평판 이론 (Plate Theory)

평판 구조(Plate Structure)

고전 평판 방정식(Classical Plate Equation)

위의 그림과 같은 얇은 판의 미소 면수직(out-of-plane) 변위 \(w\)의 지배 방정식은 아래와 같은 고전 평판 방정식이다.

\[\nabla^2D\nabla^2w=q\]

여기서 \(q\)는 \(z\) 방향으로 작용하는 분포 하중(단위 면적당 힘) 이고, \(D\)는 다음과 같은 평판의 굽힘강성계수(bending/flexural rigidity) 이다.

\[D=\frac{Et^3}{12(1-\nu^2)}\]

윗 식에서 \(E\)는 평판 재질의 탄성계수(Young's modulus), \(\nu\)는 포아송비(Poisson's ratio) 이고, \(t\)는 평판의 두께이다. 또한, 미분 연산자 \(\nabla^2\)은 라플라시안 미분 연산자(Laplacian differential operator) \(\Delta\)로 불리우며 원통좌표계(cylindrical coordinate)와 직교좌표계(Cartesian coordinate)로 나타내면

\[\Delta\equiv\nabla^2=\begin{cases}\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}+\dfrac{\partial^2}{r^2\partial\theta^2}+\dfrac{\partial}{r\partial r}\ &\text{원통좌표계(원형판)}\\\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}&\text{직교좌표계(사각판)}\end{cases}\]

굽힘강성계수 \(D\)가 평판 내에서 상수이면 평판 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

\[\nabla^4w=\frac{q}{D}\]

여기서 \(\nabla^4=\nabla^2\nabla^2=\Delta\Delta\)는 이중조화 미분 연산자(biharmonic differential operator)라고 한다.

평판 방정식 유도(Origin of the Plate Equation)

고전 평판 방정식은 평판 이론의 별개의 4개 방정식의 조합으로 유도된다: 운동학(kinematics), 구성방정식(constitutive), 합력(force resultant), 및 평형 방정식(equilibrium).

운동학(Kinematics)

\[\begin{Bmatrix}\epsilon_x\\\epsilon_y\\\gamma_{xy}\end{Bmatrix}=-z\begin{Bmatrix}\dfrac{\partial^2w}{\partial x^2}\\\dfrac{\partial^2w}{\partial y^2}\\2\dfrac{\partial^2w}{\partial x\partial y}\end{Bmatrix}\]

여기서 \(w\)는 중립면의 \(z\)방향 변위이다. 아래 그림에서 보는 바와 같이 변위-변형률 관계로부터 유도된다.

평판 변형(Plate Deformation)

\[\begin{align}u&=-z\frac{\partial w}{\partial x}\\v&=-z\frac{\partial w}{\partial y}\\\epsilon_x&=\frac{\partial u}{\partial x}=-z\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\\\epsilon_y&=\frac{\partial v}{\partial y}=-z\frac{\partial^2w}{\partial y^2}\\\gamma_{xy}&=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=-2z\frac{\partial^2w}{\partial x\partial y}\end{align}\]

구성 방정식(Constitutive)

평면 응력(plane stress) 조건의 후크의 법칙(Hooke's law)으로부터

\[\begin{Bmatrix}\epsilon_x\\\epsilon_y\\\gamma_{xy}\end{Bmatrix}={1\over E}\begin{bmatrix}1&-\nu&0\\-\nu&1&0\\0&0&2(1+\nu)\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\sigma_x\\\sigma_y\\\tau_{xy}\end{Bmatrix}\]

합력(Resultant)

평판에 작용하는 응력을 두께에 걸쳐 적분하면 된다.

\[\begin{Bmatrix}M_x\\M_y\\M_{xy}\end{Bmatrix}=\int_{-t/2}^{t/2}z\begin{Bmatrix}\sigma_x\\\sigma_y\\\tau_{xy}\end{Bmatrix}dz\qquad\begin{Bmatrix}Q_x\\Q_y\end{Bmatrix}=\int_{-t/2}^{t/2}\begin{Bmatrix}\tau_{xz}\\\tau_{yz}\end{Bmatrix}dz\]

평형(Equilibrium)

아래 그림과 같이 평판 내 두께 \(t\)의 미소요소를 생각한다.

