기계공학 (Mechanical Engineering)

부정적분 에 있어서 부분적분법 의 공식에 의하면 \[\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\] 이다. 따라서 \[\int_a^bf(x)g'(x)dx=\left[f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\right]_a^b=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)dx\] 이것이 정적분 에 있어서의 부분적분의 공식이다. 윗 식에서 \(g(x)=x\)라 하면 다음과 같은 공식을 얻는다. \[\int_a^bf(x)dx=\left[xf(x)\right]_a^b-\int_a^bxf'(x)dx\] [ 예제 1 ] \(\displaystyle {\rm B}_n=\int_0^{\pi/2}\cos^nxdx=\int_0^{\pi/2}\sin^nxdx\)라 한다( 정적분의 치환적분법 문제 3 참고). 점화식 \[{\rm B}_n=\frac{n-1}{n}{\rm B}_{n-2}\ (n=1,\,2,\,\cdots)\] 을 증명하고, 다음 관계를 유도하여라. \[\begin{split}&{\rm B_n}={1\over2}\cdot{3\over4}\cdot{5\over6}\cdots\frac{2m-1}{2m}\cdot{\pi\over2}\ (n=2m)\\&{\rm B}_n={2\over3}\cdot{4\over5}\cdot{6\over7}\cdots\frac{2m}{2m+1}\qquad(n=2m+1)\end{split}\] < 풀이 > 부분적분법에 의해서 다음과 같이 계산한다. \[\begin{align}{\rm B}_n&=\int_0^{\pi/2}\cos^nxdx=\int_0^{\pi/2}\cos^{n-1}x\cos{x}dx\\&=\left[\cos^{n-1}x\sin{x}\right]_0^{\pi/2}+(n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}x\sin^2xdx\\&=(n-1)\int_0^{\pi/...

등비수열은 각 항이 초항과 일정한 비를 가지는 수열 이다. 즉, 초항이 \(a\)이고 공비가 \(r\) 이면 수열 \(\{a_n\}\)은 \[a,\,ar,\,ar^2,\,ar^3,\,\cdots,\,ar^{n-1},\,ar^n,\,\cdots\] 이므로 \(n\) 번째 항은 \[a_n=ar^{n-1}\] \(r\ne1\) 인 경우 초항부터 \(n\)항 까지의 합은 \[S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\ (\text{단,}\,r=1\ \text{인 경우는}\ na)\] [증명] 초항부터 \(n\)번째 항까지의 합, \(S_n\)은 식 (1)과 같다. \[S_n=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}\cdots(1)\] 식 (1)의 양변에 공비 \(r\)를 곱하면 \[rS_n=ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}+ar^n\cdots(2)\] 식 (1)에서 식 (2)를 빼고 \(r\ne1\) 일 때 정리하면 다음과 같이 합의 공식을 얻는다. \[(1-r)S_n=a-ar^n,\,S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\]

\(f\)가 2회 미분가능 한 함수 일 때 방정식 \(f(x)=0\)의 근사치를 구할 수 있는 정리 가 있다. 정리 1 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 2회 미분가능이고 (1) \(f''(x)\ne0\) (\(f''(x)>0\) 또는 \(f''(x)<0\)), (2) \(f(a)f(b)<0\) (\(f(a)\)와 \(f(b)\)는 이부호(異符號))라 하자. \(a\le a_1\le b\)인 \(a_1\)을 \[\begin{align}&f''(x)>0\ \text{일 때}\ f(a_1)>0\\&f''(x)<0\ \text{일 때}\ f(a_1)<0\end{align}\]되고록 잡고 \[a_2=a_1-\frac{f(a_1)}{f'(a_1)},\,a_3=a_2-\frac{f(a_2)}{f'(a_2)},\,\cdots,\,a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{f'(a_n)}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\]라 하여 차례로 \(a_1,\,a_2,\,a_3,\,\cdots,\,a_n,\,\cdots\)을 구하면 (3) 수열 \(\{a_n\}\)은 수렴하여, (4) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\)라 하면 \(f(\alpha)=0\) 이므로 (5) \([a,\,b]\)에서 \(f(x)=0\)의 근은 \(\alpha\)뿐이다. < 증명 > \([a,\,b]\)에서 \(f''(x)>0,\,f(a)<0,\,f(b)>0\)라 하자. 중간값 정리 에 의해, \((a,\,b)\)에서 \(f(x)=0\)의 근은 적어도 한 개 존재한다. 그런데, 이런 근은 단지 한 개 밖에 없음을 알 수 있다. 왜냐하면, 두 근 \(x_0,\,x_1\)이 있고 \(a<x_0<x...

