반복적분 (Iterated Integral)

그림 1

함수 \({\rm F}(x,\,y)\)가 그림 1과 같은 직사각형의 영역 \(\rm D\), 즉

\[{\rm D}:a\le{x}\le b,\qquad c\le{y}\le d\]

가 주어져 있을 때, \(\rm D\)를 직선 \(y=k\)(상수)로 절단하여 절단된 선분을 \(\rm PQ\)라 하자. 이 선분 \(\rm PQ\) 위에서는 \(y\)가 상수이므로 \({\rm F}(x,\,y)\)는 \(x\)만의 함수가 된다. 여기서 \(y\)를 고정하여 \({\rm F}(x,\,y)\)를 \(a\)에서 \(b\)까지 적분한 결과를

\[{\rm A}(y)=\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\]

로 표시하고, 이것을 선분 \(\rm PQ\)를 따른 \({\rm F}(x,\,y)\)의 적분이라 한다. 이 적분 \({\rm A}(y)\)의 값은 \(y\)의 값에 의하여 결정되므로 \({\rm A}(y)\)는 \(y\)의 함수이다. 여기서, 이 함수 \({\rm A}(y)\)를 \(y\)에 관하여 \(c\)부터 \(d\)까지 적분하면

\[\int_c^d{\rm A}(y)dy=\int_c^d\left\{\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\right\}\cdots(1)\]

가 얻어진다. 이것을 영역 \(\rm D\)에서 \({\rm F}(x,\,y)\)의 반복적분(反復積分 ; iterated integral)이라 한다.

그림 2

영역 \(\rm D\)에서 \({\rm F}(x,\,y)\ge0\) 이라 하자. \(\rm D\)를 밑면으로 하는 기둥과 곡면 \(z={\rm F}(x,\,y)\)의 사이에 있는 입체와 직선 \(\rm PQ\)를 포함하며 \(xy\) 평면에 수직인 평면과 교차하는 면적을 \({\rm A}(y)\)로 두면 \({\rm A}(y)=\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\)이다. 따라서 반복적분 \(\int_c^d{\rm A}(y)dy=\int_c^d\{\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\}dy\)는 입체의 부피를 나타낸다.

그림 3

다음 직사각형의 영역 \(\rm D\)를 \(y\)축에 평행인 직선으로 잘라, 잘라진 절단 부분을 \(\rm RS\)로 두자. 선분 \(\rm RS\) 위의 점은 그 \(x\)축 좌표가 일정하다. 따라서 선분 \(\rm RS\)에 따른 \({\rm F}(x,\,y)\)는 \(y\)만의 함수이다

따라서, 선분 \(\rm RS\)에 따른 \({\rm F}(x,\,y)\)의 적분

\[{\rm B}(x)=\int_c^d{\rm F}(x,\,y)\]

는 변수 \(x\)의 함수이다. 이 함수 \({\rm B}(x)\)를 \(a\)에서 \(b\)까지 적분하면

\[\int_a^b{\rm B}(x)dx=\int_a^b\left\{\int_c^d{\rm F}(x,\,y)dy\right\}dx\cdots(2)\]

이 얻어진다. 이것도 영역 \(\rm D\)에서의 \({\rm F}(x,\,y)\)의 반복적분이라 한다. 2종의 반복적분 (1)과 (2)는 같다. 즉

\[\int_c^d\left\{\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\right\}dy=\int_a^b\left\{\int_c^d{\rm F}(x,\,y)dy\right\}dx\]

반복적분을 간략하게

\[\int_c^d\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dxdy=\int_a^b\int_c^d{\rm F}(x,\,y)dydx\]

로 나타내기도 한다. 이 경우 한쪽을 다른쪽의 적분순서를 변경한 것이라고 한다.

[예제 1] 다음 반복적분을 구하여라.

(1) \(\int_0^b\int_0^ax^2ydxdy=\int_0^b\left[x^3y\over3\right]_{x=0}^{x=a}dy={a^3\over3}\int_0^bydy={a^3b^2\over6}\)

(2) 

--- under construction ---