2변수함수의 극대ㆍ극소
\[\begin{split}f(x,\,y)<f(a,\,b)\text{이면}\ f\text{는}\ (a,\,b)\text{에서}\ {\bf 극대(極大)}\\f(x,\,y)>f(a,\,b)\text{이면}\ f\text{는}\ (a,\,b)\text{에서}\ {\bf 극소(極小)}\end{split}\]
라 하며, \(f(a,\,b)\)를 각각 극대치(極大値) 및 극소치(極小値)라고 한다. 극대치와 극소치를 합쳐서 극치(極値)라 한다.
| 정리 1 편미분가능한 함수 \(f(x,\,y)\)가 점 \((a,\,b)\)에서 극치를 가지면 \(f_x(a,\,b)=f_y(a,\,b)=0\) 이다. |
<증명> \(f\)가 \((a,\,b)\)에서 극치를 갖는다면, 직선 \(y=b\) 상에서 생각한 함수 \(f(x,\,b)\)는 \(x=a\)에서 극치를 갖는다. 따라서 \(f_x(a,\,b)=0\).
같은 방법으로, 직선 \(x=a\) 상에서 생각한 함수 \(f(a,\,y)\)도 \(y=b\)에서 극치를 가지므로 \(f_y(a,\,b)=0\) 이다.
[주의] \(f_x(x,\,y)=f_y(x,\,y)=0\)의 근이 모두 극치를 준다고 말할 수 없다. 또 한편 미분계수가 존재하지 않는 점에서도 극치를 가질 수 있다.
| 정리 2 함수 \(f(x,\,y)\)가 점 \((a,\,b)\)에서 \(f_x(x,\,y)=f_y(x,\,y)=0\)을 만족한다고 하자. \[{\rm D}=f_{xy}(a,\,b)^2-f_{xx}(a,\,b)f_{yy}(a,\,b)\]라 둘 때 (i) \({\rm D}<0,\,f_{xx}(a,\,b)>0\) 이면 \(f(a,\,b)\)는 극소치, \(f_{xx}(a,\,b)<0\) 이면 \(f(a,\,b)\)는 극대치이다. (ii) \({\rm D}>0\) 이면 \(f(a,\,b)\)는 극치가 아니다. |
[주의] \(\rm D=0\) 이면 이 방법으로는 판정할 수 없다. 또한 (i)에서는 \(f_{xx}(a,\,b)>0\) 또는 \(f_{xx}(a,\,b)<0\) 대신에 각각 \(f_{yy}(a,\,b)>0\) 또는 \(f_{yy}(a,\,b)<0\)라 해도 된다.
\[\begin{gather}f(a+h,\,b+k)-f(a,\,b)={1\over2}\{f_{xx}(a+\theta_1h,\,b+\theta_1k)h^2+2f_{xy}(a+\theta_1h,\,b+\theta_1k)hk\\+f_{yy}(a+\theta_1h,\,b+\theta_1k)k^2\},\,0<\theta_1<1.\end{gather}\]
식을 간단히 하기 위해
\[\begin{gather}f_{xx}(a,\,b)={\rm A},\,f_{xy}(a,\,b)={\rm B},\,f_{yy}(a,\,b)={\rm C}\\f_{xx}(a+\theta_1h,\,b+\theta_1k)={\rm A}+\lambda_1,\\f_{xy}(a+\theta_1h,\,b+\theta_1k)={\rm B}+\lambda_2,\\f_{yy}(a+\theta_1h,\,b+\theta_1k)={\rm C}+\lambda_3\,\end{gather}\]
라 하면, \(f_{xx},\,f_{xy},\,f_{yy}\)는 연속이므로 \((h,\,k)\to(0,\,0)\) 일 때 \(\lambda_1\to0,\,\lambda_2\to0,\,\lambda_3\to0\)가 된다. 그리고 \(r=\sqrt{h^2+k^2}\)이라 하여
\[h=r\cos\theta,\,k=r\sin\theta,\,0\le\theta\le2\pi\]
이라 두면
\[\begin{align}f(a+h,\,b+k)-f(a,\,b)&={1\over2}\left\{({\rm A}+\lambda_1)h^2+2({\rm B}+\lambda_2)hk+({\rm C}+\lambda_3)k^2\right\}\\&={1\over2}r^2({\rm A}\cos^2\theta+2{\rm B}\cos\theta\sin\theta+{\rm C}\sin^2\theta+\lambda_1\cos^2\theta+2\lambda_2\cos\theta\sin\theta\\&\quad\ +\lambda_3\sin^2\theta)={1\over2}r^2({\rm F}(\theta)+\epsilon)\end{align}\]
단,
\[\begin{align}&{\rm F}(\theta)={\rm A}\cos^2\theta+2{\rm B}\cos\theta\sin\theta+{\rm C}\sin^2\theta\\&\epsilon=\lambda_1\cos^2\theta+2\lambda_2\cos\theta\sin\theta+\lambda_3\sin^2\theta\\&\lim_{\begin{split}h\to0\\k\to0\end{split}}\epsilon=\lim_{r\to0}\epsilon=0.\end{align}\]
가 된다.
