정적분의 부분적분법

부정적분에 있어서 부분적분법의 공식에 의하면

\[\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\]이다. 따라서

\[\int_a^bf(x)g'(x)dx=\left[f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\right]_a^b=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)dx\]

이것이 정적분에 있어서의 부분적분의 공식이다.

윗 식에서 \(g(x)=x\)라 하면 다음과 같은 공식을 얻는다.

\[\int_a^bf(x)dx=\left[xf(x)\right]_a^b-\int_a^bxf'(x)dx\]

[예제 1] \(\displaystyle {\rm B}_n=\int_0^{\pi/2}\cos^nxdx=\int_0^{\pi/2}\sin^nxdx\)라 한다(정적분의 치환적분법 문제 3 참고). 점화식

\[{\rm B}_n=\frac{n-1}{n}{\rm B}_{n-2}\ (n=1,\,2,\,\cdots)\]

을 증명하고, 다음 관계를 유도하여라.

\[\begin{split}&{\rm B_n}={1\over2}\cdot{3\over4}\cdot{5\over6}\cdots\frac{2m-1}{2m}\cdot{\pi\over2}\ (n=2m)\\&{\rm B}_n={2\over3}\cdot{4\over5}\cdot{6\over7}\cdots\frac{2m}{2m+1}\qquad(n=2m+1)\end{split}\]

<풀이> 부분적분법에 의해서 다음과 같이 계산한다.

\[\begin{align}{\rm B}_n&=\int_0^{\pi/2}\cos^nxdx=\int_0^{\pi/2}\cos^{n-1}x\cos{x}dx\\&=\left[\cos^{n-1}x\sin{x}\right]_0^{\pi/2}+(n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}x\sin^2xdx\\&=(n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}x(1-\cos^2x)dx=(n-1)({\rm B}_{n-2}-{\rm B}_n)\end{align}\]

여기서 \({\rm B}_n\)을 구하면

\[{\rm B}_n=\frac{n-1}{n}{\rm B}_{n-2}\]

그런데

\[{\rm B}_0=\int_0^{\pi/2}dx=[x]_0^{\pi/2}={\pi\over2},\,{\rm B}_1=\int_0^{\pi/2}\cos{x}dx=\left[\sin{x}\right]_0^{\pi/2}=1\]

이다. 이것들과 위에서 구한 점화식에서 순차적으로 \({\rm B}_n\)을 계산한다.

\(n=2m\) 이면

\[{\rm B}_n=\frac{2m-1}{2m}\cdot\frac{2m-3}{2m-2}\cdots{1\over2}{\rm B}_0={1\over2}\cdot{3\over4}\cdot{5\over6}\cdots\frac{2m-1}{2m}\cdot{\pi\over2}\]

\(n=2m+1\) 이면

\[{\rm B}_n=\frac{2m}{2m+1}\cdot\frac{2m-2}{2m-1}\cdots{2\over3}{\rm B}_1={2\over3}\cdot{4\over5}\cdot{6\over7}\cdots\frac{2m}{2m+1}\quad\ \ \ \]

[예제 2] \(\displaystyle{\rm B}(m,\,n)=\int_0^{\pi/2}\sin^mx\cos^nxdx\)라 한다. 점화식

\[\begin{align}&{\rm B}(m,\,n)=\frac{n-1}{m+n}{\rm B}(m,\,n-2)\ (n\ge2)\\&{\rm B}(m,\,n)=\frac{m-1}{m+n}{\rm B}(m-2,\,n)\ (m\ge2)\end{align}\]

를 증명하여라. 단, \(m\)과 \(n\)은 양의 정수이다.

<증명> \(n\ge2\) 이면

\[\begin{align}{\rm B}(m,\,n)&=\int_0^{\pi/2}\sin^mx\cos^nxdx=\int_0^{\pi/2}\sin^mx\cos{x}\cos^{n-1}xdx\\&=\left[\frac{\sin^{m+1}x}{m+1}\cos^{n-1}x\right]_0^{\pi/2}+\frac{n-1}{m+1}\int_0^{\pi/2}\sin^{n+2}x\cos^{n-2}dx\\&=\frac{n-1}{m+1}\int_0^{\pi/2}\sin^mx\cos^{n-2}x(1-\cos^2x)dx\\&=\frac{n-1}{m+1}\left\{{\rm B}(m,\,n-1)-{\rm B}(m,\,n)\right\}\end{align}\]

여기서 \({\rm B}(m,\,n)\)을 구하면

\[{\rm B}(m,\,n)=\frac{n-1}{m+n}{\rm B}(m,\,n-2)\]

\(m\ge2\)인 경우도 같은 방법으로 증명된다.