\(x=\phi(t)\)라 둔다. 변수 \(t\)가 \(\alpha\)에서 \(\beta\)까지 변할 때 \(x=\phi(t)\)는 \(a\)에서 \(b\)까지 변한다고 하면 \[a=\phi(\alpha),\,b=\phi(\beta)\] 이다. 또 \(\phi(t)\)는 미분가능 이고, \(\phi'(t)\)도 연속 이라고 가정한다. 이 때 \[\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)dt\] 이 성립한다. 이것이 정적분 에서의 치환적분법 의 공식이다. < 증명 > \(f(x)\)는 연속이라고 하자. \(\phi(t)\)는 미분가능이므로 연속이다. 따라서 \(f\left\{\phi(t)\right\}\)도 연속이다. 가정에 의해 \(\phi'(t)\)도 연속이므로 \(f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)\)는 연속이다. 그리고 \(f(x)\)의 부정적분 을 \({\rm F}(x)\)라 하면 \[{\rm F}'(x)=f(x)\qquad\text{즉,}\ {\rm F}'\left\{\phi(t)\right\}=f\left\{\phi(t)\right\}\] 이므로 \[\frac{d{\rm F}\left\{\phi(t)\right\}}{dt}={\rm F}'\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)=f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)\] 따라서 이것을 \(\alpha\)에서 \(\beta\)까지 적분하면 \[\int_\alpha^\beta f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)dt=\left[{\rm F}\left\{\phi(t)\right\}\right]_\alpha^\beta={\rm F}\left\{\phi(\beta)\right\}-{\rm F}\left\{\phi(\alpha)\right\}={\rm F}(b)-{\rm F}(a...

\(f\)의 도함수 \(f'\)이 존재하고 연속 이면 곡선 \(y=f(x)\)를 매끄러운 곡선이라 한다. 정의 1 평면상의 두 곡선 \(y=f(x),\,y=g(x)\)에 대하여 \(x=c\)에서 \[f(c)=g(c),\,f'(c)=g'(c),\,f''(c)=g''(c),\,\cdots,\,f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c),\,f^{(n+1)}(c)\ne g^{(n+1)}(c)\] 이면, 두 곡선은 n차 접촉(n次 接觸) 을 한다고 한다. 예를 들면, 곡선 \(y=f(x)\)가 매끄러운 곡선인 경우, 곡선 상의 점\((c,\,f(c))\)에서의 접선 \[y=g(x)=f'(c)(x-c)+f(c)\] 는 원래의 곡선과 1차 접촉을 한다. [ 예제 1 ] 포물선 \(x^2\)과 원 \(\displaystyle(x+4)^2+\left(y-{7\over2}\right)^2={125\over4}\)와는, 점\((1,\,1)\)에서 2차 접촉함을 보여라 < 풀이 > \(f(x)=x^2\)라 하면 \(f'(x)=2x,\,f''(x)=2\). 원의 방정식에서 정해지는 \(x\)의 함수 를 \(g(x)\)라 하면, \[x+4+\left\{g(x)-{7\over2}\right\}g'(x)=0\] 다시 \(x\)로 미분하면 \[1+g'(x)^2+\left\{g(x)-{7\over2}\right\}g''(x)=0\] 이다. 따라서 \[f(1)=g(1)=1,\,f'(1)=g'(1)=2,\,f''(1)=g''(1)=2\] 이므로 두 곡선은 \((1,\,1)\)에서 2차 접촉을 한다. 정의 2 \(f\)가 2회 미분가능이라 한다. 곡선 \(y=f(x)\)와 점\((c,\,f(c))\)에서 2차 접촉을 하는 원 \[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2=r^2\] 을 곡선상의 점 \(P(c,\,f(c))\)에 대한 곡...