(i) \(\rm D=B^2-AC<0\)인 경우는 \(\rm A\)와 \(\rm C\)는 항상 같은 부호를 갖는다. 그리고
\[\begin{align}\rm AF(\theta)=A^2\cos^2\theta+2AB\cos\theta\sin\theta+AC\sin^2\theta=(A\cos\theta+B\sin\theta)^2+(AC-B^2)\sin^2\theta\end{align}\]
이다. 단, \(\rm AC-B^2\ne0\) 이므로 \(\rm(AC-B^2)\sin^2\theta=0\)이 되는 것은 \(\sin\theta=0\)인 경우 즉, \(\theta=0\) 또는 \(\theta=2\pi\)일 때이다.
이 경우에는
\[\rm(A\cos\theta+B\sin\theta)^2=A^2>0\]
이므로, \(\rm(A\cos\theta+B\sin\theta)^2\)과 \(\rm(AC-B^2)\sin^2\theta\)은 동시에 0이 될 수 없으므로 \(\rm AF(\theta)\)는 항상 양의 값을 갖는다. 한편 \(\rm AF(\theta)\)는 폐구간 \(0\le\theta\le2\pi\)에서 연속이므로, 최대, 최소치를 갖는다.
\(\rm AF(\theta)\)의 최소치를 \(\alpha\)라 하면, \(\alpha>0\) 이다. 또한 \(r\to0\) 일 때 \(\epsilon\to0\) 이므로, 충분히 작은 양수 \(\delta\)가 존재하여, \(0<r<\delta\)인 \(r\)에 대하여
\[|{\rm A}\epsilon|<\alpha\]
가 성립하도록 할 수 있다. 이와 같이 \(\delta\)를 취하면
\[{\rm AF}(\theta)+{\rm A}\epsilon>0\ (0<r<\delta)\]
이므로
\[{\rm A}\{f(a+h,\,b+k)-f(a,\,b)\}={r^2\over2}({\rm AF}(\theta)+{\rm A}\epsilon)>0.\]
즉, \({\rm A}\)와 \(f(a+h,\,b+k)-f(a,\,b)\)는 같은 부호이다. 따라서, 점 \((a,\,b)\)에서 거리가 \(\delta\) 이내의 점 \((a+h,\,b+k)\)에 대하여
\[\begin{align}&{\rm A}<0\ \text{이면}\ f(a+h,\,b+k)<f(a,\,b)\\&{\rm A}>0\ \text{이면}\ f(a+h,\,b+k)>f(a,\,b)\end{align}\]
이것은
\[\begin{align}&{\rm A}<0\ \text{또는}\ {\rm C}<0\ \text{이면}\ f(a,\,b)\text{는 극대치}\\&{\rm A}>0\ \text{또는}\ {\rm C}>0\ \text{이면}\ f(a,\,b)\text{는 극소치}\end{align}\]
임을 보여주고 있다.
(ii) \(\rm D=B^2-AC>0\)인 경우는 \(\rm A\ne0\) 이면, (i)과 같은 방법으로 하여
\[{\rm AF}(\theta)=(\rm A\cos\theta+B\sin\theta)^2+(\rm AC-B^2)\sin^2\theta\]
라 변형하면
\[\begin{gather}\sin\theta=0\ \text{일 때}\ \rm AF(\theta)=A^2>0,\\\rm A\cos\theta+B\sin\theta=0\ \text{일 때}\ \rm AF(\theta)=-(B^2-AC)\sin^2\theta<0\end{gather}\]
가 되므로, \(\rm AF(\theta)\)는 양의 값도 음의 값도 취할 수 있고, 따라서 \(\rm F(\theta)\)는 \(\theta\)의 값에 따라 양의 값을 가질 수도 있고, 음의 값을 가질 수도 있다. \(\rm A=0\) 이면 가정 \(\rm B^2-AC=B^2>0\)으로부터, \(\rm B\ne0\),
\[\rm F(\theta)=\rm2B\cos\theta\sin\theta+C\sin^2\theta=\rm2B\sin^2\theta\left(\cos\theta+{C\over2B}\right)\]
이므로, \(\theta\)의 값에 따라 \(\rm F(\theta)\)는 양의 값을 취할 수도 있고 음의 값을 취할 수도 있다.
