좌표와 성분

정의 1 공간내의 한 점 \(\rm O\)로부터 일차독립인 3개의 벡터

\[e_1=\overrightarrow{\rm OE_1},\,e_2=\overrightarrow{\rm OE_2},\,e_3=\overrightarrow{\rm OE_3}\]

을 만들면, 임의의 벡터 \(\bf x\)는 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)의 일차결합으로서

\[{\bf x}=xe_1+ye_2+ze_3\ (x,\,y,\,z\text{는 실수})\]

의 형으로 일의성으로 표현된다. 이 때 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)을 공간의 기저(基底)벡터 또는 기저라 부르고, \(\{e_1,\,e_2,\,e_3\}\)로 표현한다. \(x,\,y,\,z\)는 기저 \(\{e_1,\,e_2,\,e_3\}\)에 관한 벡터 \(\bf x\)의 성분(成分)이라 하고,

\[{\bf x}=[x,\,y,\,z]\ \text{또는}\ {\bf x}=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\]

로 나타낸다. 특히 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)가 서로 직교하는 단위벡터일 때, 이것을 보통 \({\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\)로 쓰기로 하고, \(\{{\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\}\)를 정규직교기저(正規直交基底)라 한다.

[주의] 기저는 항상 일차독립인 벡터의 짝으로 되어 있다.

평면의 경우는, 위 정의의 특별한 경우로서 정의된다. 단, 평면에 있어서 기저의 부호를 생각하여 다음과 같이 생각한다. 직교기저 \({\bf i},\,{\bf j}\)의 시점을 동일한 점 \(\rm O\)라 할 때, \(\bf i\)로부터 \(\bf j\)를 향하여 잰 각이 \(\pi/2\) 일 때, 이것을 정(正)의 직교기저라 하고, \(-\pi/2\) 일 때 부(負)의 직교기저라 한다.

일반적으로, 일차독립이지만, 직교하지 않는 2개의 벡터에 대해서도, 같은 모양으로 기저의 부호를 구별할 수 있다.

공간의 경우에는 \({\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\)의 시점을 동일점 \(\rm O\)라 할 때, 이들이 순서대로 오른쪽 엄지손가락, 둘째손가락, 가운데손가락의 위치관계에 있을 때, 기저 \(\{{\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\}\)는 정의 직교기저, 우수계(右手系) 또는 정계(正系)라 하고, 그렇지 않을 때는 부의 직교기저, 좌수계(左手系) 또는 부계(負系)라고 한다. 일반적으로, 일차독립이지만 직교하지 않는 3개의 벡터에 대해서도 같은 모양으로 기저의 부호를 구별한다.

정점 \(\rm O\)와 기저를 합쳐서 생각하면, 점의 좌표라 하는 개념이 생겨난다.

정의 2 공간내의 한 점 \(\rm O\)를 정하고, 임의의 점을 \(\rm P\)라 할 때, 벡터 \(\rm OP\)를 점 \(\rm P\)의 \(\rm O\)에 관한 위치벡터라 한다.

정점 \(\rm O\)와 기저 \(\{e_1,\,e_2,\,e_3\}\)를 택할 때, 임의의 점을 \(\rm P\)의 \(\rm O\)에 관한 위치벡터 \(\rm OP\)를 \(\bf x\)라 하면

\[{\bf x}=xe_1+ye_2+ze_3\]

의 형으로 오직 한가지 방법으로 쓸 수 있다. 이러한 공간내의 점 \(\rm P\)와 실수의 짝 \((x,\,y,\,z)\)와의 사이의 대응을 공간의 평행좌표계(平行座標系)라 하고, 이것을 \(\{{\rm O}\,;\,e_1,\,e_2,\,e_3\}\) 이라고 나타내며, \((x,\,y,\,z)\)를 점 \(\rm P\)의 평행좌표 또는 간단히 좌표라 한다. 좌표가 \((x,\,y,\,z)\)인 점을 \({\rm P}(x,\,y,\,z)\)라 쓴다. 또, 점 \(\rm O\)를 좌표의 원점(原点)이라 하고, 원점 \(\rm O\)를 지나 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)의 방향을 갖는 직선을 각각 \(x\)축, \(y\)축, \(z\)축이라 하고, 합쳐서 좌표축이라 한다.

