도형의 중심 (重心)

1개의 직선상에 \(n\)개의 점 \({\rm P}_1(x_1),\,{\rm P}_2(x_2),\,\cdots,\,{\rm P}_n(x_n)\)에 각각 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)이 주어져 있을 때, 좌표

\[\overline{x}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\]

을 갖는 점 \({\rm G}(\overline{x})\)를 이 질점계의 중심(重心)이라 한다. 이 때 \(\overline{x}\)는 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)을 갖는 \(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n\)의 가중평균치이다.

그림 1

평면상에 \(n\)개의 점 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2),\,\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n)\)에 각각 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)이 주어져 있을 때, 좌표

\[\begin{align}\overline{x}&=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\\\overline{y}&=\frac{m_1y_1+m_2y_2+\cdots+m_ny_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\end{align}\]

을 갖는 점 \({\rm G}(\overline{x},\,\overline{y})\)를 이 질점계의 중심이라 한다.

공간의 \(n\)개의 점 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1,\,z_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2,\,z_2),\,\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n,\,z_n)\)에 각각 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)이 주어져 있을 때, 좌표

\[\begin{align}\overline{x}&=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\\\overline{y}&=\frac{m_1y_1+m_2y_2+\cdots+m_ny_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\\\overline{z}&=\frac{m_1z_1+m_2z_2+\cdots+m_nz_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\end{align}\]

을 갖는 점 \({\rm G}(\overline{x},\,\overline{y},\,\overline{z})\)를 이 질점계의 중심이라 한다. 중심의 개념은 가중평균의 의미로서 질량의 연속분포로 확장된다.

직선상의 구간 \([a,\,b]\)내에 밀도 \(w(x)\)로서 질량이 분포되어 있을 때, 좌표

\[\overline{x}=\frac{\int_a^bxw(x)dx}{\int_a^bw(x)dx}\]

를 갖는 점 \({\rm G}(\overline{x})\)를 질량분포의 중심이라 한다. 윗식의 분모는 전체 질량을 표시한다.

평면상에 곡선 \({\rm C}:x=x(t),\,y=y(t)\ (\alpha\le{t}\le\beta)\)에 따라서 밀도 \(\rho(t)\)로서 질량이 분포되었을 때 좌표

\[\begin{split}&\overline{x}={1\over\rm M}\int_\alpha^\beta x\rho\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt\\&\overline{y}={1\over\rm M}\int_\alpha^\beta y\rho\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt\\&{\rm M}=\int_\alpha^\beta\rho\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt\end{split}\]

를 갖는 점 \({\rm G}(\overline{x},\,\overline{y})\)를 이 질량 분포의 중심이라 한다. 여기서 \(\rm M\)은 전체 질량이다.

특히 밀도 \(\rho\)가 일정하면

\[\begin{align}&\overline{x}={1\over\rm L}\int_\alpha^\beta x\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt\\&\overline{y}={1\over\rm L}\int_\alpha^\beta y\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt\\&{\rm L}=\int_\alpha^\beta\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt\end{align}\]

가 된다. 이 경우 \({\rm G}(\overline{x},\,\overline{y})\)는 단순히 곡선 \(\rm C\)의 중심이라 한다. 여기서 \(\rm L\)은 곡선 \(\rm C\)의 전체길이이다.

만약, 곡선 \(\rm C\)가 방정식 \(y=f(x)\)로 표현된다면

\[\begin{align}&\overline{x}={1\over\rm M}\int_a^bx\rho\sqrt{1+(y')^2}dx\\&\overline{y}={1\over\rm M}\int_a^by\rho\sqrt{1+(y')^2}dx\\&{\rm M}=\int_a^b\rho\sqrt{(x')^2+(y')^2}dx\end{align}\]

[예제 1] 다음 곡선의 중심을 구하여라. 단, 밀도는 일정하다.

(1) 반지름 \(a\)의 \(1/4\)의 원주

(2) 곡선 \(y={a\over2}(e^{x\over a}+e^{-{x\over a}})\ (-b\le{x}\le b)\)

<풀이>

(1) 원의 방정식을 \(x^2+y^2=a^2\)라 하고, \(1/4\) 원주\((0\le{x}\le a,\,y\ge0)\)를 생각한다. 또한 \({\rm L}=\pi a/2\) 이므로

\(y=\sqrt{a^2-x^2}\quad\therefore\ \sqrt{1+(y')^2}=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}}\)

\(x={a\over\rm L}\int_0^a\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=-{a\over\rm L}\left[\sqrt{a^2-x^2}\right]_0^a={a^2\over\rm L}={2a\over\pi}=\overline{y}\)

그림 2

(2) \(y'=\frac{e^{x\over a}-e^{-{x\over a}}}{2}\) 이므로

\[\sqrt{1+(y')^2}=\frac{e^{x\over a}+e^{-{x\over a}}}{2}\]

