[정적분의 근사계산] Simpson의 공식

함수 \(f(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고, \(f(x)\ge0\)이라 한다. 구간 \([a,\,b]\)를 \(2n\) 등분해서 분점을

\[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{2n}=b\]

라 하자. 각 분점에 있어서의 함수 \(f(x)\)의 값을 각각

\[y_0=f(x_0),\,y_1=f(x_1),\,\cdots,\,y_{2n}=f_{2n}(x_{2n})\]

라 한다. 각 소구간의 길이는 모두 같아서

\[h=\frac{b-a}{2n}\]

이다. 사다리꼴의 공식에서는 곡선의 각 소부분을 선분으로 보았으나, Simpson의 공식에서는 이것을 \(y\)축에 평행한 축을 가지는 포물선의 일부로 보고 적분의 근사값을 구한다. 그래서 \(y=f(x)\)의 그래프를 나타내는 곡선을 아래 그림과 같이 \(2n-1\) 개의 분점

\[\rm P_1,\,P_2,\,\cdots,\,P_{2n-1}\]

으로 분할한다.

곡선의 소부분

\[\rm P_1P_2P_3,\,P_2P_3P_4,\,\cdots,\,P_{2n-2}P_{2n-1}P_{2n}\]

을 각각 \(y\)축에 평행한 축을 갖는 포물선의 일부로 보고, 이들 포물선의 호와 \(x\)추가 사이에 있는 면적을 위의 그림과 같이 각각

\[\rm S_1,\,S_2,\,\cdots,\,S_n\]

라 하고, 적분을 다음과 같이 근사시킨다.

\[\int_a^bf(x)dx\fallingdotseq\rm S_1+S_2+\cdots+S_n\]

그래서 \(\rm S_1\)을 구해 보자. 호 \(\rm P_0P_1P_2\)를 \(y\)축에 평행한 축을 갖는 포물선의 일부라고 보고, 이 포물선의 방정식을 구한다. 계산을 간단히 하기 위하여 좌표축을 \(x\)축의 방향으로 평행이동하여 점 \(\rm P_1\)이 \(y\)축 위에 오도록 한다.

그래서 이 새로운 좌표에 관한 이 포물선의 방정식을

\[y=ax^2+bx+c\]

라 하자. \(\rm P_0,\,P_1,\,P_2\)의 새로운 좌표는 각각 \((-h,\,y_0),\,(0,\,y_1),\,(h,\,y_2)\) 이므로 이들을 위의 방정식에 대입하면

\[\begin{align}&ah^2-bh+c=y_0\\&c=y_1\\&ah^2+bh+c=y_2\end{align}\]

가 된다. 여기서 \(a\)를 구하면

\[a={1\over2h^2}(y_0-2y_1+y_2)\]

이므로

\[{\rm S}_1=\int_{-h}^h(ax^2+bx+c)dx=2\left({ah^3\over3}+ch\right)={h\over3}(y_0+4y_1+y_2)\]

를 얻는다. 마찬가지로 하면

\[\begin{split}&{\rm S}_2={h\over3}(y_2+4y_3+y_4)\\&{\rm S}_3={h\over3}(y_4+4y_5+y_6)\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\&{\rm S}_n={h\over3}(y_{2n-2}+4y_{2n-1}+y_{2n})\end{split}\]

를 얻는다. 따라서 구하고자 하는 근사식에 위에서 구한 \(\rm S_1,\,S_2,\,\cdots,\,S_n\)을 대입시키면 Simpson의 공식

\[\begin{align}\int_a^bf(x)&\fallingdotseq{\rm S_1+S_2+\cdots+S_n}\\&={h\over3}\left\{y_0+4(y_1+y_3+\cdots+y_{2n-1})+2(y_2+y_4+\cdots+y_{2n-2})+y_{2n}\right\}\end{align}\]

을 얻는다.

\(f(x)\)의 제4차 도함수 \(f^{(4)}(x)\)가 존재해서 연속인 경우에는, \(f^{(4)}(x)\)의 구간 \([a,\,b]\)에 있어서 최대값을 \(\rm M\)이라 하면, 이 근사값의 오차는

\[\frac{(b-a)^5}{2880n^4}\rm M\]

이하라는 것이 알려져 있다.

[예제 1] 구간 \([0,\,\pi]\)를 6등분하고, Simpson의 방법으로

\[\int_0^\pi\frac{\sin{x}}{x}dx\]

의 근사값을 구하여라.

<풀이> 구간 \([0,\,\pi]\)를 6등분하는 분점에 있어서의 함수 \(\sin{x}/x\)의 값을 표로 나타내면 아래와 같다.

\(x\)	\(\sin{x}/x\)
\(0\)	\(1\)
\(\pi/6\)	\(3/\pi\)
\(\pi/3\)	\(3\sqrt{3}/2\pi\)
\(\pi/2\)	\(2/\pi\)
\(2\pi/3\)	\(3\sqrt{3}/4\pi\)
\(5\pi/6\)	\(3/5\pi\)
\(\pi\)	\(0\)

이 경우 소구간의 길이 \(h=\pi/6\) 이다. 따라서 Simpson의 공식에 의해서

\[\int_0^\pi\frac{\sin{x}}{x}dx\fallingdotseq{1\over3}\cdot{\pi\over6}\left\{1+4\left({3\over\pi}+{2\over\pi}+{3\over5\pi}\right)+2\left({3\sqrt{3}\over2\pi}+{3\sqrt{3}\over4\pi}\right)+0\right\}\fallingdotseq1.852\]