정리 1 함수 \(f(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속 일 때, \(f(x)\)의 부정적분 중 하나를 \({\rm F}(x)\)라 하면 \[\int_a^bf(x)dx={\rm F}(b)-{\rm F}(a)\] < 증명 > 정적분 정리 6에 의하면 \([a,\,b]\)에 속하는 임의의 \(x\)에 대하여 \(\int_a^xf(x)dx\)는 \(f(x)\)의 부정적분이다. \(f(x)\)의 두 부정적분의 차는 \(\rm C\) 이므로 \[\int_a^xf(x)dx={\rm F}(x)+{\rm C}\] 여기서 \(x=a\)라 두면 \(\int_a^af(x)dx=0\) 이므로 위의 식에 의해서 \[\begin{gather}\int_a^af(x)dx={\rm F}(a)+{\rm C}=0\\\therefore\ {\rm C}={\rm F}(a)\end{gather}\] 이것을 대입하면 \[\int_a^xf(x)dx={\rm F}(x)-{\rm F}(a)\] \(x=b\)를 대입하면 \[\int_a^bf(x)dx={\rm F}(b)-{\rm F}(a)\] 그런데 하나의 함수 \({\rm F}(x)\)에 있어서, 차 \({\rm F}(b)-{\rm F}(a)\)를 다음 기호 \[\left[{\rm F}(x)\right]_a^b={\rm F}(b)-{\rm F}(a)\] 로 나타내기로 한다. 이 기호를 사용하면 위의 정리 1의 결론은 \[\int_a^bf(x)dx=\left[{\rm F}(x)\right]_a^b\qquad{\rm F}(x)=\int f(x)dx\] 정리 1에 나타난 정적분의 계산법에 따라서 다음 정적분을 계산해 보자. \[\int_0^1\sqrt{x}dx=\left[{2\over3}x\sqrt{x}\right]_0^1={2\over3}\] [ 예제 1 ] 다음 정적분을 구하여라. (1) \(\displaystyle\int_0^1x^2dx=\left[{x^3\over3}\rig...

정의 1 (한 점에 대한 凹凸)  곡선 \(y=f(x)\)가 점 \((c,\,f(c))\)에서 접선을 갖는다고 하자. \(c\)의 근방 에서, 점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선이 곡선 \(y=f(x)\)의 그래프 보다 위쪽 (또는 아래쪽)에 있으면, \(f(x)\)는 점 \((c,\,f(c))\)에서 위로 凸 (또는 아래로 凸 )이라 한다. 또한, \(y=f(x)\)의 그래프가 점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선의 윗쪽에서 아래쪽으로 또는 아래쪽에서 윗쪽으로 옮겨질 때 점 \((c,\,f(c))\)를 변곡점(变曲点) 이라 한다. 정리 1 \(f\)는 \(a,\,b\)에서  미분가능 이라 하자. \(a,\,b\) 내의 한 점 \(c\)에서 \(f''(c)>0\ (f''(c)<0)\) 이면, 곡선 \(y=f(x)\)는 점 \((c,\,f(c))\)에서 아래로 凸(위로 凸) 이다. < 증명 >  점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선의 방정식은 \(y=(x-c)f'(c)+f(c)\) 이다. 이 접선과 주어진 곡선 \(y=f(x)\)와의 함수차 \[F(x)=f(x)-\{(x-c)f'(c)+f(c)\}\] 를 생각하면, 평균치 정리 에 의해 \[F(x)-F(c)=(x-c)F'(\xi)\] 인 점 \(\xi\)가 \(c\)와 \(x\) 사이에 존재한다. 그런데 \(F(c)=0,\,F'(x)=f'(x)-f'(c)\) 이므로 \[F(x)=(x-c)\{f'(\xi)-f'(c)\}\] 이다. \(f''(c)>0\) 이면 \(f'(x)\)는 \(x=c\)에서 증가상태에 있으므로, \(c\)에 충분히 가까운 점 \(x\)에 대해서 \[\begin{gather}x>c\ \text{이면}\ x>\xi>c\ \text{에서}\ f'(\xi)>f'(c)...