2중적분

2변수 \((x,\,y)\) 함수 \({\rm F}(x,\,y)={\rm F(P)}\)에서 \(\rm P\)는 좌표 \((x,\,y)\)를 갖는 \(xy\) 평면 위에 영역 \(\rm D\)가 있다 하자. \(\rm D\)를 여러 곡선으로 분할하여, 분할 \(\Delta\)에서 얻어지는 각 소영역에 번호를 붙여

\[{\rm D}_1,\,{\rm D}_2,\,\cdots,\,{\rm D}_i,\,\cdots,\,{\rm D}_n\]

이라 하자.

그림 1

각각의 소영역 \({\rm D}_i\) 내에서 임의의 점 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2),\,\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n)\)을 잡아 다음의 합

\[\begin{align}{\rm S}_n&=\sum_{i=1}^n{\rm F(P}_i)\Delta{\rm S}_i\\&={\rm F(P_1)\Delta S_1+F(P_2)\Delta S_2+\cdots+F(P}_n)\Delta{\rm S}_n\\&={\rm F}(x_1,\,y_1)\Delta{\rm S_1+F}(x_2,\,y_2)\Delta{\rm S_2+\cdots+F}(x_n,\,y_n)\Delta{\rm S}_n\end{align}\]

을 만들자. 여기서 \(\Delta{\rm S}_i\)는 각 소영역 \({\rm D}_i\)의 면적을 나타낸다. 이 분할을 \(\rm D_i\)의 면적이 0에 수렴하도록 세분할 때 합 \({\rm S}_n\)이 일정한 극한치 \(\rm S\)에 한없이 가까이 갈 때, 즉

\[{\rm S}=\lim_{n\to\infty}{\rm S}_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n{\rm F(P}_i)\Delta{\rm S}_i\]

일 경우, 함수 \({\rm F}(x,\,y)={\rm F(P)}\)는 영역 \(\rm D\)에서 적분가능(積分可能)이다 라고 한다. 극한치 \(\rm S\)를

\[\iint_{\rm D}{}{\rm F(P)}d{\rm S}=\iint_{\rm D}{\rm F}(x,\,y)d{\rm P}=\iint_{\rm D}{\rm F}(x,\,y)dxdy\]

등으로 표시하고, 이것을 \(\rm D\) 위에서 \(\rm F(P)\)의 2중적분(二中積分), 또는 단순히 적분(積分)이라 한다. 또한 영역 \(\rm D\)를 적분영역(積分領域)이라 한다.

그림 2

함수 \({\rm F}(x,\,y)\)가 영역 \(\rm D\)에서 연속이고 또 함수값이 양일 때, 방정식 \(z={\rm F}(x,\,y)\)는 \(xy\) 평면의 영역 \(\rm D\)의 상부에 있는 연속곡면을 표시한다. \(\rm D\)를 분할할 때 나타나는 소영역 \({\rm D}_i\)를 밑면으로 하고 그 위에 선 기둥과 곡면 \(z={\rm F}(x,\,y)\)와 만나는 부분을 \({\rm A}_i\)라 하자. \({\rm D}_i\)와 \({\rm A}_i\) 사이에 있는 기둥의 부피를 \(\Delta{\rm V}_i\)라 표시하면

\[m\Delta{\rm S}\le\Delta{\rm V}_i\le{\rm M\Delta S}_i\]

가 된다. 여기서 \(\rm M\)은 소영역 \({\rm D}_i\)에 있어서 \({\rm F}(x,\,y)\)의 최대치, \(m\)은 최소치를 나타낸다. 따라서 \(\Delta{\rm V}_i=k\Delta{\rm S}_i\)로 두면

\[m\le{k}\le{\rm M}\]

이므로, \({\rm D}_i\)내에 적당한 점 \({\rm P}_i(\xi_i,\,\eta_i)\)가 존재하여

\[{\rm F(P}_i)={\rm F}(\xi_i,\,\eta_i)=k\]

가 된다. 그러므로 \(\Delta{\rm V}_i={\rm F}(\xi_i,\eta_i)\Delta{\rm S}_i\) 이다.

그러므로, \(\rm D\)를 밑으로 하고 그 위에 세운 기둥과 곡면 \(z={\rm F}(x,\,y)\)와 사이에 있는 입체의 부피는

\[{\rm V}=\sum_{i=1}^n\Delta{\rm V}_i=\sum_{i=1}^n{\rm F}(\xi_i,\,\eta_i)\Delta{\rm S}_i\]

가 된다. 따라서 분할을 세분하여 극한치를 구하면

\[{\rm V}=\iint_{\rm D}{\rm F(P)}d{\rm S}\]

가 얻어진다. 즉, 영역 \(\rm D\) 상에서 \(\rm F(P)\)가 연속이고 \(\rm F(P)\ge0\)인 경우에는 2중적분 \(\iint_{\rm D}{\rm F(P)}d{\rm S}\)는 영역 \(\rm D\)를 밑면으로 하여 그 위에 선 기둥면과 곡면 \(z={\rm F}(x,\,y)\)와의 사이에 있는 물체의 부피를 표시한다.

그러므로, \(\rm F(P)=1\) 이라면 2중적분 \(\iint_{\rm D}d{\rm S}=\iint_{\rm D}1dxdy\)는 영역 \(\rm D\)의 면적을 나타낸다. 1 변수 적분과 마찬가지로 이것을 각각

\[\iint_{\rm D}d{\rm S}=\iint_{\rm D}dxdy\]

로 나타낸다.

2중적분의 정의에 따라, 정적분에서와 같은 방법으로 다음 정리들이 성립한다.

정리 1. \[\begin{split}&\iint_{\rm D}({\rm F_1+F_2})d{\rm S}=\iint_{\rm D}{\rm F}_1d{\rm S}+\iint_{\rm D}{\rm F}_2d{\rm S}\\&\iint_{\rm D}k{\rm F}d{\rm S}=k\iint_{\rm D}{\rm F}d{\rm S}\ (k\text{는 상수})\\&\iint_{\rm D_1+D_2}=\iint_{\rm D_1}{\rm F}d{\rm S}+\iint_{\rm D_2}{\rm F}d{\rm S}\end{split}\]

정리 2. 영역 \(\rm D\)에서 \(\rm F(P)\le G(P)\) 이면 \[\iint_{\rm D}{\rm F}d{\rm S}\le\iint_{\rm D}{\rm G}d{\rm S}\]

정리 3. \[\left|\iint_{\rm D}{\rm F}d{\rm S}\right|\le\iint_{\rm D}|{\rm F}|d{\rm S}\]

정리 4. 함수 \(\rm F(P)\)의 \(\rm D\) 내에서의 최대치를 \(\rm M\), 최소치를 \(m\)으로 두면 \[m{\rm S}\le\iint_{\rm D}{\rm F}d{\rm S}\le{\rm MS}\]단, \(\rm S\)는 \(\rm D\)의 면적이다.

정리 5. (평균치 정리) 함수 \(\rm F(P)\)가 \(\rm D\)에서 연속이면  \[\iint_{\rm D}{\rm F}d{\rm S}=\rm F(P_0)S\]인 점 \(\rm P_0\)가 \(\rm D\) 내에 존재한다. 단, \(\rm S\)는 \(\rm D\)의 면적을 나타낸다.