곡선의 접촉
\(f\)의 도함수 \(f'\)이 존재하고 연속이면 곡선 \(y=f(x)\)를 매끄러운 곡선이라 한다.
정의 1 평면상의 두 곡선 \(y=f(x),\,y=g(x)\)에 대하여 \(x=c\)에서
\[f(c)=g(c),\,f'(c)=g'(c),\,f''(c)=g''(c),\,\cdots,\,f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c),\,f^{(n+1)}(c)\ne g^{(n+1)}(c)\]
이면, 두 곡선은 n차 접촉(n次 接觸)을 한다고 한다.
예를 들면, 곡선 \(y=f(x)\)가 매끄러운 곡선인 경우, 곡선 상의 점\((c,\,f(c))\)에서의 접선
\[y=g(x)=f'(c)(x-c)+f(c)\]
는 원래의 곡선과 1차 접촉을 한다.
[예제 1] 포물선 \(x^2\)과 원 \(\displaystyle(x+4)^2+\left(y-{7\over2}\right)^2={125\over4}\)와는, 점\((1,\,1)\)에서 2차 접촉함을 보여라
<풀이> \(f(x)=x^2\)라 하면 \(f'(x)=2x,\,f''(x)=2\).
원의 방정식에서 정해지는 \(x\)의 함수를 \(g(x)\)라 하면,
\[x+4+\left\{g(x)-{7\over2}\right\}g'(x)=0\]
다시 \(x\)로 미분하면
\[1+g'(x)^2+\left\{g(x)-{7\over2}\right\}g''(x)=0\]
이다. 따라서
\[f(1)=g(1)=1,\,f'(1)=g'(1)=2,\,f''(1)=g''(1)=2\]
이므로 두 곡선은 \((1,\,1)\)에서 2차 접촉을 한다.
정의 2 \(f\)가 2회 미분가능이라 한다. 곡선 \(y=f(x)\)와 점\((c,\,f(c))\)에서 2차 접촉을 하는 원
\[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2=r^2\]
을 곡선상의 점 \(P(c,\,f(c))\)에 대한 곡률원(曲率圓) 또는 접촉원(接觸圓)이라 하고, \(r\)을 \(P\)에 대한 곡률반경(曲率半經), \((\xi,\,\eta)\)를 \(P\)에 대한 곡률중심(曲率中心)이라 한다.
| 정리 1 \(f)\)는 2회 미분가능이라 하자. \(x=a\)에서 \(f''(a)\ne0\) 이면, 곡선 \(y=f(x)\) 상의 점\((a,\,b)\)에서 곡선의 곡율원 (1) \((x-\xi)^2+(y-\eta)^2=r^2\) 이 존재하며 (2) \(\xi=a-\dfrac{\{1+f'(a)^2\}f'(a)}{f''(a)},\,\eta=b+\dfrac{1+f'(a)^2}{f''(a)}\) (3) \(r^2=\dfrac{\{1+f'(a)^2\}^3}{f''(a)^2}\) 이다. |
<증명> 곡선 \(y=f(x)\)와 원 (1)이 \((a,\,b)\)에서 2차 접촉을 한다면, 원 (1)은 \((a,\,b)\)를 지나므로
\[(a-\xi)^2+(b-\eta)^2=r^2\cdots(4)\]
한편, (1)을 미분하면
\[x-\xi+(y-\eta)y'=0\cdots(5)\]
(1)에서의 함수 \(y\)를 \(g(x)\)로 두면, \(g'(a)=f'(a)\) 이므로
\[a-\xi+(b-\eta)f'(a)=0\cdots(6)\]
다시 (5)를 \(x\)로 미분하면
\[1+y'^2+(y-\eta)y''=0\]
그런데, \(g''(a)=f''(a)\) 이므로 \((a,\,b)\)에서
\[1+f'(a)^2+(b-\eta)f''(a)=0\cdots(7)\]
(6), (7)에서
\[\xi=a-\frac{\{1+f'(a)^2\}f'(a)}{f''(a)},\,\eta=b+\frac{1+f'(a)^2}{f''(a)}\]
이것을 (4)에 대입하면
\[r^2=\frac{\{1+f'(a)^2\}^3}{f''(a)^2}\]
정의 3 \(\rho=\dfrac{\{1+f'(a)^2\}^{3\over2}}{f''(a)}\)라 하면 \(|\rho|=r\) 이다.
