기계공학 (Mechanical Engineering)

함수 의 극한 을 구할 때 형식상 \[{0\over0},\qquad{\infty\over\infty},\qquad0\cdot\infty,\qquad\infty-\infty\] 등과 같은 형태의 극한이 자주 나타난다. 이런 꼴의 극한을 부정형(不定形)이라 한다. 부정형 \(\dfrac{0}{0}\) 정리 1  (L'hospital의 法則) 함수 \(f,\,g\)가 \(x=a\)를 포함하는 구간 에서 미분가능 이고, 그 구간에서 \(g'(x)\ne0\) 이라고 한다. \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0,\,x=a\) 이외에서는 \(g(x)\ne0\) 일 때 극한 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\]가 존재하면 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]이다. <증명> \(f,\,g\)는 \(x=a\)를 포함하는 구간에서 연속 이므로 \[\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=0,\,\lim_{x\to a}g(x)=g(a)=0\] 이다. 한편 Cauchy의 公式 에 의하여, \(x\ne a\) 일 때 \[\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\] 이 때 \(a<\xi<x\), 또는 \(x<\xi<a\) 이므로 \[\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\ \text{라 하면}\ \lim_{x\to a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=A.\] 따라서 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)...

함수 \(f(x)\)는 반무한구간 \([a,\,\infty)\)에서 연속 이고, 양수 \(T\)를 취하여 극한 \(\lim_{T\to\infty}\int_a^Tf(x)dx\)가 존재할 때 이것을 다음 기호로 나타낸다. \[\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{T\to\infty}\int_a^Tf(x)dx\cdots(1)\] 이 때 무한적분 \(\int_a^\infty f(x)dx\)는 존재한다 또는 수렴한다라 한다. 만일 윗 식 우변의 극한이 존재하지 않으면, 이 무한적분은 존재하지 않는다 또는 발산한다라 한다. 그림 1 마찬가지로 다른 형의 무한적분도 각각 다음과 같이 정의한다. \[\begin{split}&\int_{-\infty}^bf(x)dx=\lim_{T\to-\infty}\int_T^bf(x)dx&\cdots(2)\\&\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=\lim_{T\to+\infty}\lim_{T'\to-\infty}\int_{T'}^Tf(x)dx&\cdots(3)\end{split}\] 그림 2 그림 2는 (3)의 의미를 나타낸 것이다. (2)의 의미는 그림 1에서 유추할 수 있다. 또 무한적분 \(\int_a^\infty f(x)dx\)에도 값을 구할 수 있다. 함수 \(f(x)\)가 구간 \([a,\,+\infty)\)에서 연속이고, 부정적분 \({\rm F}(x)\)를 가진다고 하자. 이 때 \(\lim_{x\to\infty}{\rm F}(x)={\rm B}\)가 유한확정적으로 존재한다고 가정하면 \[\lim_{T\to\infty}\int_a^Tf(x)dx=\lim_{T\to\infty}\{{\rm F}(T)-{\rm F}(a)\}=\lim_{T\to\infty}{\rm F}(T)-F(a)={\rm B}-{\rm F}(a)\] 가 되어 좌변의 극한값이 존재한다. 이 때 \[\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{T\to\infty}[{\rm F}(x...

유계 (有界)가 아닌 함수 , 예를 들어 함수 \[f(x)={1\over\sqrt{x}}\] 을 구간 \((0,\,1]\)에서 생각하면 \(f(x)\)는 유계가 아니다. 이 함수를 0에서 1까지 적분 하여 보자. 함수 \(f(x)=1/\sqrt{x}\)은 구간 \((0,\,1]\)에서 연속 이기는 하나 \[\lim_{x\to0}{1\over\sqrt{x}}=\infty\] 이므로 유계는 아니다. 여기서 위의 그래프와 같이 작은 양수 \(\epsilon\)를 취하여 폐구간 \([\epsilon,\,1]\)에서 \(f(x)=1/\sqrt{x}\)을 생각하면, \(f(x)\)는 \([\epsilon,\,1]\)에서 연속이므로 정적분 \[\int_\epsilon^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=[2\sqrt{x}]_\epsilon^1=2(1-\sqrt{\epsilon})\] 을 구할 수 있다. 여기서 극한 \[\lim_{\epsilon\to0}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\epsilon\to0}2(1-\sqrt{\epsilon})=2\] 를 생각한다. 이 값을 써서 함수 \(f(x)=1/\sqrt{x}\)의 0에서 1까지의 적분을 \[\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\epsilon\to0}\int_\epsilon^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\] 라고 생각하는 것은 자연스러운 것이다. 일반적으로 함수 \(f(x)\)가 구간 \((a,\,b]\)에서 연속이고, 부정적분 \({\rm F}(x)\)를 가진다고 하자. 이 때 \[\lim_{x\to a+0}f(x)=+\infty\ \text{또는}\ -\infty\] 일지라도 \[\lim_{x\to a+0}{\rm F}(x)=\rm A\] 가 유한확정적으로 존재한다고 가정하면 \[\begin{align}\lim_{\epsilon\to0}\int_{a+\epsilon}^bf(x)dx&=\lim_{\epsilon\to0}[{\rm F}...