곡선의 凹凸
정의 1 (한 점에 대한 凹凸) 곡선 \(y=f(x)\)가 점 \((c,\,f(c))\)에서 접선을 갖는다고 하자. \(c\)의 근방 에서, 점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선이 곡선 \(y=f(x)\)의 그래프 보다 위쪽 (또는 아래쪽)에 있으면, \(f(x)\)는 점 \((c,\,f(c))\)에서 위로 凸 (또는 아래로 凸 )이라 한다. 또한, \(y=f(x)\)의 그래프가 점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선의 윗쪽에서 아래쪽으로 또는 아래쪽에서 윗쪽으로 옮겨질 때 점 \((c,\,f(c))\)를 변곡점(变曲点) 이라 한다. 정리 1 \(f\)는 \(a,\,b\)에서 미분가능 이라 하자. \(a,\,b\) 내의 한 점 \(c\)에서 \(f''(c)>0\ (f''(c)<0)\) 이면, 곡선 \(y=f(x)\)는 점 \((c,\,f(c))\)에서 아래로 凸(위로 凸) 이다. < 증명 > 점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선의 방정식은 \(y=(x-c)f'(c)+f(c)\) 이다. 이 접선과 주어진 곡선 \(y=f(x)\)와의 함수차 \[F(x)=f(x)-\{(x-c)f'(c)+f(c)\}\] 를 생각하면, 평균치 정리 에 의해 \[F(x)-F(c)=(x-c)F'(\xi)\] 인 점 \(\xi\)가 \(c\)와 \(x\) 사이에 존재한다. 그런데 \(F(c)=0,\,F'(x)=f'(x)-f'(c)\) 이므로 \[F(x)=(x-c)\{f'(\xi)-f'(c)\}\] 이다. \(f''(c)>0\) 이면 \(f'(x)\)는 \(x=c\)에서 증가상태에 있으므로, \(c\)에 충분히 가까운 점 \(x\)에 대해서 \[\begin{gather}x>c\ \text{이면}\ x>\xi>c\ \text{에서}\ f'(\xi)>f'(c)...