이 때 \(\rho\)를 점\((a,\,f(a))\)에 대한 곡선의 곡률반경(曲率半經), \(\dfrac{1}{\rho}\)를 곡률(曲率)이라 한다.
[주의] 점 \(P(a,\,b)\)의 \(P\)에 대한 곡률중심을 연결한 선분의 기울기는
\[\frac{\eta-b}{\xi-a}={1\over f'(a)}\]
이므로, 곡률중심은 \((a,\,b)\)에서 법선상에 있다.
[예제 2] 곡선 \(x=f(t),\,y=g(t)\) 상의 점\((x_0,\,y_0)\)에 대한 곡률중심 \((\xi,\,\eta)\) 및 곡률반경 \(\rho\)를 구하여라.
\[\begin{split}&\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{g'}{f'}\\&\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{dt}{dx}=\frac{d}{dt}\left(\frac{g'}{f'}\right){1\over f'}=\frac{f'g''-f''g'}{f'^3}\end{split}\]
이므로 정리 1의 (2), (3)에 의해 \(x_0=f(t_0),\,y=f(t_0)\)라 하면
\[\xi=x_0-\left\{\frac{(f'^2+g'^2)g'}{f'g''-f''g'}\right\}_{t=t_0},\,\eta=y_0+\left\{\frac{(f'^2+g'^2)f'}{f'g''-f''g'}\right\}_{t=t_0},\,\rho=\left\{\frac{(f'^2+g'^2)^{3\over2}}{f'g''-f''g'}\right\}_{t=t_0}\]
[예제 3] 타원 \(a=\cos{t},\,y=b\sin{t}\)의 곡률중심의 궤적을 구하여라. 단, \(a\ne b,\,0\le t\le2\pi\).
<풀이> \(f(t)=a\cos{t},\,g(t)=b\sin{t}\)라 두면
\[\begin{split}&f'(t)=-a\sin{t},\,&f''(t)=-a\cos{t}\\&g'(t)=\ \ \ \,b\cos{t},\,&g''(t)=\,-b\sin{t}\end{split}\]
점\((x,\,y)\)에서의 곡률중심은 예제 2에 의해
\[\begin{align}&\xi=x-\frac{(f'^2+g'^2)g'}{f'g''-f''g'}=\ \ \ \frac{a^2-b^2}{a}\cos^3t\\&\eta=y+\frac{(f'^2+g'^2)f'}{f'g''-f''g'}=-\frac{a^2-b^2}{b}\sin^3t\end{align}\]
이 두 식에서 \(t\)를 소거하면
\[\left(\frac{a}{a^2-b^2}\xi\right)^{2\over3}+\left(\frac{-b}{a^2-b^2}\eta\right)^{2\over3}=1\]
따라서 곡률중심의 궤적은
\[(ax)^{2\over3}+(by)^{2\over3}=(a^2-b^2)^{2\over3}\]
정의 4 곡선의 곡률중심의 궤적을 그 곡선의 축폐선(縮閉線)이라 한다.
[예제 4] 포물선 \(y=ax^2\)의 축폐선을 구하여라.
<풀이> \(y'=2ax,\,y''=2a\)이므로, 점\((x,\,y)\)에 대한 곡률중심은
\[\begin{align}&\xi=x-\frac{(1+y'^2)y'}{y''}=x-x(1+4a^2x^2)=-4a^2x^3\\&\eta=y+\frac{1+y'^2}{y''}=ax^2+\frac{1+4a^2x^2}{2a}=\frac{1+6a^2x^2}{2a}\end{align}\]
이 두 식에서 \(x,\,y\)를 소거하면
\[27a^2\xi^2=2(2a\eta-1)^3\]
《문 제》
1. 다음 곡선상의 한 점\((x,\,y)\)에 대한 곡률을 구하여라.
(1) \(x^2+y^2=a^2\qquad\)(2) \(y=\dfrac{x^2}{4a}\qquad\) (3) \(\displaystyle y={a\over2}\left(e^{x\over a}+e^{-{x\over a}}\right)\ (\text{단},\,a>0)\)
<풀이>
(1) \(\displaystyle y'=-{x\over y},\,y''=-{a^2\over y^3}\)이므로
\[r^2=\frac{(1+y'^2)^2}{y''^2}=a^2\]
따라서 곡률 \(1/\rho=1/|r|=1/a\) 이다.
[주의] 주어진 식은 반경 \(a\)의 원의 방정식이므로 곡률은 단연히 \(1/a\)이다.
