동차함수 (同次函數)

 함수 \(f(x,\,y)\)에 대해서, \(f(tx,\,ty)=t^nf(x,\,y)\) (\(t\)는 \(0\)이 아닌 실수)이면, \(f\)를 \(x,\,y\)의 \(n\)차 동차함수(同次函數)라 한다.

\(f\)가 \(x,\,y\)의 \(n\)차 동차함수이면

\[\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}\right)^kf(x,\,y)=n(n-1)\cdots(n-k+1)f(x,\,y)\]

임을 증명하여라.

<증명> \(u=tx,\,v=ty\)라 두면 \(f(tx,\,ty)=f(u,\,v)=t^n(x,\,y)=g(t)\)가 된다. 양변을 \(t\)로 미분하면 합성함수의 편미분법 정리 1에 의해

\[g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}u'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}v'(t)=\left(x\frac{\partial}{\partial u}+y\frac{\partial}{\partial v}\right)f(u,\,v)=nt^{n-1}f(x,\,y)\]

이다. 이 식의 양변을 \(t\)로 계속 미분하면

\[g^{(n)}(t)=\left(x\frac{\partial}{\partial u}+y\frac{\partial}{\partial v}\right)^kf(u,\,v)=n(n-1)\cdots(n-k+1)t^{n-k}f(x,\,y)\]

\(t=1\)로 놓으면 \(u=x,\,v=y\) 이므로 증명되었다.