기계공학 (Mechanical Engineering)

함수 \(f(x)\)가 구간  \([a,\,b]\)에서 연속 이고, \(f(x)\ge0\)이라 한다. 구간 \([a,\,b]\)를 \(2n\) 등분해서 분점을 \[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{2n}=b\] 라 하자. 각 분점에 있어서의 함수 \(f(x)\)의 값을 각각 \[y_0=f(x_0),\,y_1=f(x_1),\,\cdots,\,y_{2n}=f_{2n}(x_{2n})\] 라 한다. 각 소구간의 길이는 모두 같아서 \[h=\frac{b-a}{2n}\] 이다. 사다리꼴의 공식 에서는 곡선의 각 소부분을 선분으로 보았으나, Simpson의 공식에서는 이것을 \(y\)축에 평행한 축을 가지는 포물선의 일부로 보고 적분 의 근사값을 구한다. 그래서 \(y=f(x)\)의 그래프를 나타내는 곡선을 아래 그림과 같이 \(2n-1\) 개의 분점 \[\rm P_1,\,P_2,\,\cdots,\,P_{2n-1}\] 으로 분할한다. 곡선의 소부분 \[\rm P_1P_2P_3,\,P_2P_3P_4,\,\cdots,\,P_{2n-2}P_{2n-1}P_{2n}\] 을 각각 \(y\)축에 평행한 축을 갖는 포물선의 일부로 보고, 이들 포물선의 호와 \(x\)추가 사이에 있는 면적을 위의 그림과 같이 각각 \[\rm S_1,\,S_2,\,\cdots,\,S_n\] 라 하고, 적분을 다음과 같이 근사시킨다. \[\int_a^bf(x)dx\fallingdotseq\rm S_1+S_2+\cdots+S_n\] 그래서 \(\rm S_1\)을 구해 보자. 호 \(\rm P_0P_1P_2\)를 \(y\)축에 평행한 축을 갖는 포물선의 일부라고 보고, 이 포물선의 방정식을 구한다. 계산을 간단히 하기 위하여 좌표축을 \(x\)축의 방향으로 평행이동하여 점 \(\rm P_1\)이 \(y\)축 위에 오도록 한다. 그래서 이 새로운 좌표에 관한 이 포물선의 방정식을 \[y=ax^2+bx+c\] 라 하자. \(\rm P_0,\,P_1,\,P_2\)의 새...

함수와 그래프 정의 1 (\(\epsilon\)-近傍) 평면 상의 한 점 \({\rm A}(a,\,b)\)에서 거리가 \(\epsilon\)보다 작은 점 \({\rm P}(x,\,y)\)들의 집합 \[{\rm N}_\epsilon({\rm A})=\{{\rm P}|\rho({\rm A,\,P})<\epsilon\}=\left\{(x,\,y)|\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\epsilon\right\}\] 를 \(\rm A\)의 \(\epsilon\)-근방(近傍)이라고 한다(단, \(\rho(\rm A,\,P)\)는 두 점 \(\rm A,\,P\) 사이의 거리를 표시한다) . 평면전체 또는 그 부분집합 \(\rm D\) 내의 임의의 점 \({\rm P}(x,\,y)\)에 단 하나의 실수 \(z\)를 대응시키는 대응규칙을, \(\rm D\)를 정의역으로 하는 함수 라 하고, \[f\ :\ \rm D\ \to\ R\] 로 나타낸다. 함수 \(f\)의 정의역을 \({\rm D}_f\)로 표시한다. \(f\)에 의해 점 \(\rm P\)에 실수 \(z\)가 대응한다는 것을 \[z=f({\rm P})=f(x,\,y)\] 로 나타내며, 이러한 실수 \(z\)의 집합을 \(f\)의 치역이라 하고 \({\rm R}_f\)로 표시한다. \(x=f(x,\,y)\)는 두 변수 \(x\)와 \(y\)의 값이 주어질 때, \(z\)의 값이 정해지므로 \(f\)를 2변수 함수(二變數函數)라고 한다. 3개 이상의 변수에 관한 함수도 같은 방법으로 정의될 수 있는데 2변수 이상의 함수를 다변수함수(多變數函數)라 한다. [예제 1] 2변수 함수의 예 (1) \(f(x,\,y)=3x-2y\), 정의역은 전평면 (2) \(f(x,\,y)=1-x^2-y^2\), 정의역은 전평면 (3) \(f(x,\,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}\), 정의역은 원점을 중심으로 하고 반경이 1인 원과 그 내부 (4) \(f(x,\,y)=\dfrac{x}{y}\), 정의역은 전평면에서...