평판 미소요소에 작용하는 힘과 모멘트

합력에 대한 테일러 급수 전개(Taylor series expansion)로부터 \(x\)방향 모멘트 평형식을 얻을 수 있다.

\[-\left(M_y+\frac{\partial M_y}{\partial y}dy\right)dx+M_ydx-\left(M_{xy}+\frac{\partial M_{xy}}{\partial x}dx\right)dy+M_{xy}dy+Q_ydxdy=0\]

같은 방법으로 \(y\)방향 모멘트 평형으로부터

\[\left(M_x+\frac{\partial M_x}{\partial x}dx\right)dy-M_xdx+\left(M_{yx}+\frac{\partial M_{yx}}{\partial y}dy\right)dx-M_{yx}dx-Q_xdxdy=0\]

또한, \(z\)방향 힘의 평형식은

\[\left(Q_x+\frac{\partial Q_x}{\partial x}dx\right)dy-Q_xdy+\left(Q_y+\frac{\partial Q_y}{\partial y}dy\right)dx-Q_ydx+qdxdy=0\]

윗 식들을 \(dxdy\)로 나누고 정리하면 평형 방정식이 얻어진다.

\[\begin{align}&Q_y=\frac{\partial M_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial M_y}{\partial y}\\&Q_x=\frac{\partial M_x}{\partial x}+\frac{\partial M_{yx}}{\partial y}\\&\frac{\partial Q_x}{\partial x}+\frac{\partial Q_y}{\partial y}=-q\end{align}\]

평판의 면수직 변위 \(w\)를 압력 하중 \(q\)와 연계시키기 위하여 앞의 네개 항목들을 다음 순서로 조합한다:

운동학(Kinematics) → 구성 방정식(Constitutive) → 합력(Resultant) → 평형(Equilibrium) = 평판 방정식(Plate Equation)

평판은 정방석(isotropic)재질이고 수직하중을 받는 다고 가정한다. 또한 직교좌표계를 사용한다.

이제 역순으로 풀어내어 위의 계층구조를 보여줄 것이다. 첫째로 \(Q_x\)와 \(Q_y\)를 제거하기 위해 3개의 평형 방정식들을 조합한다.

\[\frac{\partial ^2M_x}{\partial x^2}+2\frac{\partial^2M_{xy}}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2M_y}{\partial y^2}=-q\]

다음으로 모멘트 합력을 응력 항의 해당 정의식으로 치환한다.

\[\int_{-t/2}^{t/2}z\left(\frac{\partial^2\sigma_x}{\partial x^2}+2\frac{\partial^2\sigma_{xy}}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2\sigma_y}{\partial y^2}\right)dz=-q\]

균일 두께로 가정하였음에 유의한다.

응력을 변형률에 대한 식으로 만들기 위해 구성 방정식을 이용하고, 그 다음 운동학을 이용하여 변형률을 수직 변위 \(w\)로 치환한다.

\[\begin{Bmatrix}\sigma_x\\\sigma_y\\\sigma_{xy}\end{Bmatrix}={E\over1-\nu^2}\begin{bmatrix}1&\nu&0\\\nu&1&0\\0&0&\dfrac{1-\nu}{2}\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\epsilon_x\\\epsilon_y\\\gamma_{xy}\end{Bmatrix}=-{Ez\over1-\nu^2}\begin{bmatrix}1&\nu&0\\\nu&1&0\\0&0&1-\nu\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\dfrac{\partial^2w}{\partial x^2}\\\dfrac{\partial^2w}{\partial y^2}\\\dfrac{\partial^2w}{\partial x\partial y}\end{Bmatrix}\]

그러면 평형 방정식은 수직 변위 \(w\)의 항으로 표현될 수 있다.

\[\int_{-t/2}^{t/2}\frac{Ez^2}{1-\nu^2}\left\{\left(\frac{\partial^4w}{\partial x^4}+\nu\frac{\partial^4w}{\partial x^2\partial y^2}\right)+2(1-\nu)\frac{\partial^4w}{\partial x^2\partial y^2}+\left(\frac{\partial^4w}{\partial y^4}+\nu\frac{\partial^4w}{\partial x^2\partial y^2}\right)\right\}dz=q\]

정리하면

\[\int_{-t/2}^{t/2}\frac{Ez^2}{1-\nu^2}dz\left(\frac{\partial^4w}{\partial x^4}+2\frac{\partial^4w}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{\partial^4w}{\partial y^4}\right)=q\]

평판(\(x\)와 \(y\)방향) 내에서 단일 물성(homogeneous material)으로 가정했음에 유의한다.

마지막 단계로 평판의 두께에 걸쳐 단일 물성으로 가정하면 굽힘강성은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[D=\frac{Ez^2}{1-\nu^2}\int_{-t/2}^{t/2}z^2dz=\frac{Et^3}{12(1-\nu^2)}\]

따라서 최종적으로 고전 평판 방정식을 얻을 수 있다.

\[D\left(\frac{\partial^4}{\partial x^4}+2\frac{\partial^4}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{\partial^4}{\partial y^4}\right)w=D\nabla^4w=q\]