벡터의 내적 (Dot Product of Vectors)

정의 1 영벡터가 아닌 두개의 벡터 \({\bf a},\,\bf b\)가 주어져 있을 때, 임의의 점 \(\rm O\)를 시점으로하고, \({\bf a}={\rm OA},\,{\bf b}={\rm OB}\)를 만들어, \(\theta=\angle{\rm AOB}(0\le\theta\le\pi)\)를 벡터 \(\bf a\)와 \(\bf b\)가 이루는 각(角)이라 한다. 이 때, \(\bf|a|\cdot|b|\cos\theta\)를 \({\bf a},\,{\bf b}\)의 내적(內積) 또는 스칼라적이라 하고, \(({\bf a},\,{\bf b})\) 또는 \(\bf a\cdot b\)로 나타낸다. \(\bf a\)와 \(\bf b\) 중, 어느 하나가 영벡터일 때는, \(({\bf a},\,{\bf b})=0\)로 정한다.

정리 1 (벡터의 길이, 수직, 평행의 내적표시)
(i) \(({\bf a},\,{\bf a})=|\bf a|^2\)                  
(ii) \({\bf a},\,{\bf b}\)가 영벡터가 아닐 때,
\({\bf a}\perp{\bf b}\Leftrightarrow({\bf a},\,{\bf b})=0\)
\({\bf a}\parallel{\bf b}\Leftrightarrow({\bf a},\,{\bf b})=\pm\bf|a||b|\)

[예제 1] 단위벡터 \({\bf n}=(0.4,\,0.6,\,0.693)\)에 수직인 단위벡터 \(\bf s\)를 구하여라. 단, \(\bf s\)의 \(z\) 방향 성분은 '\(0\)' 이다.

<풀이> \({\bf s}=(x,\,y,\,z)\)이라 하면 \(z=0\)에 수직이므로 \({\bf n\cdot s}=0.4x+0.6y=0\). 또한 단위벡터이므로 \(x^2+y^2=1\). 따라서 \(x=0.832,\,y=0.555,\,{\bf s}=(-0.832,\,0.555,\,0.0)\)

정리 2 (내적의 값) 벡터 \(\bf a\)를 포함하고, \(\bf a\)와 같은 방향을 갖는 직선을 \(g\)라 한다. 벡터 \({\bf b}=\rm PQ\)의 \(g\) 상에의 정사영(正射影)을 \(\rm P'Q'\)라 할 때
\(({\bf a},\,{\bf b})=|{\bf a}|\cdot{\rm P'Q'}\)

<증명> 벡터 \(\bf b\)의 시점 \(\rm P\)가 직선 \(g\) 상에 있을 때는, \(\rm P'\)는 \(\rm P\)와 겹치고, 정의로부터 \(({\bf a},\,{\bf b})={\bf |a||b|}\cos\theta=|\bf a|\cdot{\rm P'Q'}\).
점 \(\rm P\)가 \(g\)상에 없는 일반의 경우에는, 점 \(\rm P',\,Q'\)를 각각 지나 직선 \(g\)에 수직인 평면 \(\alpha,\,\beta\)를 만들면, \(\rm P,\,Q\)는 각각 \(\alpha,\,\beta\) 상에 있다. \(\beta\) 상에 선분 \(\rm QQ''\)를 \(\rm PP'\)에 평행이동시켜 \(\rm PP'QQ''\)가 평행사변형이 되게 한다. 그러면, \(\rm P'Q''=PQ={\bf b}\) 이고, \(\rm Q''Q'\)는 직선 \(g\)에 수직이 되며 앞의 경우와 같게 된다.
정리 3 (내적의 성질)
(i)  \(({\bf a},\,{\bf b})=({\bf b},\,{\bf a})\)                     
(ii) \(({\bf a},\,{\bf b+c})=({\bf a},\,{\bf b})+({\bf a},\,{\bf c})\)
     \(({\bf a+b},\,{\bf c})=({\bf a},\,{\bf c})+({\bf b},\,{\bf c})\)
(iii) \(({\bf a},\,t{\bf b})=(t{\bf a},\,{\bf b})=t({\bf a},\,{\bf b})\)  
(iv) \(({\bf i},\,{\bf i})=({\bf j},\,{\bf j})=({\bf k},\,{\bf k})=1\)   
    \(({\bf j},\,{\bf k})=({\bf k},\,{\bf  i})=({\bf i},\,{\bf j})=0\)