피적분함수 \(f(x)\)를 나타내는 수식을 알 수 없는 경우에 실험이나 관측 등에 의해서 \(f(x)\)의 값을 알게 되었다고 하고 \[\int_a^bf(x)dx\] 의 근사값을 구하는 방법을 생각하자. 이 때, 가장 간단한 방법으로서 사다리꼴의 공식이 있다. 구간 \([a,\,b]\)에서 \(f(x)\)는 연속 이고 \(f(x)\ge0\)라 하자. 구간 \([a,\,b]\)를 \(n\) 등분해서 분점 \[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b\] 에 있어서의 함수 \(f(x)\)의 값이 알려져 있어 \[y_1=f(x_1),\,y_2=f(x_2),\,\cdots,\,y_n=f(x_n)\] 라 하자. \(x\) \(x_0\quad x_1\quad x_2\quad\cdots \quad x_n\) \(y=f(x)\) \(y_0\quad y_1\quad y_2\quad\cdots \quad y_n\) 이 분할에 있어서의 각 소구간의 길이는 모두 같아서 \[h={b-a\over n}\] 이다. 그런데 \(y=f(x)\)의 그래프, \(y\)축에 평행한 두 직선 \(x=a,\,x=b\) 및 \(x\)축으로 둘러싸이는 도형의 면적은 정적분 \[{\rm A}=\int_a^bf(x)dx\] 를 나타낸다고 생각하고, 이 면적의 근사값을 다음과 같이 구한다. 위의 그림과 같이 분점 \(x_{i-1}\)에서 \(x_i(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\)까지의 부분을 모두 사다리꼴이라 보고, 이들 사다리꼴의 넓이를 각각 \[\rm S_1,\,S_2,\,\cdots,\,S_n\] 라 해서 이들의 합으로 \(\rm A\)에 근사시킨다. 즉, \[\rm A\approx S_1+S_2+\cdots+S_n\] 이다. 여기서 사다리꼴의 공식에 의하면 \[{\rm S}_1={h\over2}(y_0+y_1),\,{\rm S}_2={h\over2}(y_1+y_2),\,\...

함수 의 극한 을 구할 때 형식상 \[{0\over0},\qquad{\infty\over\infty},\qquad0\cdot\infty,\qquad\infty-\infty\] 등과 같은 형태의 극한이 자주 나타난다. 이런 꼴의 극한을 부정형(不定形)이라 한다. 부정형 \(\dfrac{0}{0}\) 정리 1  (L'hospital의 法則) 함수 \(f,\,g\)가 \(x=a\)를 포함하는 구간 에서 미분가능 이고, 그 구간에서 \(g'(x)\ne0\) 이라고 한다. \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0,\,x=a\) 이외에서는 \(g(x)\ne0\) 일 때 극한 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\]가 존재하면 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]이다. <증명> \(f,\,g\)는 \(x=a\)를 포함하는 구간에서 연속 이므로 \[\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=0,\,\lim_{x\to a}g(x)=g(a)=0\] 이다. 한편 Cauchy의 公式 에 의하여, \(x\ne a\) 일 때 \[\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\] 이 때 \(a<\xi<x\), 또는 \(x<\xi<a\) 이므로 \[\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\ \text{라 하면}\ \lim_{x\to a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=A.\] 따라서 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)...

다음 \(x\)에 관한 3차 방정식의 세 근을 구하여라. \[x^3-{49\over3}x-{524\over27}=0\] <풀이> 카르다노의 해법 을 이용한다. \(p=-\dfrac{49}{3},\,q=\dfrac{524}{27}\)로 두고 \(x=t-\dfrac{p}{3t}\)로 치환하면 \(t^3\)에 대한 아래의 2차 방정식이 성립한다. \(\displaystyle(t^3)^2-q(t^3)-{p^3\over27}=0\) 2차 방정식의 근의 공식으로부터 \(\displaystyle t^3={q\over2}\pm\sqrt{\left({q\over2}\right)^2+\left({p\over3}\right)^3}={262\over27}\pm\sqrt{\left({262\over27}\right)^2-\left({49\over9}\right)^3}={262\over27}\pm{11\sqrt{5}\over3}i\) \(t\)의 한 근을 \(A=a+bi\)라고 하면 \(t_1^3=(a+bi)^3\) 이므로 \(\displaystyle a(a^2-3b^2)+b(3a^2-b^2)i={262\over27}+{11\sqrt{5}\over3}i\)에서 \(a=\dfrac{2}{3},\,b=\sqrt{5}\) \(A\)의 켤레복소수를 \(B\)라고 하면 최종적으로 다음과 같이 \(x\)의 3개의 근을 구할 수 있다. \(x_1=A+B=-\dfrac{4}{3}\) \(x_2=\omega A+\omega^2B=\dfrac{2}{3}-\sqrt{15}\) \(x_3=\omega^2A+\omega B=\dfrac{2}{3}+\sqrt{15}\)

