부정형의 극한
\[{0\over0},\qquad{\infty\over\infty},\qquad0\cdot\infty,\qquad\infty-\infty\]
등과 같은 형태의 극한이 자주 나타난다. 이런 꼴의 극한을 부정형(不定形)이라 한다.
부정형 \(\dfrac{0}{0}\)
| 정리 1 (L'hospital의 法則) 함수 \(f,\,g\)가 \(x=a\)를 포함하는 구간에서 미분가능이고, 그 구간에서 \(g'(x)\ne0\) 이라고 한다. \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0,\,x=a\) 이외에서는 \(g(x)\ne0\) 일 때 극한 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\]가 존재하면 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]이다. |
<증명> \(f,\,g\)는 \(x=a\)를 포함하는 구간에서 연속이므로
\[\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=0,\,\lim_{x\to a}g(x)=g(a)=0\]
이다. 한편 Cauchy의 公式에 의하여, \(x\ne a\) 일 때
\[\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\]
이 때 \(a<\xi<x\), 또는 \(x<\xi<a\) 이므로
\[\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\ \text{라 하면}\ \lim_{x\to a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=A.\]
따라서
\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]
[주의] \(f,\,g\)가 \(a\)를 포함하는 구간에서 미분가능이고, 그 구간에서 \(g^{(n)}(x)\ne0\) 이라 하자.
\[f(a)=g(a)=0,\,f'(a)=g'(a)=0,\,\cdots,\,f^{(n-1)}(a)=g^{(n-1)}(a)=0\]
이고, 극한
\[\lim_{x\to a}\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}\]
가 존재하면
\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}\]
임을 알 수 있다.
[예제 1] \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{\sin{x}}=\lim_{x\to0}\frac{e^x+x^{-x}}{\cos{x}}=2\)
[예제 2] \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1-\frac{1}{1+x}}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{(1+x)^2}}{2}={1\over2}\)
[주의] 정리 1을 이용하여 다음과 같은 극한을 구할 수 있다.
(1) \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0,\,\lim_{x\to a}g(x)=\infty\) 이면 \(\displaystyle\lim_{x\to a}fg=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{\dfrac{1}{g(x)}}\)
(2) \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty,\,\lim_{x\to a}g(x)=\infty\) 이면 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{\dfrac{1}{g(x)}}{\dfrac{1}{f(x)}}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a}\{f(x)-g(x)\}=\lim_{x\to a}\frac{\dfrac{1}{g(x)}-\dfrac{1}{f(x)}}{\dfrac{1}{f(x)g(x)}}\)
[예제 3] \(\displaystyle\lim_{x\to\pi/2}(\tan{x}-\sec{x})=\lim_{x\to\pi/2}\frac{\cos{x}}{-\sin{x}}=0\)
[예제 4] \(\displaystyle\lim_{x\to\pi/2}\left(x-{\pi\over2}\right)\tan{x}=\lim_{x\to\pi/2}\frac{1}{-\csc^2x}=-1\)
[예제 5] \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\csc{x}}{1+{1\over x}}=\lim_{x\to0}\frac{1\over(x+1)^2}{\cos{x}}=1\)
[주의] 부정형의 극한치를 구하는 경우 Taylor의 전개식을 이용하면 편리할 때가 있다.
[예제 6] \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin{x}}{x^3}\)를 구하여라.
