2변수함수의 극대ㆍ극소

정의 1 (극대ㆍ극소) 함수 \(f(x,\,y)\)가 있어서 점 \((a,\,b)\)의 근방의 임의의 점 \((x,\,y)\)에 대하여

\[\begin{split}f(x,\,y)<f(a,\,b)\text{이면}\ f\text{는}\ (a,\,b)\text{에서}\ {\bf 극대(極大)}\\f(x,\,y)>f(a,\,b)\text{이면}\ f\text{는}\ (a,\,b)\text{에서}\ {\bf 극소(極小)}\end{split}\]

라 하며, \(f(a,\,b)\)를 각각 극대치(極大値) 및 극소치(極小値)라고 한다. 극대치와 극소치를 합쳐서 극치(極値)라 한다.

정리 1   편미분가능한 함수 \(f(x,\,y)\)가 점 \((a,\,b)\)에서 극치를 가지면 \(f_x(a,\,b)=f_y(a,\,b)=0\) 이다.

<증명> \(f\)가 \((a,\,b)\)에서 극치를 갖는다면, 직선 \(y=b\) 상에서 생각한 함수 \(f(x,\,b)\)는 \(x=a\)에서 극치를 갖는다. 따라서 \(f_x(a,\,b)=0\).

같은 방법으로, 직선 \(x=a\) 상에서 생각한 함수 \(f(a,\,y)\)도 \(y=b\)에서 극치를 가지므로 \(f_y(a,\,b)=0\) 이다.

[주의] \(f_x(x,\,y)=f_y(x,\,y)=0\)의 근이 모두 극치를 준다고 말할 수 없다. 또 한편 미분계수가 존재하지 않는 점에서도 극치를 가질 수 있다. 

정리 2   함수 \(f(x,\,y)\)가 점 \((a,\,b)\)에서 \(f_x(x,\,y)=f_y(x,\,y)=0\)을 만족한다고 하자. \[{\rm D}=f_{xy}(a,\,b)^2-f_{xx}(a,\,b)f_{yy}(a,\,b)\]라 둘 때 (i)  \({\rm D}<0,\,f_{xx}(a,\,b)>0\) 이면 \(f(a,\,b)\)는 극소치, \(f_{xx}(a,\,b)<0\) 이면 \(f(a,\,b)\)는 극대치이다. (ii) \({\rm D}>0\) 이면 \(f(a,\,b)\)는 극치가 아니다.

[주의] \(\rm D=0\) 이면 이 방법으로는 판정할 수 없다. 또한 (i)에서는 \(f_{xx}(a,\,b)>0\) 또는 \(f_{xx}(a,\,b)<0\) 대신에 각각 \(f_{yy}(a,\,b)>0\) 또는 \(f_{yy}(a,\,b)<0\)라 해도 된다.

<증명> \(f_x(a,\,b)=f_y(a,\,b)=0\) 이므로 Taylor의 정리에 의해

\[\begin{gather}f(a+h,\,b+k)-f(a,\,b)={1\over2}\{f_{xx}(a+\theta_1h,\,b+\theta_1k)h^2+2f_{xy}(a+\theta_1h,\,b+\theta_1k)hk\\+f_{yy}(a+\theta_1h,\,b+\theta_1k)k^2\},\,0<\theta_1<1.\end{gather}\]

--- under construction ---