부정적분 에 있어서 부분적분법 의 공식에 의하면 \[\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\] 이다. 따라서 \[\int_a^bf(x)g'(x)dx=\left[f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\right]_a^b=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)dx\] 이것이 정적분 에 있어서의 부분적분의 공식이다. 윗 식에서 \(g(x)=x\)라 하면 다음과 같은 공식을 얻는다. \[\int_a^bf(x)dx=\left[xf(x)\right]_a^b-\int_a^bxf'(x)dx\] [ 예제 1 ] \(\displaystyle {\rm B}_n=\int_0^{\pi/2}\cos^nxdx=\int_0^{\pi/2}\sin^nxdx\)라 한다( 정적분의 치환적분법 문제 3 참고). 점화식 \[{\rm B}_n=\frac{n-1}{n}{\rm B}_{n-2}\ (n=1,\,2,\,\cdots)\] 을 증명하고, 다음 관계를 유도하여라. \[\begin{split}&{\rm B_n}={1\over2}\cdot{3\over4}\cdot{5\over6}\cdots\frac{2m-1}{2m}\cdot{\pi\over2}\ (n=2m)\\&{\rm B}_n={2\over3}\cdot{4\over5}\cdot{6\over7}\cdots\frac{2m}{2m+1}\qquad(n=2m+1)\end{split}\] < 풀이 > 부분적분법에 의해서 다음과 같이 계산한다. \[\begin{align}{\rm B}_n&=\int_0^{\pi/2}\cos^nxdx=\int_0^{\pi/2}\cos^{n-1}x\cos{x}dx\\&=\left[\cos^{n-1}x\sin{x}\right]_0^{\pi/2}+(n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}x\sin^2xdx\\&=(n-1)\int_0^{\pi/...

등비수열은 각 항이 초항과 일정한 비를 가지는 수열 이다. 즉, 초항이 \(a\)이고 공비가 \(r\) 이면 수열 \(\{a_n\}\)은 \[a,\,ar,\,ar^2,\,ar^3,\,\cdots,\,ar^{n-1},\,ar^n,\,\cdots\] 이므로 \(n\) 번째 항은 \[a_n=ar^{n-1}\] \(r\ne1\) 인 경우 초항부터 \(n\)항 까지의 합은 \[S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\ (\text{단,}\,r=1\ \text{인 경우는}\ na)\] [증명] 초항부터 \(n\)번째 항까지의 합, \(S_n\)은 식 (1)과 같다. \[S_n=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}\cdots(1)\] 식 (1)의 양변에 공비 \(r\)를 곱하면 \[rS_n=ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}+ar^n\cdots(2)\] 식 (1)에서 식 (2)를 빼고 \(r\ne1\) 일 때 정리하면 다음과 같이 합의 공식을 얻는다. \[(1-r)S_n=a-ar^n,\,S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\]

\(f\)가 2회 미분가능 한 함수 일 때 방정식 \(f(x)=0\)의 근사치를 구할 수 있는 정리 가 있다. 정리 1 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 2회 미분가능이고 (1) \(f''(x)\ne0\) (\(f''(x)>0\) 또는 \(f''(x)<0\)), (2) \(f(a)f(b)<0\) (\(f(a)\)와 \(f(b)\)는 이부호(異符號))라 하자. \(a\le a_1\le b\)인 \(a_1\)을 \[\begin{align}&f''(x)>0\ \text{일 때}\ f(a_1)>0\\&f''(x)<0\ \text{일 때}\ f(a_1)<0\end{align}\]되고록 잡고 \[a_2=a_1-\frac{f(a_1)}{f'(a_1)},\,a_3=a_2-\frac{f(a_2)}{f'(a_2)},\,\cdots,\,a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{f'(a_n)}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\]라 하여 차례로 \(a_1,\,a_2,\,a_3,\,\cdots,\,a_n,\,\cdots\)을 구하면 (3) 수열 \(\{a_n\}\)은 수렴하여, (4) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\)라 하면 \(f(\alpha)=0\) 이므로 (5) \([a,\,b]\)에서 \(f(x)=0\)의 근은 \(\alpha\)뿐이다. < 증명 > \([a,\,b]\)에서 \(f''(x)>0,\,f(a)<0,\,f(b)>0\)라 하자. 중간값 정리 에 의해, \((a,\,b)\)에서 \(f(x)=0\)의 근은 적어도 한 개 존재한다. 그런데, 이런 근은 단지 한 개 밖에 없음을 알 수 있다. 왜냐하면, 두 근 \(x_0,\,x_1\)이 있고 \(a<x_0<x...