또한 곡선의 길이 \(\rm L\)은

\({\rm L}={1\over2}\int_{-b}^b\left(e^{x\over a}+e^{-{x\over a}}\right)dx={a\over2}\left[e^{x\over a}-e^{-{x\over a}}\right]_{-b}^b=a\left(e^{b\over a}-e^{-{b\over a}}\right)\)

이다. 따라서

\(\overline{x}={1\over2\rm L}\int_{-b}^bx\left(e^{x\over a}+e^{-{x\over a}}\right)dx=0\) (∵ 피적분함수가 기함수)

\(\overline{y}={a\over4\rm L}\int_{-b}^b\left(e^{x\over a}+e^{-{x\over a}}\right)^2dx={a\over2\rm L}\int_0^b\left(e^{2x\over a}+2+e^{-{2x\over a}}\right)dx={a\over2\rm L}\left[{a\over2}e^{2x\over a}+2x-{a\over2}e^{-{2x\over a}}\right]_0^b\)

   \(=\frac{a^2\left(4b+e^{2b\over a}-e^{-{2b\over a}}\right)}{4\left(e^{b\over a}-e^{-{b\over a}}\right)}\)

평면상에 도형 \(\rm F\) 위에 밀도 \(\rho\)로서 질량이 분포되었다 하자. 점 \((x,\,0)\)를 지나는 \(x\)축에 수직인 직선과 도형 \(\rm F\)와 만나서 이루는 선분의 길이를 \(\phi(x)\)라 두면, 그림 3에서 빗금친 부분의 미소면적은 \(\phi(x)dx\) 이고, 이 부분에 포함되는 질량 \(dm\)은

\[dm\fallingdotseq\rho\phi(x)dx\]

와 근사하다. 따라서 이 질량분포의 중심 \({\rm G}(\overline{x},\,\overline{y})\)의 \(x\)좌표는

\[\overline{x}={1\over\rm M}\int_a^bx\rho\phi(x)dx,\quad{\rm M}=\int_a^b\rho\phi(x)dx\]

그림 3

이다. 또 그림 4에 의하여

\[\overline{y}={1\over\rm M}\int_a^by\rho\psi(y)dy\]

그림 4

한편 \(\rho\)가 일정하면

\[\begin{align}&\overline{x}={1\over\rm A}\int_a^bx\phi(x)dx,\quad\overline{y}={1\over\rm A}\int_a^by\psi(y)dy\\&{\rm A}=\int_a^b\phi(x)dx=\int_a^b\psi(y)dy\end{align}\]

여기서 \(\rm A\)는 도형 \(\rm F\)의 면적이다. 이 경우 점 \({\rm G}(\overline{x},\,\overline{y})\)를 평면도형 \(\rm F\)의 중심이라 한다.

그림 5

입체내에 밀도 \(\rho\)로서 질량이 분포되어 있을 때에도, 평면에서와 같은 방법으로 생각하면 이 질량분포의 중심 \((\overline{x},\,\overline{y},\,\overline{z})\)의 \(x\)좌표는

\[\overline{x}={1\over\rm M}\int_a^bx\rho{\rm S}(x)dx,\quad{\rm M}=\int_a^b\rho{\rm S}(x)dx\]

임을 알 수 있다. 단 \({\rm S}(x)\)는 점 \((x,\,0,\,0)\)을 통하고 \(x\)축에 수직인 평면으로 입체를 절단할 때 절단면의 면적을 나타낸다. 특히 \(\rho\)가 일정할 경우에는

\[\overline{x}={1\over\rm V}\int_a^bx{\rm S}(x)dx,\quad{\rm V}=\int_a^b{\rm S}(x)dx\]

여기서 \(\rm V\)는 이 입체의 부피이다. 같은 방법으로 \(\overline{y},\,\overline{z}\)도 구할 수 있으며 점 \({\rm G}(\overline{x},\,\overline{y},\,\overline{z})\)를 이 입체의 중심이라 한다.

[예제 2] 반지름 \(a\)의 \(1/4\)의 원판의 중심 \(\rm G\)를 구하여라.

<풀이> \({\rm A=\pi a^2/4}\) 이므로

\(\overline{x}={1\over\rm A}\int_0^ax\sqrt{a^2-x^2}dx=-{1\over3\rm A}\left[\left(a^2-x^2\right)^{3\over2}\right]_0^a={a^3\over3\rm A}={4\over3\pi}a=\overline{y}\)

그림 6

[예제 3] 반구 \(x^2+y^2+z^2\le a^2\ (x\ge0)\)의 중심 \(\rm G\)를 구하여라.

