평판 이론 (Plate Theory)

평판 구조(Plate Structure)

고전 평판 방정식(Classical Plate Equation)

위의 그림과 같은 얇은 판의 미소 면수직(out-of-plane) 변위 \(w\)의 지배 방정식은 아래와 같은 고전 평판 방정식이다.

\[\nabla^2D\nabla^2w=q\]

여기서 \(q\)는 \(z\) 방향으로 작용하는 분포 하중(단위 면적당 힘) 이고, \(D\)는 다음과 같은 평판의 굽힘강성계수(bending/flexural rigidity) 이다.

\[D=\frac{Et^3}{12(1-\nu^2)}\]

윗 식에서 \(E\)는 평판 재질의 탄성계수(Young's modulus), \(\nu\)는 포아송비(Poisson's ratio) 이고, \(t\)는 평판의 두께이다. 또한, 미분 연산자 \(nabla^2\)은 라플라시안 미분 연산자(Laplacian differential operator) \(\Delta\)로 불리우며 원통좌표계(cylindrical coordinate)와 직교좌표계(Cartesian coordinate)로 나타내면

\[\Delta\equiv\nabla^2=\begin{cases}\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}+\dfrac{\partial^2}{r^2\partial\theta^2}+\dfrac{\partial}{r\partial r}\ &\text{원통좌표계(원형판)}\\\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}&\text{직교좌표계(사각판)}\end{cases}\]

굽힘강성계수 \(D\)가 평판 내에서 상수이면 평판 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

\[\nabla^4w=\frac{q}{D}\]

여기서 

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