결국 \(\rm F(\theta)\)는 \(r\)의 값에 관계없이 \(\theta\)의 값에 따라 양, 음의 값을 가짐을 알 수 있다. 한편, \(\epsilon\)는 \(\theta\)의 값에 관계없이, \(r\to0\) 일 때 \(\epsilon\to0\) 이므로 앞에서와 같이 아주 작은 \(\delta>0\)을 취하면, \(0<r<\delta\)인 모든 \(r\)에 대하여 \(\rm F(\theta)+\epsilon\)의 부호는 \(\rm F(\theta)\)의 부호로 결정된다. 따라서
\[f(a+h,\,b+k)-f(a,\,b)={r^2\over2}\{\rm F(\theta)+\epsilon\}\]
는 \((a,\,b)\)의 아무리 작은 근방 내에서도 양, 음의 값을 갖게 되므로 \(f(a,\,b)\)는 극치라고 할 수 없다.
[예제 1] \(f(x,\,y)=x^3+y^3-9xy+27\)의 극치를 구하여라.
<풀이> \(f_x=3x^2-9y,\,f_y=3y^2-9x,\,f_{xx}=6x,\,f_{xy}=-9,\,f_{yy}=6y\)
\(f_x=f_y=0\)의 근은 \((x,\,y)=(0,\,0); (3,\,3)\) 이다.
\((x,\,y)=(0,\,0)\) 일 때
\[\begin{gather}f_{xx}(0,\,0)=f_{yy}(0,\,0)=0,\,f_{xy}(0,\,0)=-9\\{\rm D}=f_{xy}^2(0,\,0)-f_{xx}(0,\,0)f_{yy}(0,\,0)=81>0\end{gather}\]
따라서 \((0,\,0)\)에서는 극치를 갖지 않는다.
\((x,\,y)=(3,\,3)\) 일 때
\[\begin{gather}f_{xx}(3,\,3)=f_{yy}(3,\,3)=18>0,\,f_{xy}(3,\,3)=-9\\{\rm D}=f_{xy}^2(3,\,3)-f_{xx}(3,\,3)f_{yy}(3,\,3)=-243<0\end{gather}\]
따라서 \((3,\,3)\)에서 극소가 되고, 극소치는 \(f(3,\,3)=0\) 이다.
《문 제》
다음 함수의 극치를 구하여라.
(1) \(f(x,\,y)=3axy-x^3-y^3\ (a>0)\)
(2) \(f(x,\,y)=x^3+3xy^2-3x\)
(3) \(f(x,\,y)=xy(x^2+y^2-1)\)
<풀이>
(1) \(f_x=3(ay-x^2),\,f_y=3(ax-y^2),\,f_{xx}=6x,\,f_yy=6y\)
\(f_x=f_y=0\)의 근은 \((x,\,y)=(0,\,0); (a,\,a)\) 이다.
\((x,\,y)=(0,\,0)\) 일 때
\[\begin{gather}f_{xx}(0,\,0)=f_{yy}(0,\,0)=0,\,f_{xy}(0,\,0)=3a\\{\rm D}=f_{xy}^2(0,\,0)-f_{xx}(0,\,0)f_{yy}(0,\,0)=9a^2>0\end{gather}\]
따라서 \((0,\,0)\)에서는 극치를 갖지 않는다.
\((x,\,y)=(a,\,a)\) 일 때
\[\begin{gather}f_{xx}(a,\,a)=f_{yy}(a,\,a)=-6a,\,f_{xy}(a,\,a)=3a\\{\rm D}=f_{xy}^2-f_{xx}(a,\,a)f_{yy}(a,\,a)=-27a^2<0\end{gather}\]
따라서 \((a,\,a)\)에서 극대가 되고, 극대치는 \(f(a,\,a)=a^3\) 이다.
(2) \(f_x=3(x^2+y^2-1),\,f_y=6xy,\,f_{xx}=f_{yy}=6x,\,f_{xy}=6y\)
\(f_x=f_y=0\)의 근은 \((x,\,y)=(\pm1,\,0); (0,\,\pm1)\) 이다.
