극좌표계 벡터 변환 (Vector transformation in spherical coordinates)

직교좌표계와 상호변환

\(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(\theta={\rm Tan}^{-1}(y/x)\)

\(\phi={\rm Cos}^{-1}(z/r)\)

\(x=r\sin\theta\cos\phi\)

\(y=r\sin\theta\sin\phi\)

\(z=r\cos\theta\)

단위 벡터

극좌표계의 단위 벡터는 직교좌표계와 달리 원주(원통)좌표계 처럼 좌표의 함수이다. 따라서 직교좌표계 단위 벡터와 같이 표현하면 편리하다.

\(\hat{r}=\dfrac{\bf r}{r}=\dfrac{x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}}{r}=\sin\theta\cos\phi{\bf i}+\sin\theta\sin\phi{\bf j}+\cos\theta{\bf k}\)

\(\begin{split}\hat\theta&=\hat\phi\times\hat{r}=(-\sin\theta{\bf i}+\cos\phi{\bf j})\times(\sin\theta\cos\phi{\rm i}+\sin\theta\sin\phi{\bf j}+\cos\theta{\bf k})\\&=\cos\theta\cos\phi{\bf i}+\cos\theta\sin\phi{\bf j}-\sin\theta{\bf k}\end{split}\)

\(\hat\phi=\hat{z}\times\hat{r}(\pi/2,\,\phi)={\bf k}\times(\cos\phi{\bf i}+\sin\phi{\bf j})=-\sin\phi{\bf i}+\cos\phi{\bf j}\)

단위 벡터의 좌표계 미분

위의 표현을 이용하면 다음과 같이 쉽게 단위 벡터의 좌표계 방향별 편미분을 유도할 수 있다.

\(\dfrac{\partial\hat{r}}{\partial r}=0\)

\(\dfrac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}=\cos\theta\cos\phi{\bf i}+\cos\theta\sin\phi{\bf j}-\sin\theta{\bf k}=\hat\theta\)

\(\dfrac{\partial\hat{r}}{\partial\phi}=\sin\theta(-\sin\phi{\bf i}+\cos\phi{\bf j})=\sin\theta\hat{\phi}\)

\(\dfrac{\partial\hat\theta}{\partial r}=0\)

\(\dfrac{\partial\hat\theta}{\partial\theta}=-\sin\theta\cos\phi{\bf i}-\sin\theta\sin\phi{\bf j}-\cos\theta{\bf k}=-\hat{r}\)

\(\dfrac{\partial\hat\theta}{\partial\phi}=\cos\theta(-\sin\phi{\bf i}+\cos\phi{\bf j})=\cos\theta\hat\phi\)

\(\dfrac{\partial\hat\phi}{\partial r}=0\)

\(\dfrac{\partial\hat\phi}{\partial\theta}=0\)

\(\begin{split}\frac{\partial\hat\phi}{\partial\phi}&=-\cos\theta(\cos\theta\cos\phi{\bf i}+\cos\theta\sin\phi{\bf j}-\sin\theta{\bf k})-\sin\theta(\sin\theta\cos\phi{\bf i}+\sin\theta\sin\phi{\bf j}+\cos\theta{\bf k})\\&=-\cos\theta\hat\theta-\sin\theta\hat{r}\end{split}\)