특히, \(\{{\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\}\)가 정규직교기저일 경우, 좌표계 \(\{{\rm O}\,;\,{\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\}\)를 직교좌표계(直交座標系)라 하고, 좌표\((x,\,y,\,z)\)를 직교좌표, 좌표축을 직교축이라 한다.

평면에 있어서, 점의 좌표에 대해서도 같은 모양으로 정의할 수 있다.

정리 1. (성분에 관한 연산의 성질) 벡터의 성분에 대해서는, 다음의 관계식이 성립한다. (i) \({\bf x}=[x,\,y,\,z]\) 라면 \[t{\bf x}=[tx,\,ty,\,tz]\](ii) \({\bf x}_1=[x_1,\,y_1,\,z_1],\,{\bf x}_2=[x_2,\,y_2,\,z_2]\) \[{\bf x}_1\pm{\bf x}_2=[x_1\pm x_2,\,y_1\pm y_2,\,z_1\pm z_2]\](iii) \({\rm P}(x_1,\,y_1,\,z_1),\,{\rm Q}(x_2,\,y_2,\,z_2)\) 라면,\[\overrightarrow{\rm PQ}=[x_2-x_1,\,y_2-y_1,\,z_2-z_1]\]

<증명>

(i) \({\bf x}=xe_1+ye_2+ze_3\) 이므로

   \(t{\bf x}=t(xe_1+ye_2+ze_3)=txe_1+txe_2+txe_3=[tx,\,ty,\,tz]\)

(ii) \({\bf x_1}=x_1e_1+y_1e_2+z_1e_3,\,{\bf x_2}=x_2e_1+y_2e_2+z_2e_3\) 이므로

      \({\bf x_1}\pm{\bf x_2}=(x_1\pm x_2)e_1+(y_1\pm y_2)e_2+(z_1\pm z_2)e_3=[x_1\pm x_2,\,y_1\pm y_2,\,z_1\pm z_2]\)

(iii) \(\overrightarrow{\rm PQ}=\overrightarrow{\rm OQ}-\overrightarrow{\rm OP}=(x_2e_1+y_2e_2+z_2e_3)-(x_1e_1+y_1e_2+z_1e_3)\)

             \(=(x_2-x_1)e_1+(y_2-y_1)e_2+(z_2-z_1)e_3=[x_2-x_1,\,y_2-y_1,\,z_2-z_1]\)

정리 2 (선분을 m:n으로 나누는 점) 선분 \(\rm AB\)를 \(m:n\)의 비로 나누는 점을 \(\rm P\)라 한다. 점 \(\rm A,\,B\)의 위치벡터를 각각 \[{\bf a}=[x_1,\,y_1,\,z_1],\,{\bf b}=[x_2,\,y_2,\,z_2]\]라 할 때, 점 \(\rm P\)의 위치벡터 \({\bf x}=[x,\,y,\,z]\)는 다음 식으로 표현된다. \[{\bf x}=\frac{n{\bf a}+m{\bf b}}{m+n}\]또는 \[x=\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\,y=\frac{ny_1+my_2}{m+n},\,z=\frac{nz_1+mz_2}{m+n}\]

<증명> 유향성분 \(\rm AP, PB\)의 길이의 비는 \(m:n\) 이므로

\[n\overrightarrow{\rm AP}=m\overrightarrow{\rm PB}\]

여기에서, \({\rm AP}={\bf x}-{\bf a},\,{\rm PB}={\bf b}-{\bf x}\) 이므로, 이것을 윗식에 대입하면

\[n({\bf x}-{\bf a})=m({\bf b}-{\bf x})\]

에 의하여

\[{\bf x}=\frac{n{\bf a}+m{\bf b}}{m+n}\]

이고, 성분을 써서 나타내면

\[xe_1+ye_2+ze_3=\frac{n}{m+n}(x_1e_1+y_1e_2+z_1e_3)+\frac{m}{m+n}(x_2e_1+y_2e_2+z_2e_3)\]

이다. 양변의 각 성분을 비교해보면 구하고자 하는 식이 얻어진다.