[예제 3] 다음 정적분을 구하여라.

(1) \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^5xdx={2\over3}\cdot{4\over5}={8\over15}\)

(2) \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^5x\cos^2xdx={\rm B}(5,\,2)={1\over7}{\rm B}(5,\,0)={8\over105}\)

[예제 4] 다음 정적분을 구하여라.

(1) \(\begin{align}\int_1^2x^n\ln{x}dx&=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln{x}\right]_1^2-{1\over n+1}\int_1^2x^ndx\\&=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln{x}\right]_1^2-{1\over(n+1)^2}\left[x^{n+1}\right]_1^2=\frac{2^{n+1}}{n+1}\ln2-\frac{2^{n+1}-1}{(n+1)^2}\end{align}\)

(2) \(\begin{align}\int_a^b(x-a)(x-b)dx&=\left[{(x-a)^2\over2}(b-x)\right]_a^b+{1\over2}\int_a^b(x-a)^2dx=\left[{(x-a)^3\over6}\right]_a^b\\&={(b-a)^3\over6}\end{align}\)

(3) \(\displaystyle\int_0^1x^2e^xdx=\left[x^2e^x\right]_0^1-2\int_0^1xe^xdx=e-2\left(\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1e^xdx\right)=e-2\)

(4) \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}x\cos{x}dx=\left[x\sin{x}\right]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin{x}dx={\pi\over2}-\left[-\cos{x}\right]_0^{\pi/2}={\pi\over2}-1\)

《문     제》

1. 다음 정적분을 구하여라.

(1) \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^4xdx={1\over2}\cdot{3\over4}\cdot{\pi\over2}={3\pi\over16}\)

(2) \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^8x\sin^2xdx={\rm B}(2,\,8)=\frac{{\rm B}(0,\,8)}{10}={1\over10}\cdot{7\over8}\cdot{5\over6}\cdot{3\over4}\cdot{1\over2}\cdot{\pi\over2}={7\pi\over512}\)

(3) \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^6xdx={5\over6}\cdot{3\over4}\cdot{1\over2}\cdot{\pi\over2}={5\pi\over32}\)

2. 다음 정적분을 구하여라.

(1) \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}x\sin{x}dx=[-x\cos{x}]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\cos{x}dx=[\sin{x}]_0^{\pi/2}=1\)

(2) \(\begin{align}\int_0^{\pi/2}x^2\cos{x}dx&=\left[x^2\sin{x}\right]_0^{\pi/2}-2\int_0^{\pi/2}x\sin{x}dx\\&={\pi^2\over4}-2\left([-x\cos{x}]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\cos{x}dx\right)={\pi^2\over4}-2[\sin{x}]_0^{\pi/2}\\&={\pi^2\over4}-2\end{align}\)

(3) \(\begin{align}\int_0^1x{\rm Tan}^{-1}xdx&=\left[{x^2\over2}{\rm Tan}^{-1}x\right]_0^1-{1\over2}\int_0^1\frac{x^2}{x^2+1}dx={\pi\over8}-{1\over2}\left[x-{\rm Tan}^{-1}x\right]_0^1\\&={\pi\over4}-{1\over2}\end{align}\)

(4) \(\begin{align}\int_0^1x^2{\rm Tan}^{-1}xdx&=\left[{x^3\over3}{\rm Tan}^{-1}x\right]_0^1-{1\over3}\int_0^1\frac{x^3}{x^2+1}dx\\&={\pi\over12}-{1\over3}\left[{x^2\over2}-\frac{\ln(x^2+1)}{2}\right]_0^1={\pi\over12}-{1\over6}+{\ln2\over6}\end{align}\)