<풀이> 이 반구를 점 \((x,\,0,\,0)\)를 지나는 \(x\)축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 절단면의 면적 \({\rm S}(x)\)는 \({\rm S}(x)=\pi(a^2-x^2)\) 이고 \({\rm V}=2\pi a^3/3\)을 이용하면(정적분으로 부피 구하기 예제 1 참조)

\(\overline{x}={\pi\over\rm V}\int_0^ax\left(a^2-x^2\right)dx=-{\pi\over4\rm V}\left[\left(a^2-x^2\right)^2\right]_0^a={\pi a^4\over\rm V}={3\over8}a\)

반구의 대칭성에 따라 중심 \(\rm G\)는 \(x\)축상에 있다. 따라서 중심은 \({\rm G}(3a/8,\,0,\,0)\) 이다.

《문     제》

1. 구간 \([a,\,b]\)에 밀도 \(w(x)=kx\)로 질량이 분포되어 있을 때 이 질량분포 중심을 구하여라.

<풀이> \(\overline{x}=\frac{\int_a^bxw(x)dx}{\int_a^bw(x)dx}=\frac{\int_a^bkx^2dx}{\int_a^bkxdx}=\frac{2\left(a^2+ab+b^2\right)}{3(a+b)}\)

2. 다음 곡선의 중심을 구하여라. 단, 밀도는 일정하다.

(1) 반지름 \(a\), 중심각이 \(2a\)인 원호.

(2) Cycloid \(x=a(t-\sin{t}),\,y=a(1-\cos{t}\ (0\le{t}\le2\pi)\)

<풀이>

(1) \(x=a\cos\theta,\,y=a\sin\theta\)로부터 \(x'=-a\sin\theta,\,y'=a\cos\theta\). 또한 \({\rm L=2a\alpha}\) 이므로

\(\overline{x}={1\over\rm L}\int_{-\alpha}^\alpha x\sqrt{(x')^2+(y')^2}d\theta={a\over\alpha}\int_0^\alpha\cos\theta d\theta={a\over\alpha}\sin\alpha\)

따라서 중심 \({\rm G}({a\over\alpha}\sin\alpha,\,0)\) 이다.

(2) 곡선의 대칭성에 의하여 \(\overline{x}=\pi a\) 이다. (정적분으로 넓이 구하기 예제 2 참조)

또, \(x'=a(1-\cos{t}),\,y'=a\sin{t}\) 이고, \({\rm L}=8a\) (곡선의 길이 예제 2 참조) 이므로

\(\overline{y}={1\over\rm L}\int_0^{2\pi}y\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt={a\over4\sqrt{2}}\int_0^{2\pi}(1-\cos{t})^{3\over2}dt={a\over2}\int_0^{2\pi}\sin^3{t\over2}dt\)

   \(=2a\int_0^{\pi\over2}\sin^3\theta d\theta={4a\over3}\)

(정적분의 부분적분법 예제 1 참조) 따라서 중심 \({\rm G}(\pi a,\,4a/3)\) 이다.

3. 타원의 \(1/4:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1\ x,\,y\ge0\ (a,\,b>0)\)의 중심 \(\rm G\)를 구하여라.

<풀이> \({\rm A}=\pi ab/4\) (정적분으로 넓이 구하기 예제 1 참조)

\(\overline{x}={1\over\rm A}\int_0^ax\phi(x)dx={4\over\pi a^2}\int_0^ax\sqrt{a^2-x^2}dx={2\over\pi a^2}\int_0^{a^2}\sqrt{t}dt={4a\over3\pi}\)

\(\overline{y}={1\over\rm A}\int_0^ay\psi(x)dx={4\over\pi b^2}\int_0^ax\sqrt{b^2-x^2}dx\ ={2\over\pi b^2}\int_0^{b^2}\sqrt{t}dt\,={4b\over3\pi}\)

따라서 중심 \({\rm G}\left({4a\over3\pi},\,{4b\over3\pi}\right)\) 이다.

4. (1) 높이 \(h\), 밑면이 반지름 \(a\)인 원뿔의 중심을 구하여라.

   (2) 곡면 \(z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\)과 평면 \(z=k\) 사이에 있는 입체의 중심을 구하여라. \((k>0)\)

<풀이>

(1) 먼저 정적분으로 부피 구하기를 참조하여 원뿔의 체적을 구한 후 중심을 구한다.

\({\rm V}=\int_0^h{\rm S}(z)dz={\pi a^2\over h^2}\int_0^h(h-z)^2dz={\pi a^2h\over3}\)

\(\overline{z}={1\over\rm V}\int_0^hz{\rm S}(z)dz={3\over h^3}\int_0^hz(h-z)^2dz={h\over4}\)

따라서 중심 \({\rm G}(0,\,0,\,h/4)\) 이다.

(2) \({\rm S}(z)=\pi abz\) 이므로

\({\rm V}=\int_0^k{\rm S}(z)dz=\pi{ab}\int_0^kzdz={\pi abk^2\over2}\)

\(\overline{z}={1\over\rm V}\int_0^kz{\rm S}(z)dz={2\over k^2}\int_0^kz^2dz={2\over3}k\)

따라서 중심 \({\rm G}(0,\,0,\,2k/3)\) 이다.