[예제 1] 삼각형의 3개의 중선은 한 점에서 만남을 증명하여라.

<증명> 정점 \(\rm A,\,B,\,C\)의 위치벡터를 각각 \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c}\)라 한다. 변 \(\rm BC\)의 중점을 \(\rm M\)이라 하면, \(\rm M\)의 위치벡터는 \(({\bf a}+{\bf b})/2\) 이다. 중선 \(\rm AM\)을 \(2:1\)로 내분하는 점을 \(\rm P\)라 하면, \(\rm P\)의 위치벡터 \(\bf x\)는

\[{\bf x}={1\over2+1}\left(1\cdot{\bf a}+2\cdot\frac{{\bf b}+{\bf c}}{2}\right)=\frac{{\bf a}+{\bf b}+{\bf c}}{3}\]

로 표현된다. 이것은 \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c}\)에 대한 대칭식이다. 따라서, 다른 중선을 \(2:1\)로 내분하는 점도 같은 위치벡터가 되어서, \(3\)개의 중선은 \(\rm P\)에서 만난다.

[주의]  점 \(\rm P\)는 삼각형 \(\rm ABC\)의 무게중심(重心)이라 한다.

《문      제》

1. \({\bf a}=[-2,\,3,\,0],\,{\bf b}=[2,\,-1,\,3],\,c=[1,\,-1,\,2]\)라 할 때, \(2{\bf a}-{\bf b}+3{\bf c}\)의 성분을 구하여라.

<풀이> \(2{\bf a}-{\bf b}+3{\bf c}=2[-2,\,3,\,0]-[2,\,-1,\,3]+3[1,\,-1,\,2]=[-3,\,4,\,3]\)

2. \(2\) 점 \(\rm P(2,\,-3,\,1),\,Q(1,\,2,\,-1)\)을 연결하는 선분을 \(3:2\)의 비율로 내분 또는 외분하는 점의 좌표를 구하여라.

<풀이> \(\rm OP={\bf p},\,OQ={\bf q}\)로 두고 내분점의 위치벡터를 \(\bf x\)라 하면

\[{\bf x}=\frac{2{\bf p}+3{\bf q}}{3+2}\]

이므로 \({\bf x}=[{7\over5},\,0,\,-{1\over5}]\) 이다.

외분점의 위치벡터를 \(\bf x\)라 하면

\[{\bf q}=\frac{2{\bf x}+{\bf p}}{1+2}\ \text{또는}\ {\bf x}=3{\bf q}-2{\bf p}\]

이므로 \({\bf x}=[-1,\,12,\,-5]\) 이다.

3. 서로 다른 두 점 \(\rm A,\,B\)가 있다. 직선 \(\rm AB\) 상을 \(\rm P\)가 무한히 먼 한 쪽 끝에서 다른 쪽 끝으로 움직일 때, \(\rm AP:PB\)의 비 \(r\)은 어떻게 변할 까?

<풀이> \(r=\rm AP/PB=AB/PB+1\) 이므로

\[\lim_{\rm PB\to\infty}r=\lim_{\rm PB\to\infty}\left({\rm AB\over PB}+1\right)=1\]

4. 사면체 \(\rm ABCD\)의 정점의 위치벡터를 각각 \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c},\,{\bf d}\)리 한다. 대변 \(\rm AB,\,CD\)의 중점을 각각 \(\rm E,\,F\)라 할 때, 선분 \(\rm EF\)의 중점 \(\rm M\)의 위치벡터를 구하여라.

