[연습문제] 3차 방정식

다음 \(x\)에 관한 3차 방정식의 세 근을 구하여라.

\[x^3-{49\over3}x-{524\over27}=0\]

<풀이> 카르다노의 해법을 이용한다.

\(p=-\dfrac{49}{3},\,q=\dfrac{524}{27}\)로 두고 \(x=t-\dfrac{p}{3t}\)로 치환하면 \(t^3\)에 대한 아래의 2차 방정식이 성립한다.

\(\displaystyle(t^3)^2-q(t^3)-{p^3\over27}=0\)

2차 방정식의 근의 공식으로부터

\(\displaystyle t^3={q\over2}\pm\sqrt{\left({q\over2}\right)^2+\left({p\over3}\right)^3}={262\over27}\pm\sqrt{\left({262\over27}\right)^2-\left({49\over9}\right)^3}={262\over27}\pm{11\sqrt{5}\over3}i\)

\(t\)의 한 근을 \(A=a+bi\)라고 하면 \(t_1^3=(a+bi)^3\) 이므로

\(\displaystyle a(a^2-3b^2)+b(3a^2-b^2)i={262\over27}+{11\sqrt{5}\over3}i\)에서 \(a=\dfrac{2}{3},\,b=\sqrt{5}\)

\(A\)의 켤레복소수를 \(B\)라고 하면 최종적으로 다음과 같이 \(x\)의 3개의 근을 구할 수 있다.

\(x_1=A+B=-\dfrac{4}{3}\)

\(x_2=\omega A+\omega^2B=\dfrac{2}{3}-\sqrt{15}\)

\(x_3=\omega^2A+\omega B=\dfrac{2}{3}+\sqrt{15}\)