\((x,\,y)=(1,\,0)\) 일 때
\[\begin{gather}f_{xx}(0,\,\pm1)=f_{yy}(0,\,\pm1)=0,\,f_{xy}(0,\,\pm1)=\pm6>0,\,f_{xy}(1,0)=0\\{\rm D}=f_{xy}^2(1,\,0)-f_{xx}(1,\,0)f_{yy}(1,\,0)=-36<0\end{gather}\]
따라서 \((1,\,0)\)에서 극소가 되고, 극소치는 \(f(1,\,0)=-2\) 이다.
\((x,\,y)=(-1,\,0)\) 일 때
\[\begin{gather}f_{xx}(-1,\,0)=f_{yy}(-1,\,0)=-6<0,\,f_{xy}(-1,0)=0\\{\rm D}=f_{xy}^2(-1,\,0)-f_{xx}(-1,\,0)f_{yy}(-1,\,0)=-36<0\end{gather}\]
따라서 \((-1,0)\)에서 극대가 되고, 극대치는 \(f(-1,\,0)=2\) 이다.
\((x,\,y)=(0,\,\pm1)\) 일 때
\[\begin{gather}f_{xx}(0,\,\pm1)=f_{yy}(0,\,\pm1)=0,\,f_{xy}(0,\,\pm1)=\pm6\\{\rm D}=f_{xy}^2(0,\,\pm1)-f_{xx}(0,\,\pm1)f_{yy}(0,\,\pm1)=36>0)\end{gather}\]
따라서 \((0,\pm1)\)에서 극치를 갖지 않는다.
(3) \(f_x=y(3x^2+y^2-1),\,f_y=x(x^2+3y^2-1),\,f_{xx}=f_{yy}=6xy,\,f_{xy}=3(x^2+y^2)-1\)
\(f_x=f_y=0\)의 근은 \((x,\,y)=(0,\,0);\ (0,\,\pm1);\ (\pm1,\,0);\ (\pm1/2,\,\pm1/2);\ (\pm1/2,\,\mp1/2)\) 이다.
\((x,\,y)=(0,\,0)\) 일 때
\[\begin{gather}f_{xx}(0,\,0)=f_{yy}(0,\,0)=0,\,f_{xy}(0,\,0)=-1\\{\rm D}=f_{xy}^2(0,\,0)-f_{xx}(0,\,0)f_{yy}(0,\,0)=1>0\end{gather}\]
따라서 \((0,\,0)\)에서는 극치를 갖지 않는다.
\((x,\,y)=(0,\,\pm1)\) 일 때
\[\begin{gather}f_{xx}(0,\,\pm1)=f_{yy}(0,\,\pm1)=0,\,f_{xy}(0,\,\pm1)=5\\{\rm D}=f_{xy}^2(0,\,\pm1)-f_{xx}(0,\,\pm1)f_{yy}(0,\,\pm1)=25>0\end{gather}\]
따라서 \((0,\,\pm1)\)에서는 극치를 갖지 않는다.
\((x,\,y)=(\pm1/2,\,\pm1/2)\) 일 때
\[\begin{gather}f_{xx}(\pm1/2,\,\pm1/2)=f_{yy}(\pm1/2,\,\pm1/2)=3/2>0,\,f_{xy}(\pm1/2,\,\pm1/2)=1/2\\{\rm D}=f_{xy}^2(\pm1/2,\,\pm1/2)-f_{xx}(\pm1/2,\,\pm1/2)f_{yy}(\pm1/2,\,\pm1/2)=-2<0\end{gather}\]
따라서 \((\pm1/2,\,\pm1/2)\)에서 극소가 되고, 극소치는 \(f(\pm1/2,\,\pm1/2)=-1/8\) 이다.
\((x,\,y)=(\pm1/2,\,\mp1/2)\) 일 때
\[\begin{gather}f_{xx}(\pm1/2,\,\mp1/2)=f_{yy}(\pm1/2,\,\mp1/2)=-3/2<0,\,f_{xy}(\pm1/2,\,\mp1/2)=1/2\\{\rm D}=f_{xy}^2(\pm1/2,\,\mp1/2)-f_{xx}(\pm1/2,\,\mp1/2)f_{yy}(\pm1/2,\,\mp1/2)=-2<0\end{gather}\]
따라서 \((\pm1/2,\,\mp1/2)\)에서 극대가 되고, 극대치는 \(f(\pm1/2,\,\mp1/2)=1/8\) 이다.
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