[정적분의 근사계산] 사다리꼴의 공식

피적분함수 \(f(x)\)를 나타내는 수식을 알 수 없는 경우에 실험이나 관측 등에 의해서 \(f(x)\)의 값을 알게 되었다고 하고

\[\int_a^bf(x)dx\]

의 근사값을 구하는 방법을 생각하자. 이 때, 가장 간단한 방법으로서 사다리꼴의 공식이 있다.

구간 \([a,\,b]\)에서 \(f(x)\)는 연속이고 \(f(x)\ge0\)라 하자. 구간 \([a,\,b]\)를 \(n\) 등분해서 분점

\[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b\]

에 있어서의 함수 \(f(x)\)의 값이 알려져 있어

\[y_1=f(x_1),\,y_2=f(x_2),\,\cdots,\,y_n=f(x_n)\]

라 하자.

\(x\)	\(x_0\quad x_1\quad x_2\quad\cdots \quad x_n\)
\(y=f(x)\)	\(y_0\quad y_1\quad y_2\quad\cdots \quad y_n\)

이 분할에 있어서의 각 소구간의 길이는 모두 같아서

\[h={b-a\over n}\]

이다. 그런데 \(y=f(x)\)의 그래프, \(y\)축에 평행한 두 직선 \(x=a,\,x=b\) 및 \(x\)축으로 둘러싸이는 도형의 면적은 정적분

\[{\rm A}=\int_a^bf(x)dx\]

를 나타낸다고 생각하고, 이 면적의 근사값을 다음과 같이 구한다.

위의 그림과 같이 분점 \(x_{i-1}\)에서 \(x_i(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\)까지의 부분을 모두 사다리꼴이라 보고, 이들 사다리꼴의 넓이를 각각

\[\rm S_1,\,S_2,\,\cdots,\,S_n\]

라 해서 이들의 합으로 \(\rm A\)에 근사시킨다. 즉,

\[\rm A\approx S_1+S_2+\cdots+S_n\]

이다. 여기서 사다리꼴의 공식에 의하면

\[{\rm S}_1={h\over2}(y_0+y_1),\,{\rm S}_2={h\over2}(y_1+y_2),\,\cdots,\,{\rm S}_n={h\over2}(y_{n-1}+y_n)\]

이므로, 이들을 위의 근사식의 우변에 대입시키면 다음 근사식을 얻는다.

\[\int_a^bf(x)dx\approx{h\over2}\{y_0+2(y_1+y_2+\cdots+y_{n-1})+y_n\},\,h={b-a\over n}\]

이 근사식을 사다리꼴의 공식이라 한다.