<풀이> Taylor의 정리 예제 2에 의하여
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin{x}}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{x-\left(x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}\cos\theta x\right)}{x^3}=\lim_{x\to0}\left({1\over6}-{x^2\over5!}\cos\theta x\right)={1\over6},\,0<\theta<1\)
| 정리 2 \(f(x),\,g(x)\)가 \(x>0\)에서 미분가능하고, \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=0,\,\lim_{x\to\infty}g(x)=0,\,g(x)\ne0,\,g'(x)\ne0\) 이라 하자. \[\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]이 존재하면 \[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]이다. (\(x\to-\infty\)인 경우도 마찬가지이다.) |
<증명> \(x=1/t\)라 하면 \(x\to\infty\) 일 때 \(t\to+0,\,t\to+0\) 이면 \(x\to\infty\) 이다. 그리고 \(f(1/t),\,g(1/t)\)는 각각 정리 1의 가정을 만족하고 있으므로
\[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{t\to+0}\frac{f\left({1\over t}\right)}{g\left({1\over t}\right)}=\lim_{t\to+0}\frac{-{1\over t^2}f'\left({1\over t}\right)}{-{1\over t^2}g'\left({1\over t}\right)}=\lim_{t\to+0}\frac{f'\left({1\over t}\right)}{g'\left({1\over t}\right)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]
[예제 7] \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\ln\frac{x+a}{x-a}=\lim_{x\to\infty}\frac{2ax^2}{x^2-a^2}=2a\)
[예제 8] \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\left({\pi\over2}-{\rm Tan}^{-1}x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2+1}=1\)
부정형 \(\dfrac{\infty}{\infty}\)
| 정리 3 함수 \(f(x),\,g(x)\)는 \(a\)를 포함하는 구간에서 미분가능이고, 그 구간에서 \(g'(x)\ne0\)이라 하자. \[\begin{gather}\lim_{x\to a+0}f(x)=\pm\infty,\,\lim_{x\to a+0}g(x)=\pm\infty\\x=a\ \text{이외에서는}\ g(x)\ne0\end{gather}\]일 때\[\lim_{x\to a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]가 존재하면 \[\lim_{x\to a+0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]이다. \(x\to a-0,\,x\to\pm\infty\)인 경우에도 똑같이 성립한다. |
[예제 1]
(1) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x}=\lim_{x\to\infty}{e^x\over2}=\infty\)
(2) \(\displaystyle\lim_{x\to+0}x\ln{x}=\lim_{x\to+0}(-x)=0\)
(3) \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\frac{\ln{x}}{\cot{x}}=\lim_{x\to+0}\left(-\frac{\sin{x}}{x}\right)\sin{x}=0\)
(4) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln{x}}{x^a}=\lim_{x\to\infty}{1\over ax^a}=0\) (단, \(a>0\))
\(\{f(x)\}^{g(x)}\)의 극한
\(x\to a\)(또는 \(x\to\pm\infty\))일 때 \(f(x)^{g(x)}\)의 극한은 부정형 \(0^0,\,\infty^0,\,0^{\infty}\) 또는 \(1^\infty\) 등으로 되는 경우가 있다. 만일 \(x\to a\)(또는 \(x\to\pm\infty\))일 때 \(f(x)^{g(x)}\)의 극한이 존재한다면, 이것은 그 식을 \(y\)라 놓고 자연대수를 취한 다음,
\[\ln{y}=g(x)\ln{f(x)}\]
의 극한값을 구하여 얻을 수 있다.
[예제 1] \(\displaystyle\lim_{x\to+0}x^x=\lim_{x\to+0}e^{x\ln{x}}=e^0=1\)
[예제 2] \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{1\over x}=\lim_{x\to\infty}e^{{1\over x}\ln{x}}=e^0=1\)
[예제 3] \(\displaystyle\lim_{x\to1}x^{x\over1-x}=\lim_{x\to1}e^{\ln{x}\over1-x}={1\over e}\)
《문 제》
1. 다음 극한을 구하여라.
