고차편도함수

2변수함수 \(z=f(x,\,y)\)의 편도함수 \(f_x,\,f_y\)는 역시 \(x,\,y\)에 관한 함수이다. 이 함수의 편도함수가 또 다시 존재하면 이것을 주어진 함수 \(z=f(x,\,y)\)의 제2차편도함수(第二次偏導函數)라 하고 다음과 같은 기호로 표시한다.

\[\begin{split}&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\ \ \,=f_{xx}=z_{xx},\qquad\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=f_{xy}=z_{xy}\\&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=f_{yx}=z_{yx},\qquad\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\ \ \,=f_{yy}=z_{yy}\end{split}\]

[예제1] \(f(x,\,y)={\rm Tan}^{-1}\dfrac{y}{x}\) (단, \(x\ne0\))의 제2차편도함수를 구하여라.

<풀이> \(\dfrac{\partial f}{\partial x}=-\dfrac{y}{x^2+y^2},\,\dfrac{\partial f}{\partial y}=-\dfrac{x}{x^2+y^2}\) 이므로

\(\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2},\,\dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\dfrac{-(x^2+y^2)+2y^2}{(x^2+y^2)^2}=\dfrac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}\)

\(\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\dfrac{x^2+y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2}=\dfrac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2},\,\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}=\dfrac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}\)

[예제 2] \(f(x,\,y)=\begin{cases}xy\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}&(x,\,y)\ne(0,\,0)\\0&(x,\,y)=(0,\,0)\end{cases}\) 에 대해, \(f_{xy}\)와 \(f_{yx}\)를 구하여라.

<풀이> \((x,\,y)\ne(0,\,0)\) 이면

\[\begin{align}&f_x(x,\,y)=y\left\{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}\right\}\\&f_y(x,\,y)=x\left\{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}-\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}\right\}\end{align}\]

이므로,

\[f_{xy}(x,\,y)=f_{yx}(x,\,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\frac{8x^2y^2}{(x^2+y^2)^3}\]

\((x,\,y)=(0,\,0)\) 이면 정의에 의해

\[\begin{align}&f_x(0,\,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,\,0)-f(0,\,0)}{h}=0\\&f_y(0,\,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,\,h)-f(0,\,0)}{h}=0\end{align}\]

한편,

\[\begin{align}&f_x(0,\,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,\,y)-f(0,\,y)}{h}=-y\\&f_y(x,\,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,\,h)-f(x,\,0)}{h}=x\end{align}\]

이므로

\[\begin{align}&f_{xy}(0,\,0)=\lim_{h\to0}\frac{f_x(0,\,h)-f(0,\,0)}{h}=-1\\&f_{yx}(0,\,0)=\lim_{h\to0}\frac{f_y(h,\,0)-f(0,\,0)}{h}=1\end{align}\]

[예제 1] 및 [예제 2]에서 \((x,\,y)\ne(0,\,0)\) 이면 \(f_{xy}=f_{yx}\) 인데, [예제 2]에서 \((x,\,y)=(0,\,0)\) 일 때는 \(f_{xy}\ne f_{yx}\) 이다. 이와 같이 \(f_{xy}\)와 \(f_{yx}\)는 반드시 같지는 않다. 그러나 편미분의 순서에 관한 다음 정리가 성립한다.

정리 1   함수 \(f(x,\,y)\)에 대하여 \(f_{xy}\)와 \(f_{yx}\)가 존재하고 연속이면 \[f_{xy}=f_{yx}\] 이다.

<증명> 평균치 정리로부터 얻을 수 있다.

제2차편도함수의 편도함수를 제3차편도함수(第三次偏導函數)라 하며, 일반적으로 제\(n-1\)차편도함수의 편도함수를 제\(n\)차편도함수라 한다.

전미분 정리 1, 2에 의해 제1차편도함수 \(f_x,\,f_y\)가 연속이면 \(f\)는 연속이다. 따라서, 제3차편도함수가 모두 연속이면, 제2차편도함수의 각각의 연속이다. 제3차편도함수에는

\[f_{xxx},\,f_{xxy},\,f_{xyx},\,f_{xyy},\,f_{yxx},\,f_{yxy},\,f_{yyx},\,f_{yyy}\]

가 있다. \(f_{xxx},\,f_{yyy}\)는 같은 변수에 관한 편미분이므로, 미분순서에 문제되지 않지만, 다른 것은 존재성과 연속성을 가정하면, 정리 1에 의해

\[f_{xxy}=f_{xyx}=f_{yxx},\qquad f_{xyy}=f_{yxy}=f_{yyx}\]

가 성립한다.

일반적으로 \(f\)를 \(x\)에 관해서 \(m\)회, \(y\)에 관해서 \(n\)회 미분한 함수가 모두 연속이면, \(x,\,y\)에 관한 편미분은 순서에 관계없이 모두 같다. 즉

\[\frac{\partial^{m+n}f}{\partial x^m\partial y^n}=\frac{\partial^{m+n}f}{\partial y^m\partial x^n}\]

또한 이와 같은 가정하에는

\[\begin{align}&\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial}\right)f\\&\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+2\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}+\frac{\partial f}{\partial y^2}=\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}\right)^2f\\&\frac{\partial^3f}{\partial x^3}+3\frac{\partial^3f}{\partial x^2\partial y}+3\frac{\partial^3f}{\partial x\partial y^2}+\frac{\partial^3f}{\partial y^3}=\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}\right)^3f\end{align}\]

등의 기호를 사용할 수 있다. 이것을 계속하면, 이항정리와 똑같이

\[\sum_{i=0}^n{_nC_i}\frac{\partial^nf}{\partial x^{n-i}\partial y^i}=\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}\right)^nf\]

라 쓸 수 있다.

[예제 3] 함수 \(f(x,\,y)\)가 제\(n\)차까지의 편도함수를 

--- under construction ---