함수의 평균치

\(n\)개의 수 \(y_1,\,y_2,\,\cdots,\,y_n\)의 평균치(平均値)는

\[\frac{y_1+y_2+\cdots+y_n}{n}\]

이다. 또 \(n\)개의 수 \(y_1,\,y_2,\,\cdots,\,y_n\)에 대하여 양수 \(w_1,\,w_2,\,\cdots,\,w_n\)이 대응되었을 때

\[\frac{w_1y_1+w_2y_2+\cdots+w_ny_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}\]

을 무게 \(w_1,\,w_2,\,\cdots,\,w_n\)을 가지는 \(y_1,\,y_2,\,\dots,\,y_n\)의 가중평균치(加重平均値)라 한다. 특히, \(w_1=w_2=\cdots=w_n\) 이면 가중평균치는 보통의 평균치와 일치한다. 이 생각을 확장하여 함수의 평균치를 정의한다. 구간 \([a,\,b]\)에 연속인 함수 \(f(x)\)와 양의 연속인 함수 \(w(x)\)가 주어져 있다고 하자. 구간 \([a,\,b]\)를

\[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\]

로 분할하여, 이 분할을 \(\Delta\)라 하자. \(\Delta\)의 소구간 \([w_{i-1},\,w_i]\)의 내부에서 임의의 수 \(\xi_i\)을 택하자. 즉, \(x_{i-1}<\xi_i<x_i\) 이다. 지금 \(n\)개의 수

\[f(\xi_1),\,f(\xi_2),\,\cdots,\,f(\xi_n)\]

에 각각 무게

\[w(\xi_1)(x_1-x_0),\,w(\xi_2)(x_2-x_1),\,\cdots,\,w(\xi_n)(x_n-x_{n-1})\]

를 가지는 가중평균은

\[{\rm M}_n=\frac{w(\xi_1)(x_1-x_0)f(\xi_1)+w(\xi_2)(x_2-x_1)f(\xi_2)+\cdots+w(\xi_n)(x_n-x_{n-1})f(\xi_n)}{w(\xi_1)(x_1-x_0)+w(\xi_2)(x_2-x_1)+\cdots+w(\xi_n)(x_n-x_{n-1})}\]

이다. 정적분의 정의에 의하여 \({\rm M_n}\)의 극한 \(\rm M\)은

\[{\rm M}=\frac{\int_a^bw(x)f(x)dx}{\int_a^bw(x)dx}\]

로 나타난다. 이 \(\rm M\)을 \([a,\,b]\)에서 밀도 \(w(x)\)를 가지는 \(f(x)\)의 가중평균치라 한다. 특히 \(w(x)=1\) 일 때는

\[{\rm M}={1\over b-a}\int_a^bf(x)dx\]

가 된다. 이 \(\rm M\)을 간단히 \([a,\,b]\)에서 함수 \(f(x)\)의 평균치라 한다.

[예제 1] 다음 함수의 평균치 \(\rm M\)을 구하여라.

(1) \((a\sin{x}+b\sin2x)^2\ (0\le{x}\le\pi)\)

(2) \(\sqrt{a^2-x^2}\ (-a\le{x}\le{a})\)

<풀이>

(1) \({\rm M}={1\over\pi}\int_0^\pi(a\sin{x}+b\sin2x)^2dx={1\over\pi}\int_0^\pi(a^2\sin^2x+2ab\sin{x}\sin2x+b^2\sin^2x)dx\)

            \(={a^2+b^2\over2}\)

(정적분과 부정적분 예제 2 참조)

(2) \({\rm M}={1\over2a}\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}dx={1\over a}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx={1\over2a}\left[x\sqrt{a^2-x^2}+a^2{\rm sin}^{-1}{x\over a}\right]_0^a={\pi\over4}a\)

(적분공식 총정리 17 참조)

[예제 2]

(1) 반지름 \(a\)인 원의 평행현의 길이의 평균치를 구하여라.

(2) 반지름 \(a\)인 원에서, 원주상의 한 정점을 통과하는 현의 길이의 평균치를 구하여라.

<풀이>

(1) 그림의 현 \(\rm PQ\)의 길이를 \(f(x)\)라 두면 \(f(x)=2\sqrt{a^2-x^2}\). 따라서 평균치는

\[\]

--- under construction ---