[연습문제] 도함수의 응용

1. 다음 함수의 극치를 구하여라.

(1) \(f(x)=x^4+4x\)          (2) \(f(x)=\sqrt{x}-{1\over\sqrt{x}}\)

<풀이>

(1) \(f'(x)=4(x+1)(x^2-x+1),\,f''(x)=12x^2\) 이고 \(f'(-1)=0,\,f''(-1)=12>0,\,f(-1)=-3\) 이므로 극소점 \((-1,\,-3)\)

(2) \(f'(x)={1\over2}\left({1\over\sqrt{x}}+{1\over x\sqrt{x}}\right)>0\) 이므로 극치는 존재하지 않는다.

2. \(b^2<3ac,\,a>0\) 이면 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\)는 \(x\)의 모든 값에 대해서 증가함을 증명하여라.

<증명> 가정에 의해 \(y'=3ax^2+2bx+c>0\) 이므로 모든 \(x\)에 대해서 \(y\)는 증가상태에 있다.

3. 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)에 내접하는 최대 직사각형의 면적을 구하여라.

<풀이> 직사각형 면적의 \({1\over4}\)를 \(S\)로 두면 \(S=xy={b\over a}x\sqrt{a^2-x^2}\).

\(S'=\frac{b(a^2-2x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}}=0\) 이면 \(x={a\over\sqrt{2}}\). 따라서 최대직사각형의 면적\(=4S\left({a\over\sqrt{2}}\right)=2ab\).

4. \(y=ax^3+bx^2+cx\)가 점 \((0,\,0)\)에서 접선 \(y=2x\)를 갖고, 점 \((1,\,1)\)이 변곡점이 되도록 \(a,\,b,\,c\)를 정하여라.

<풀이> \(y'=3ax^2+2bx+c\)에서 \(y'(0)=c=2.\ y(1)=a+b+2=1,\,y''=6ax+2b\)에서 \(y''(1)=6a+2b=0\). 따라서 \(a=1/2,\,b=-3/2,\,c=2\) 이다.

5. 함수 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 제2차 도함수를 갖고, \(f''(x)>0\) 이라 할 때 \(\lambda>0,\,\mu>0,\,\lambda+\mu=1\) 이면 \(f(\lambda a+\mu b)<\lambda f(a)+\mu f(b)\). 즉, 곡선 \(y=f(x)\)는 두 점 \((a,\,f(a)),\,(b,\,f(b))\)를 잇는 선분 아래쪽에 있음을 증명하여라.

<풀이> 평균치 정리에 의하여 \((a,\,b)\) 內에

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\]

인 점 \(\xi\)가 존재한다. 따라서 주어진 선분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)=f'(\xi)(x-a)+f(a)\]

곡선 \(f(x)\)와 선분의 차를 \({\rm F}(x)\)라 두면

\[{\rm F}(x)=f(x)-f'(\xi)(x-a)-f(a)\]

그런데 \({\rm F}(x)\)의 극점은 \({\rm F}'(x)=f'(x)-f'(\xi)=0\) 이므로 \(x=\xi\) 이다.

또한, 가정에 의해 \({\rm F}''(x)=f''(x)>0\) 이므로 \({\rm F}(x)\)는 \(x=\xi\)에서 아래로 凸이다. 그리고 \({\rm F}(a)={\rm F}(b)=0\), 이므로 \({\rm F}(x)\)는 \(x=\xi\)에서 최대값을 갖는다. 따라서 곡선 \(f(x)\)는 선분의 아래쪽에 있다.

6. 반경 \(r\)인 원 \(x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta\) 상의 임의의 점에서의 곡률은 원의 반경의 역수와 같음을 보여라.

<풀이> \(x'=-r\sin\theta,\,x''=r\cos\theta,\,y'=r\cos\theta,\,y''=-r\sin\theta\) 이므로

\[{1\over\rho}=\frac{x'y''-x''y'}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}=\frac{r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta}{(r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta)^{3\over2}}={1\over r}\]

7. 다음 곡선의 주어진 점에서의 곡률중심을 구하여라.

(1) \(y=\frac{x}{x+1}\ ;\ (0,\,0)\)          (2) \(y=e^{-x^2}\ ;\ (0,\,1)\)          (3) \(x^3+y^3=4xy\ ;\ (2,\,2)\)

<풀이>

(1) \(y'={1\over(x+1)^2},\,y''=-{2\over(x+1)^3}\) 이므로 \(y'(0)=1,\,y''(0)=-2\)

\(\xi=0-\frac{\{1+y'(0)^2\}y'(0)}{y''(0)}=1,\,\eta=0+\frac{1+y'(0)^2}{y''(0)}=-1\)

(2) \(y'=-2xe^{-x^2},\,y''=-2e^{-x^2}(1-2x^2)\) 이므로 \(y'(0)=0,\,y''(0)=-2\)

\(\xi=0-\frac{\{1+y'(0)^2\}y'(0)}{y''(0)}=0,\,\eta=1+\frac{1+y'(0)^2}{y''(0)}={1\over2}\)

(3) \(3x^2+3y^2y'=4y+4xy',\,6x+6yy'^2+3y^2y''=8y'+4xy''\) 이므로 \(y'(2)=-1,\,y''(2)=-8\)

\(\xi=2-\frac{\{1+y'(2)^2\}y'(2)}{y''(2)}={7\over4},\eta=2+\frac{1+y'(2)^2}{y''(2)}={7\over4}\)

8. Newton의 공식을 써서 방정식 \(e^{-x}-\ln{x}=0\)의 최소양수근을 소수점 이하 셋째자리까지 구하여라.

<풀이> \(f(x)=e^{-x}-\ln{x}\)로 하면 \(f'(x)=-e^{-x}-{1\over x},\,f''(x)=e^{-x}+{1\over x^2}>0\) 이고 \(f(x)=e^{-1}>0,\,f(2)=e^{-2}-\ln2<0\) 이므로 \(a_1=1\)로 잡는다.

\(a_2=a_1-\frac{f(a_1)}{f'(a_1)}=1+{0.367\over1.367}=1.269\)

\(a_3=a_2-\frac{f(a_2)}{f'(a_2)}=1.269+{0.042\over1.069}=1.309\)

\(a_4=a_3-\frac{f(a_3)}{f'(a_3)}=1.309+{0.0007\over1.033}=1.310\)