베르누이 방정식 (Bernoulli Equation)

전미분(material derivative)의 대류항, \({\bf v}\cdot\nabla{\bf v}\)은 나이버-스톡스 방정식(Navier-Stokes equation)에 대입할 수 있는 벡터 항등식을 가지고 있다. 이 벡터 항등식은 아래와 같다.

\[{\bf v}\cdot\nabla{\bf v}={1\over2}\nabla{\bf v}^2-{\bf v}\times(\nabla\times{\bf v})\]

<증명> 위의 항등식 우변의 각 항을 전개한 후 대류항의 각 성분과 같음을 보인다. \({1\over2}\nabla{\bf v}^2={1\over2}\left(\frac{\partial}{\partial x}{\bf i}+\frac{\partial}{\partial y}{\bf j}+\frac{\partial}{\partial z}{\bf k}\right)(v_x^2+v_y^2+v_z^2)=v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}{\bf i}+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}{\bf j}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}{\bf k}\) \(\nabla\times{\bf v}=\left|\begin{matrix}\bf i&\bf j&\bf k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\v_x&v_y&v_z\end{matrix}\right|=\left(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\right){\bf i}+\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\right){\bf j}+\left(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\right){\bf k}\) \({\bf v}\times(\nabla\times{\bf v})=\left|\begin{matrix}\bf i&\bf j&\bf k\\v_x&v_y&v_z\\\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}{\bf i}&\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}&\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}{\bf k}\end{matrix}\right|\) \(=\left\{v_y\left(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\right)-v_z\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\right)\right\}{\bf i}+\) \(\ \ \;\,\left\{v_z\left(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\right)-v_x\left(\frac{\partial v_y}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial y}\right)\right\}{\bf j}+\) \(\ \ \;\,\left\{v_x\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\right)-v_y\left(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\right)\right\}{\bf k}+\) \({1\over2}\nabla{\bf v}^2-{\bf v}\times(\nabla\times{\bf v})=\left(v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}\right){\bf i}+\left(v_x\frac{\partial v_y}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_y}{\partial z}\right){\bf j}+\) \(\left(v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}{\bf k}\right)={\bf v}\cdot\nabla{\bf v}\)

위의 식을 나비어-스톡스 방정식에 대입하면

\[\rho\left\{\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+{1\over2}\nabla{\bf v}^2-{\bf v}\times(\nabla\times{\bf v})\right\}=-\nabla p+\mu\nabla^2{\bf v}+\rho{\bf f}\]

먼저 유동을 정상상태로 가정하면, \(\partial{\bf v}/\partial t=0\). 둘째로 점성항을 무시한다. 마지막으로 유체는 비회전성(irrotational)이라 하면, \(\nabla\times{\bf v}=0\). 남은 항들은 다음식과 같다.

\[{1\over2}\rho{\rm v}^2=-\nabla p+\rho{\bf f}\]

체적력은 이 경우 \(-z\) 방향으로 중력이 작용하므로

\[\rho{\bf f}=-\rho g{\bf k}=-\nabla(\rho gz)\]

위의 식을 대입하고 정리하면

\[\nabla\left({1\over2}\rho{\bf v}^2+p+\rho gz\right)=0\]

이는 괄호안의 항은 상수가 되어야 함을 의미한다.

\[{1\over2}\rho{\bf v}^2+p+\rho gz=\text{constant}\]

이것이 1783년 다니엘 베르누이가 처음 제안한 고전 베르누이 방정식이다. 이 식은 운동 및 위치 에너지 보존에 실제로는 내부 에너지인 압력항을 더한 것이다.

유체는 유동하지만 \(p\)는 정압(static pressure)을 나타낸다. 운동항, \({1\over2}\rho{\bf v}^2\)은 동압(dynamic pressure)를 나타낸다. 이 정적 및 동적 압력을 합하여 전체(total) 또는 정체(stagnation) 압력이 된다.

이 방정식을 \(\rho g\)로 나누면 압력에서 높이 단위로 변환된다.

\[{{\bf v}^2\over2g}+\frac{p}{\rho g}+z=H\]

이 형태에서 상수, \(H\)는 전수두(total head)로 불리운다. 이로서 유동장의 에너지는 높이로 표현이 가능하다.