\(x=\phi(t)\)라 둔다. 변수 \(t\)가 \(\alpha\)에서 \(\beta\)까지 변할 때 \(x=\phi(t)\)는 \(a\)에서 \(b\)까지 변한다고 하면 \[a=\phi(\alpha),\,b=\phi(\beta)\] 이다. 또 \(\phi(t)\)는 미분가능 이고, \(\phi'(t)\)도 연속 이라고 가정한다. 이 때 \[\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)dt\] 이 성립한다. 이것이 정적분 에서의 치환적분법 의 공식이다. < 증명 > \(f(x)\)는 연속이라고 하자. \(\phi(t)\)는 미분가능이므로 연속이다. 따라서 \(f\left\{\phi(t)\right\}\)도 연속이다. 가정에 의해 \(\phi'(t)\)도 연속이므로 \(f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)\)는 연속이다. 그리고 \(f(x)\)의 부정적분 을 \({\rm F}(x)\)라 하면 \[{\rm F}'(x)=f(x)\qquad\text{즉,}\ {\rm F}'\left\{\phi(t)\right\}=f\left\{\phi(t)\right\}\] 이므로 \[\frac{d{\rm F}\left\{\phi(t)\right\}}{dt}={\rm F}'\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)=f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)\] 따라서 이것을 \(\alpha\)에서 \(\beta\)까지 적분하면 \[\int_\alpha^\beta f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)dt=\left[{\rm F}\left\{\phi(t)\right\}\right]_\alpha^\beta={\rm F}\left\{\phi(\beta)\right\}-{\rm F}\left\{\phi(\alpha)\right\}={\rm F}(b)-{\rm F}(a...

\(f\)의 도함수 \(f'\)이 존재하고 연속 이면 곡선 \(y=f(x)\)를 매끄러운 곡선이라 한다. 정의 1 평면상의 두 곡선 \(y=f(x),\,y=g(x)\)에 대하여 \(x=c\)에서 \[f(c)=g(c),\,f'(c)=g'(c),\,f''(c)=g''(c),\,\cdots,\,f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c),\,f^{(n+1)}(c)\ne g^{(n+1)}(c)\] 이면, 두 곡선은 n차 접촉(n次 接觸) 을 한다고 한다. 예를 들면, 곡선 \(y=f(x)\)가 매끄러운 곡선인 경우, 곡선 상의 점\((c,\,f(c))\)에서의 접선 \[y=g(x)=f'(c)(x-c)+f(c)\] 는 원래의 곡선과 1차 접촉을 한다. [ 예제 1 ] 포물선 \(x^2\)과 원 \(\displaystyle(x+4)^2+\left(y-{7\over2}\right)^2={125\over4}\)와는, 점\((1,\,1)\)에서 2차 접촉함을 보여라 < 풀이 > \(f(x)=x^2\)라 하면 \(f'(x)=2x,\,f''(x)=2\). 원의 방정식에서 정해지는 \(x\)의 함수 를 \(g(x)\)라 하면, \[x+4+\left\{g(x)-{7\over2}\right\}g'(x)=0\] 다시 \(x\)로 미분하면 \[1+g'(x)^2+\left\{g(x)-{7\over2}\right\}g''(x)=0\] 이다. 따라서 \[f(1)=g(1)=1,\,f'(1)=g'(1)=2,\,f''(1)=g''(1)=2\] 이므로 두 곡선은 \((1,\,1)\)에서 2차 접촉을 한다. 정의 2 \(f\)가 2회 미분가능이라 한다. 곡선 \(y=f(x)\)와 점\((c,\,f(c))\)에서 2차 접촉을 하는 원 \[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2=r^2\] 을 곡선상의 점 \(P(c,\,f(c))\)에 대한 곡...