sqrt{2ax-x^2}dydx=\int_0^a[y]_{y=0}^{y=\sqrt{2ax-x^2}}dx=\int_0^a\sqrt{2ax-x^2}dx\)

\(={1\over2}\left[(x-a)\sqrt{2ax-x^2}+a^2{\rm Sin}^{-1}\frac{x-a}{a}\right]_0^a={\pi\over4}a^2\)

2. 문제 1의 반복적분의 적분 순서를 변경하여라.

(1) \(\int_1^2\int_0^1(x-y)dydx\)