<증명>
(ii) 벡터 \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c}\)와 같게 \(\rm OA,\,OB,\,BC\)를 잡고, 2점 \(\rm B,\,C\)로부터 직선 \(\rm OA\)에 내린 수선의 발을 \(\rm B',\,C'\)라 한다. \({\bf b+c}=\rm OC\) 이고, 벡터 \({\bf b},\,{\bf c},\,{\bf b+c}\)의 직선 \(\rm OA\) 상에의 정사영은, 각각 \(\rm OB',\,B'C',\,OC'\) 이다. 따라서
\[\begin{split}&({\bf a},\,{\bf b+c})=\left(\overrightarrow{\rm OA},\,\overrightarrow{\rm OC}\right)={\rm OA\cdot OC'}\\&({\bf a},\,{\bf b})+({\bf a},\,{\bf c})={\rm OA\cdot OB'+OA\cdot B'C'=OA(OB'+B'C')=OA\cdot OC'}\end{split}\]
그러므로, \(({\bf a},\,{\bf b+c})=({\bf a},\,{\bf b})+({\bf a},\,{\bf c})\) 이다. 또 이것과 (i)로부터 그 다음 관계식도 성립함을 알 수 있다.
(iii) \(t=0\), 또는 \({\bf a},\,{\bf b}\) 중 어느 한개가 영벡터일 때는 쉽게 성립함을 알 수 있다. 그렇지 않을 경우, \({\bf a},\,{\bf b}\)가 이루는 각을 \(\theta\)라 하면,
\[(t{\bf a},\,{\bf b})=\begin{cases}|t{\bf a||b|}\cos\theta=t{\bf|a||b|}\cos\theta=t({\bf a},\,{\bf b})&(t>0\ \text{일 때})\\|t{\bf a||b|}\cos(\pi-\theta)=-|t|{\bf|a||b|}\cos\theta=t({\bf a},\,{\bf b})&(t<0\ \text{일 때})\end{cases}\]
따라서, \((t{\bf a},\,{\bf b})=t({\bf a},\,{\bf b})\) 이다. 또 \(({\bf a},\,t{\bf b})=(t{\bf b},\,{\bf a})=t({\bf b},\,{\bf a})=t({\bf a},\,{\bf b})\) 이다.

[예제 2] 삼각형 \(\rm ABC\)의 각 정점에서 대변에 내린 3개의 수선은 한 점에서 만남을 증명하여라.

<증명> 정점 \(\rm A,\,B\)로부터 대변에 그은 수선을 \(\rm AD,\,BE\)라 하고, 그의 교점을 \(\rm H\)라 한다.
\[\overrightarrow{\rm HA}={\bf a},\qquad\overrightarrow{\rm HB}={\bf b}\qquad\overrightarrow{\rm HC}={\bf c}\]
라 두면, \(\rm HA\perp BC\). 이것을 내적의 형태로 고치면, \(({\bf a},\,{\bf c-b})=0\). 같은 모양으로 \(\rm HB\perp CA\)를 내적으로 써서 표시하면, \(({\bf b},\,{\bf a-c})=0\). 이들 두 개의 내적을 보태면,
\[0=({\bf a},{\bf c-b})+({\bf b},\,{\bf a-c})=({\bf a},\,{\bf c})-({\bf a},\,{\bf b})+({\bf b},\,{\bf a})-({\bf b},\,{\bf c})=({\bf a},\,{\bf c})-({\bf b},\,{\bf c})=({\bf a-b},\,{\bf c})\]
이것은 \(\rm BA\perp HC\)와 동치이다.

정리 4 (내적의 성분표시) 임의의 두개의 벡터를 \({\bf x}=x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k},\,{\bf x'}=x'{\bf i}+y'{\bf j}+z'{\bf k}\)라 하면, 다음 식이 성립한다.
\(({\bf x},\,{\bf x'})=xx'+yy'+zz'\)                     
\(({\bf x},\,{\bf x})=x^2+y^2+z^2\)                          
\(({\bf x},\,{\bf i})=x,\quad({\bf x},\,{\bf j})=y,\quad({\bf x},\,{\bf k})=z\)

<증명> 내적의 성질 (ii)와 (iii)을 사용하여 내적을 성분으로 전개하고, 거기에 (iv)를 이용하면 쉽게 얻어진다.
정리 5 (벡터의 크기의 성질)
(i)   \(|t{\bf a}|=|t||{\bf a}|\)                                  
(ii)  \(|({\bf a},\,{\bf b})|\le|{\bf a}||{\bf b}|\)                           
(iii) \(|{\bf a}|+|{\bf b}|\le|{\bf a}|+|{\bf b}|\ \text{(삼각부등식)}\)