<풀이> 중점 \(\rm E,\,F\)의 위치벡터는 각각 \({\bf e}={{\bf a}+{\bf b}\over2},\,{\bf f}={{\bf c}+{\bf d}\over2}\) 이므로 중점 \(\rm M\)의 위치벡터는 \({\bf m}={{\bf e}+{\bf f}\over2}={{\bf a}+{\bf b}+{\bf c}+{\bf d}\over4}\으로) 이다.

5. 사면체의 대변의 중점을 연결하는 \(3\)개의 선분은 한 점에서 만남을 증명하여라.

<증명> 문제 4의 결과는 \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c},\,{\bf d}\)에 대한 대칭식이다. 따라서, 다른 \(2\)개의 선분의 중점도 같은 위치벡터가 된다.

6. \(\triangle\rm ABC\)의 정점의 위치벡터를 각각 \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c}\)라 할 때, \(\triangle\rm ABC\)의 내부 및 주상(周上)의 임의의 점 \(\rm P\)의 위치벡터 \(\bf x\)는

\[{\bf x}=s{\bf a}+t{\bf b}+u{\bf c}(\text{단},\,s\ge0,\,t\ge0,\,u\ge0,\,s+t+u=1)\]

로 표현되는 것을 증명하여라.

<증명> 선분 \(\rm AB\)를 \(m':n'\)으로 내분하는 임의의 점 \(\rm P'\)의 위치벡터를 \(\bf x'\)라 하면,

\[{\bf x'}=\frac{n'{\bf a}+m'{\bf b}}{m'+n'}\]

다시 선분 \(\rm P'C\)를 \(m:n\)으로 내분하는 임의의 점 \(\rm P\)의 위치벡터 \(\bf x\)는

\[{\bf x}=\frac{n{\bf x'}+m{\bf c}}{m+n}=\frac{nn'{\bf a}+nm'{\bf b}+m(m'+n'){\bf c}}{(m'+n')(m+n)}=s{\bf a}+t{\bf b}+u{\bf c}\]

또한 위의 식으로부터 \(s+t+u=1\) 이다.

7. 사면체 \(\rm ABCD\)의 각 정점 \(\rm A,\,B,\,C,\,D\)와 각각의 대면의 삼각형의 중심을 연결하는 \(4\)개의 직선은 한 점에서 만남을 증명하여라.

<증명> 정점 \(\rm A,\,B,\,C,\,D\)의 위치벡터를 각각 \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c},\,{\bf d}\)라 하면 \(\triangle\rm ABC\)와 \(\triangle\rm BCD\)의 각각의 무게 중심 \(\rm P_1,\,P_2\)의 위치벡터 \({\bf x}_1,\,{\bf x}_2\)는 예제 1에 의하여

\[{\bf x}_1={{\bf a}+{\bf b}+{\bf c}\over3},\,{\bf x}_2={{\bf b}+{\bf c}+{\bf d}\over3}\]

한편 선분 \(\rm P_1D,\,P_2D\)의 교점 \(\rm P\)는 각 선분을 동일한 비율 \(m:n\)으로 내분하는 점이므로 다음식이 성립한다.

\[\frac{n{\bf x}_1+m{\bf d}}{m+n}=\frac{n{\bf x}_2+m{\bf a}}{m+n}\]

앞의 \({\bf x}_1,\,{\bf x}_2\)에 관한 식을 윗 식에 대입하면 \(3m=n\), 즉 \(m:n=1:3\)이 되어야 한다. 따라서 교점 \(\rm P\)의 위치벡터를 \(\rm x\)라 하면

\[{\bf x}={{\bf a}+{\bf b}+{\bf c}+{\bf d}\over4}\]

이다. 이 식은 \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c},\,{\bf d}\)에 대한 대칭식이므로 \(4\)개의 직선은 한 점에서 만난다.