정적분으로 부피 구하기 (Volume by Definite Integral)

입체의 체적(부피)를 정적분을 이용하여 구하는 방법을 알아본다.

정리 1   입체와 직선 \(g\)가 있고 \(g\) 상에 주어진 좌표 \((x)\)에 대하여 \(g\) 상에 좌표 \(x\)인 점 \(\rm P\)를 통하고 \(g\)에 수직인 평면으로 입체를 절단할 때 절단면의 면적을 \({\rm S}(x)\)라 하자. 이 때 \({\rm S}(x)\)가 \(x\)의 연속함수라면, 이 입체의 부피는 \[{\rm V}=\int_a^b{\rm S}(x)dx\]로 주어진다.

<증명>   \(g\) 상의 점 \(x\)와 \(x+\Delta{x}\)를 통하는 \(g\)에 수직인 두 평면으로 입체를 절단하여 그림 1 처럼 얇은 판모양의 입체를 만들자. 이 때 얇은 판모양의 입체의 부피는

\[\Delta{\rm V}\fallingdotseq{\rm S}(x)dx\]

에 근사하다. 따라서 정적분의 성질에 의하여 입체 부피 \(rm V\)는

\[{\rm V}=\int_a^b{\rm S}(x)dx\]

가 된다.

그림 1

[예제 1] 타원면

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\ (a,\,b,\,c>0)\]

으로 싸인 타원체의 부피를 구하여라.

<풀이> 이 타원체를 그림 2와 같이 표시한 부분은 전체의 \(1/8\)이다. 여기서 점 \((x,\,0,\,0)\)을 지나고 \(x\)축에 수직인 평면으로 절단된 부분은 타원의 \(1/4\)로서 그 타원의 방정식은

\[\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-\frac{x^2}{a^2}\]

이것을 변형하면

\[\frac{y^2}{\left(b\sqrt{1-x^2/a^2}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(c\sqrt{1-x^2/a^2}\right)^2}=1\]

이것으로부터 절단부분의 넓이를 구하면 타원의 \(1/4\) 이므로

\[{\rm S}(x)={\pi\over4}bc\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\]

이다(정적분으로 넓이 구하기 예제 1 참조). 따라서 정리 1에 의하여 타원체의 부피는

\[{\rm V}=8\int_0^a{\pi\over4}bc\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)dx={4\pi\over3}abc\]

그림 2

계 (회전체의 부피)   함수 \(f(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \(f(x)\ge0\) 일 때 \(y=f(x)\)를 \(x\)축 둘레에 회전하여 얻은 회전체의 부피는 \[{\rm V}=\pi\int_a^b\{f(x)\}^2dx\]

<증명>   \(x\)축 상의 점 \(x\)를 지나고 \(x\)축에 수직인 평면으로 회전체를 자르면 잘린 면은 반지름 \(f(x)\)인 원이므로 그 넓이는

\[{\rm S}(x)=\pi\{f(x)\}^2\]

따라서 정리 1에 의하여

\[{\rm V}=\pi\int_a^b\{f(x)\}^2dx\]

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