(1) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{\tan{x}}=\lim_{x\to0}\cos^3x=1\)
(2) \(\displaystyle\lim_{x\to\pi/4}\frac{\tan{x}-1}{4x-\pi}=\lim_{x\to\pi/4}\frac{\sec^2x}{4}={1\over2}\)
(3) \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{{\rm Tan}^{-1}(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{1}{1+(x-1)^2}=1\)
(4) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{8x-2}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{8-2/x}{x}=-\infty\) (존재하지 않음)
(5) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\sin{x}-\sin2x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{2\cos{x}-2\cos2x}{3x^2}=\lim\frac{-\sin{x}+2\sin2x}{3x}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to0}\frac{-\cos{x}+4\cos2x}{3}=1\)
(6) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{e^{3x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^{3x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{3e^{3x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{9e^{3x}}=\infty\)
(7) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{a^x-b^x}{x}(a>0,\,b>0)=\lim_{x\to0}(a^x\ln{a}-b^x\ln{b})=\ln{a\over b}\)
(8) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-x-1}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to0}{e^x\over2}={1\over2}\)
(9) \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}=\lim_{x\to a}\left(\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{2x\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x+a}}\right)={1\over\sqrt{2a}}\)
(10) \(\displaystyle\lim_{x\to1}\left(\frac{x}{x-1}-{1\over\ln{x}}\right)=\lim_{x\to1}\frac{x\ln{x}-x+1}{(x-1)\ln{x}}=\lim_{x\to1}\frac{\ln{x}}{\ln{x}+1-1/x}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{1/x}{1/x+1/x^2}={1\over2}\)
(11) \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\sqrt{x}\ln{x}=\lim_{x\to+0}(-2\sqrt{2})=0\)
(12) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\csc^2x-{1\over x^2}\right)=\lim_{x\to0}\frac{2x-\sin2x}{2x\sin^2x+x^2\sin2x}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{\sin^2x+2x\sin2x+x^2\cos2x}\)
\(\displaystyle=\lim_{x\to0}\frac{2{\sin2x\over2}}{3{\sin2x\over2x}+3\cos2x-x\sin2x}={1\over3}\)
(13) \(\displaystyle\lim_{x\to0}xe^{-{1\over x}}=\lim_{x\to0}\left(-e^{-{1\over x}}\right)=0\)
(14) \(\displaystyle\lim_{x\to\pi/2}(\tan4x-\tan{x})=\pm\infty\) (존재하지 않음)
(15) \(\displaystyle\lim_{x\to+0}(\sin{x})^x=\lim_{x\to+0}e^{x\ln(\sin{x})}=e^0=1\)
(16) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{x}=\lim_{x\to\infty}e^{{1\over x}\ln{x}}=e^0=1\)
(17) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\cos{1\over x}\right)^x=\lim_{x\to\infty}e^{x\ln(\cos{1\over x})}=\lim_{x\to\infty}e^{-\sin{1\over x}/\cos{1\over x}}=e^0=1\)
(18) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left\{x^3\left(e^{1\over x}+\frac{1+2x}{1-2x}\right)\right\}=\lim_{x\to\infty}\left\{e^{1\over x}-\frac{4x^2}{(1-2x)^2}\right\}=0\)
2. \(\lambda>1\)을 만족하는 임의의 \(\lambda\)에 대하여
\[{\rm I}=\int_0^\infty x^\lambda e^{-px}=0\ (p>0)\]
임을 증명하여라.
<증명> 양의 정수 \(n\)에 대하여
\[\lim_{x\to\infty}x^ne^{-px}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{e^{px}}=\lim_{x\to\infty}\frac{nx^{n-1}}{pe^{px}}=\cdots=\lim_{x\to\infty}\frac{n!}{p^ne^{px}}=0\]
임의의 \(\lambda>1\)에 대하여 \(n\le\lambda<n+1\)을 만족하는 양의 정수 \(n\)이 있다. 따라서
\[\begin{gather}x^ne^{-px}\le x^\lambda e^{-px}<x^{n+1}e^{-px}\\\therefore\ 0=\lim_{x\to\infty}x^ne^{-px}\le\lim_{x\to\infty}x^\lambda e^{-px}\le\lim_{x\to\infty}x^{n+1}e^{-px}=0\\\therefore\ \lim_{x\to\infty}x^\lambda e^{-px}=0\end{gather}\]
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