베르누이 방정식 유동 과정에서 점성의 효과는 무시되었다. 그러나 실제로 유체의 점성으로 인해 유동장의 에너지는 줄어 방정식의 값도 감소하게 된다. 이를 손실수두(head loss)라 부른다. 파이프 내 유동에 있어서 점성은 파이프의 

길이에 따라 압력 강하 또는 손실 수두를 유발한다. 손실 수두는 무디 선도(Moody chart)를 사용하여 다음식으로 계산할 수 있다.

\[\Delta H=f\left({L\over D}\right){V^2\over2g}\]

여기서 \(f\)는 달시 마찰계수(Darcy friction factor)로 무디 선도로부터 구해진다.

출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Moody_chart

마찰계수 \(f\)는 층류 유동에서는 \(64/Re\)와 같다.

이는 직선 및 완전히 발달된 난류 유동에서는 다음의 콜브룩 방정식(Colebrook equation)을 만족한다.

\[{1\over\sqrt{f}}=-2\log_{10}\left(\frac{\epsilon}{3.7D_h}+\frac{2.51}{Re\sqrt{f}}\right)\]

상온에서 물의 점성계수는 \(9\times10^{-4}{\rm Pa\cdot s}\) 그리고 공기의 점성계수는 \(1.9\times10^{-5}{\rm Pa\cdot s}\) 이다.

상수도(City Water) 어느 도로의 상수도관 수압이 \(414,000 {\rm Pa}\) 이다. 집에서 수도물을 사용하기 위해 이와 연결할 직경 \(19\rm mm\) 또는 \(25\rm mm\) 플라스틱 파이프를 선택할 수 있다. 그 집은 도로에서 \(30\rm m\) 정도에 있다. 이 때 각 파이프의 직경에 따른 유량을 구하여라. <풀이> \(414,000\rm Pa\)에 대한 수두(head)는 \[{p\over\rho g}={414,000\over(1,000)(9.81)}=42.4\rm m\] 무디 선도에 따르면 플라스틱 파이프의 조도는 \(0.0025\rm mm\) 이다. 직경 \(25\rm mm\) 파이프의 상대조도는 \(\epsilon/D=0.0025/25=1\times10^{-4}\). 마찰계수는 \(0.013\) 이다. 수두 \(42.2\rm m\)에 해당하는 유속, \(V\)는\[42.4={0.013\over2}{30\over0.025}{V^2\over9.81}\] 유속, \(V=7.3\rm m/s\) 이다. 이제 레이놀즈 수를 구한다. \[Re={\rho VD\over\mu}={(1000)(7.3)(0.025)\over9\times10^{-4}}=202,778\] 무디 선도에서 이 값을 재확인하면 마찰계수는 약간 높은 \(0.015\)이나 충분히 근접하다. 이제 유량을 계산하면 \[\dot{m}=\rho VA=(1,000)(7.3){\pi\over4}(0.025)^2=3.6\rm kg/s\] \(19\rm mm\) 파이프도 동일하게 계산한다. 이 경우 상대조도는 \(0.0025/19=1.3\times10^{-4}\) 이다. 마찰계수는 \(0.015\). 수두 \(42.4\rm m\) 해당 유속은 \[42.2={0.015\over2}{30\over0.019}{V^2\over9.81}\] 유속은 \(5.9\rm m/s\) 이다. \(7.3\rm m/s\) 보다 유속이 작다는 것은 작은 직경에 따른 점성효과가 반영된 것이다. 이제 레이놀즈 수를 계산한다. \[Re={\rho VD\over\mu}={(1000)(5.9)(0.019)\over9\times10^{-4}}=124,556\] 무디 선도에서 재확인하면 마찰계수는 약간 높은 \(0.017\)이다 충분히 유사한 수치이다. 유량을 계산하면 \[\dot{m}=\rho VA=(1,000)(5.9){\pi\over4}(0.019)^2=1.7\rm kg/s\] \(19\rm mm\) 파이프의 면적은 \(25\rm mm\) 파이프의 \(56%\) 이다 유량은 \(47%\) 이다. 따라서 \(25\rm mm\) 파이프를 선택하는 것이 경제적이다.

출처 : http//www.continuummechanics.org