(2) \(\displaystyle y'={x\over2a},\,y''={1\over2a}\)이므로
\[r^2=\frac{(1+y'^2)^2}{y''^2}=\frac{(4a^2+x^2)^3}{16x^4}\]
따라서 곡률은
\[{1\over\rho}=\frac{4a^2}{(4a^2+x^2)^{3\over2}}\]
(3) \(\displaystyle y'={1\over2}\left(e^{x\over a}-e^{-{x\over a}}\right),\,y''={1\over2a}\left(e^{x\over a}+e^{-{x\over a}}\right)={y\over a^2}\)이므로
\[r^2=\frac{(1+y'^2)^2}{y''^2}={y^4\over a^2}\]
따라서 곡률은
\[{1\over\rho}={a\over y^2}\]
2. 곡선 \(x=a(\theta-\sin\theta),\,y=a(1-\cos\theta)\)상의 한 점에 대한 곡률중심을 구하여라.
<풀이> \(x=f(\theta),\,y=g(\theta)\)라 두면 \(f'=a(1-\cos\theta),\,f''=a\sin\theta,\,g'=a\sin\theta,\,g''=a\cos\theta\)이므로
\[\begin{split}&\xi=x-\frac{(f'^2+g'^2)g'}{f'g''-f''g'}=a(\theta+\sin\theta)\\&\eta=y+\frac{(f'^2+g'^2)f'}{f'g''-f''g'}=a(\cos\theta-1)\end{split}\]
3. 곡선 \(y=\ln{x}\)의 곡률의 절대치가 최대인 점을 구하여라.
<풀이> \(y'=1/x,\,y''=1/x^2\)이므로
\[{1\over|\rho|}=\left|\frac{y''}{(1+y'^2)^{3\over2}}\right|=\frac{x}{(x^2+1)^{3\over2}},\,\frac{d}{dx}\left(1\over|\rho|\right)=\frac{1-2x^2}{(x^2+1)^{5\over2}}\]
따라서 \(x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) 일 때 극대이고 최대치 \(\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\)를 갖는다.
4. 곡선 \((5y-8)^2=2(7-5x)\) 상의 점\((1,\,2)\)에 대한 곡률원의 방정식을 구하여라.
<풀이> \(y=f(x)\)로 두면
\[f'(x)=\frac{1}{8-5y},\qquad f''(x)=\frac{5y'}{(8-5y)^2}=5y'^3\]
이므로 \(f'(1)=-1/2,\,f''(1)=-5/8\) 이다. 따라서
\[\xi=1-\frac{\{1+f'(1)^2\}f'(1)}{f''(1)}=0,\,\eta=2+\frac{1+f'(1)^2}{f''(1)}=0,\,r^2=\frac{\{1+f'(1)^2\}^3}{f''(1)^2}=5\]
이므로 곡률원의 방정식은
\[x^2+y^2=5\]
5. 다음 곡선의 축폐선을 구하여라.
(1) \(y^2=4px\ \text{(p는 상수)}\qquad\)(2) \(xy=k^2\ \text{(k는 상수)}\)
<풀이>
(1) \(y'=\dfrac{2p}{y},\,y''=-\dfrac{4p^2}{y^3}\)이므로 곡률원의 중심은
\[\xi=x+\frac{(1+y'^2)y'}{y''}=\frac{3y^2+8p^2}{4p},\,\eta=y-\frac{1+y'^2}{y''}=-\frac{y^3}{4p^2}\]
이 두 식에서 \(y\)를 소거하면
\[27p\eta^2=4(\xi-2p)^3\]
(2) \(y'=-\dfrac{y}{x},\,y''=-\dfrac{2y'}{y^3}=\dfrac{2y}{k^2}\)이므로 곡률원의 중심은
\[\xi=x+\frac{(1+y'^2)y'}{y''}=\frac{3x^2+y^2}{2x},\,\eta=y-\frac{1+y'^2}{y''}=-\frac{3y^2+x^2}{2y}\]
이 두 식에서 \(x,\,y\)를 소거하기 위해
\[\xi+\eta=\frac{(x+y)^3}{2k^2},\,\xi-\eta=\frac{(y-x)^2}{2k^2}\]
최종적으로 위의 두 식을 조작하면
\[(\xi+\eta)^{2\over3}-(\xi-\eta)^{2\over3}=(4k)^{2\over3}\]
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