좌표와 성분

정의 1 공간내의 한 점 \(\rm O\)로부터 일차독립인 3개의 벡터

\[e_1=\overrightarrow{\rm OE_1},\,e_2=\overrightarrow{\rm OE_2},\,e_3=\overrightarrow{\rm OE_3}\]

을 만들면, 임의의 벡터 \(\bf x\)는 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)의 일차결합으로서

\[{\bf x}=xe_1+ye_2+ze_3\ (x,\,y,\,z\text{는 실수})\]

의 형으로 일의성으로 표현된다. 이 때 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)을 공간의 기저(基底)벡터 또는 기저라 부르고, \(\{e_1,\,e_2,\,e_3\}\)로 표현한다. \(x,\,y,\,z\)는 기저 \(\{e_1,\,e_2,\,e_3\}\)에 관한 벡터 \(\bf x\)의 성분(成分)이라 하고,

\[{\bf x}=[x,\,y,\,z]\ \text{또는}\ {\bf x}=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\]

로 나타낸다. 특히 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)가 서로 직교하는 단위벡터일 때, 이것을 보통 \({\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\)로 쓰기로 하고, \(\{{\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\}\)를 정규직교기저(正規直交基底)라 한다.

[주의] 기저는 항상 일차독립인 벡터의 짝으로 되어 있다.

평면의 경우는, 위 정의의 특별한 경우로서 정의된다. 단, 평면에 있어서 기저의 부호를 생각하여 다음과 같이 생각한다. 직교기저 \({\bf i},\,{\bf j}\)의 시점을 동일한 점 \(\rm O\)라 할 때, \(\bf i\)로부터 \(\bf j\)를 향하여 잰 각이 \(\pi/2\) 일 때, 이것을 정(正)의 직교기저라 하고, \(-\pi/2\) 일 때 부(負)의 직교기저라 한다.

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