<증명>
(i) 내적의 성분표시 및 성질을 이용하면
\[|t{\bf a}|^2=(t{\bf a},\,t{\bf a})=t^2({\bf a},\,{\bf a})=t^2({\bf a},\,{\bf a})=t^2|{\bf a}|^2\]
(ii) 내적의 정의식으로부터
\[|({\bf a},\,{\bf b})|=||{\bf a}||{\bf b}|\cos\theta|\le|{\bf a}|\cdot|{\bf b}|\]
(iii) 내적의 성분표시에 관한 정리를 사용하면,
\[|{\bf a}\cdot{\bf b}|^2=({\bf a}+{\bf b},\,{\bf a}+{\bf b})=({\bf a},\,{\bf a})+2({\bf a},\,{\bf b})+({\bf b},\,{\bf b})\le|{\bf a}|^2+2|{\bf a}||{\bf b}|+|{\bf b}|^2=(|{\bf a}|+|{\bf b}|)^2\]

[예제 3]  (iii)으로부터 다음식이 유도됨을 증명하여라.
\[||{\bf a}|-|{\bf b}||\le|{\bf a}\pm{\bf b}|\]

<증명> (iii)에 있어서, \({\bf a}={\bf a'}+{\bf b'},\,{\bf b}=-{\bf b'}\)라 두면,
\[|{\bf a'}|\le|{\bf a'}+{\bf b'}|+|-{\bf b'}|=|{\bf a'}+{\bf b'}|+|{\bf b'}|\]
다시 고쳐쓰면, 일반적으로
\[|{\bf a}|-|\bf b|\le|{\bf a}+{\bf b}|\]
이고 같은 모양으로,
\[|{\bf b}|-|{\bf a}|\le|{\bf a}+{\bf b}|\]
이다. 따라서,
\[||\bf a|-|\bf b||\le|{\bf a}+{\bf b}|\]
이다. 또한,
\[||{\bf a}|-|\bf b||\le|{\bf a}-{\bf b}|\]
도 같은 모양으로 증명할 수 있다.

《문     제》

1. \(({\bf a},\,{\bf b}+{\bf c})=({\bf a},\,{\bf b})+({\bf a},\,{\bf c})\)와 내적의 성질 (i)를 이용하여, \(({\bf a}+{\bf b},\,{\bf c})=({\bf a},\,{\bf c})+({\bf b},\,{\bf c})\)를 유도하여라.

<풀이> \(({\bf a}+{\bf b},\,{\bf c})=({\bf c},\,{\bf a}+{\bf b})=({\bf c},\,{\bf a})+({\bf c},\,{\bf b})=({\bf a},\,{\bf c})+({\bf b},\,{\bf c})\)

2. 삼각부등식을 사용하여 \(|{\bf b}|-|{\bf a}|\le|{\bf a}-{\bf b}|\)를 유도하여라.

<풀이> \({\bf a}=-{\bf a'},\,{\bf b}={\bf a'}-{\bf b'}\)라 두면 \(|-{\bf b'}|=|{\bf b'}|\le|-{\bf a'}|+|{\bf a'}-{\bf b'}|=|{\bf a'}|+|{\bf a'}-{\bf b'}|\). 이것을 일반으로 쓰면 주어진 식과 같다.

3. 벡터의 크기의 내적표시 \(|{\bf x}|^2=({\bf x},\,{\bf x})\)를 써서, 다음식을 증명하여라.
\[\begin{align}&|{\bf a}+{\bf b}|^2=|{\bf a}|^2+2({\bf a},\,{\bf b})+|{\bf b}|^2\\&|{\bf a}+{\bf b}|^2+|{\bf a}-{\bf b}|^2=2|{\bf a}|^2+2|{\bf b}|^2\end{align}\]

<풀이>
\(|{\bf a}+{\bf b}|^2=({\bf a}+{\bf b},\,{\bf a}+{\bf b})=({\bf a},\,{\bf a})+({\bf a},\,{\bf b})+({\bf b},\,{\bf a})+({\bf b},\,{\bf b})=|{\bf a}|^2+2({\bf a},\,{\bf b})+|{\bf b}|^2\)
\(|{\bf a}+{\bf b}|^2+|{\bf a}-{\bf b}|^2=|{\bf a}|^2+2({\bf a},\,{\bf b})+|{\bf b}|^2+|{\bf a}|^2-2({\bf a},\,{\bf b})+|{\bf b}|^2=2|{\bf a}|^2+2|{\bf b}|^2\)

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