정적분으로 넓이 구하기 (Area by Definite Integral)
\[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\]
와 같은 분점으로 분할하여, 이 분할을 \(\Delta\)라 하자. 각 소구간 \(l_i=[x_{i-1},\,x_i]\)에서 \(f(x)-g(x)\)의 최대치를 \({\rm M}_i\), 최소치를 \(m_i\)로 두고 2개의 합
\[\sum_{i=1}^n{\rm M}_i(x_i-x_{i-1}),\qquad\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})\]
을 만든다. 이것은 직관적으로 보면 그림 1과 같이 두 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\) 및 \(y\)축에 평행인 두 직선 \(x=a\)와 \(x=b\)에 포함된 평면도형 \(\rm F\)를 포함하는 다각형의 넓이와 \(\rm F\)에 포함되는 다각형의 넓이를 나타낸다.
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| 그림 1 |
\[\lim_\Delta\sum_{i=1}^n{\rm M}_i(x_i-x_{i-1}),\qquad\lim_\Delta\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})\]
이 존재하여, 같은 극한치를 가질 때, 그 극한치를 도형 \(\rm F\)의 넓이 \(\rm S\)로 정의한다. 여기서, \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이므로, 이 경우 두 개의 극한은 존재하고, 그 극한은
\[{\rm S}=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx\]
이다.
| 정리 1 2개의 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고, \(f(x)\ge g(x)\) 이면, 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\) 및 두 직선 \(x=a\)와 \(x=b\)로 이루어지는 도형의 내부 넓이는 \[{\rm S}=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx\]로 주어진다. |
| 계 1. 함수 \(f(x)\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이고, \(f(x)\ge0\) 이면, 곡선 \(y=f(x)\), 두 직선 \(x=a\)와 \(x=b\) 및 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \[{\rm S}=\int_a^bf(x)dx\]와 같다. |
| 계 2. 함수 \(g(x)\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이고, \(g(x)\le0\) 이면, 곡선 \(y=g(x)\), 두 직선 \(x=a\)와 \(x=b\) 및 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \[{\rm S}=-\int_a^bg(x)dx\]와 같다. |
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| 그림 2 |
함수 \(f(x)\)가 \([a,\,b]\)에서 음과 양의 값을 가질 때, 예를 들어 \([a,\,c]\)에서 \(f(x)\ge0\) 이고, \([c,\,b]\)에서 \(f(x)\le0\) 이면, 곡선 \(y=f(x)\), 두 직선 \(x=a\)와 \(x=b\) 및 \(x\)축으로 싸인 도형의 넓이 \(\rm S\)는 적분
\[{\rm S}=\int_a^cf(x)dx-\int_c^bf(x)dx=\int_a^b|f(x)|dx\]
이다.
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| 그림 3 |
[예제 1] 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a,\,b>0)\)의 내부넓이는 \(\pi ab\)임을 보여라.
<풀이>
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| 그림 4 |
타원의 방정식을 \(y\)에 대하여 풀면 \(-a\le x\le a\)에 대하여 2개의 해
\[\begin{split}&y=&{b\over a}\sqrt{a^2-x^2}=f(x)\\&y=-&{b\over a}\sqrt{a^2-x^2}=g(x)\end{split}\]
가 얻어진다. 여기서 정리 1을 적용하면 구하는 넓이 \(\rm S\)는
\[\begin{split}{\rm S}&=\int_{-a}^a\{f(x)-g(x)\}dx=\frac{4b}{a}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx\\&=\frac{4b}{a}\left[{1\over2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2{\rm sin}^{-1}{x\over a}\right)\right]_0^a=\pi ab\end{split}\]
특히, 반지름 \(a\)인 원의 넓이는 위에서 \(b=a\) 일 때 이므로 \({\rm S}=\pi a^2\) 이다.
| 계 3. 곡선 \(\rm C\)가 매개변수 표기 \(x=\phi(t),\,y=\psi(t)\) \((\alpha\le t\le\beta)\)로 표시되었을 때, 곡선 \(\rm C\), 두 직선 \(x=a=\phi(\alpha)\)와 \(x=b=\psi(\beta)\) 및 \(x\)축으로 싸인 도형의 넓이는 \[{\rm S}=\int_\alpha^\beta\psi(t)\phi'(t)dt\]와 같다. 단, \(\psi(t)\ge0,\,\phi'(t)\ge0\) 이다. |
<증명> 계 2의 적분 공식에서, \(x=\phi(t)\)로 두면 \(y=f(x)=f(\phi(t))=\psi(t),\,dx=\phi'(t)\). 이것을 대입하면
\[{\rm S}=\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta\psi(t)\phi'(t)dt\]
가 된다.
[예제 2] Cycloid \(x=a(t-\sin{t}),\,y=a(1-\cos{t})\ (a>0,\,0\le t\le2\pi)\)와 \(x\)축으로 싸인 부분의 넓이를 구하라.
<풀이> 계 3에 의하면, 구하는 넓이는
\[\begin{align}{\rm S}&=\int_0^{2\pi}a(1-\cos{t})a(t-\sin{t})'dt=a^2\int_0^{2\pi}(1-2\cos{t}+\cos^2t)dt\\&=a^2\left[{3\over2}t-2\sin{t}+{\sin2t\over4}\right]_0^{2\pi}=3\pi a^2\end{align}\]
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| 그림 5 |
| 계 4. 극좌표계에 있어서 연속함수 \(r=f(\theta)\)로 표시되는 곡선과 원점을 지나는 반직선 \(\theta=\alpha,\,\theta=\beta\ (\alpha<\beta)\)로 둘러싸인 도형의 넓이는 \[{\rm S}={1\over2}\int_\alpha^\beta r^2d\theta\]이다. |
<증명> 곡선 \(r=f(\theta)\)와 2개의 반직선 \(\theta=\alpha,\,\theta=\beta\ (\alpha\le\theta\le\beta)\)로 싸인 부분의 넓이를 \(\rm S(\theta)\)로 두면 \(\rm S=S(\beta),\,S(\alpha)=0\).
한편, 소구간 \([\theta,\,\theta+\Delta\theta]\ (\Delta\theta>0)\)에 있어서의 \(f(\theta)\)의 최대값을 \(\rm M\), 최소값을 \(m\)으로 두면 그림 6에서 알 수 있듯이
\[\begin{gather}{1\over2}m^2\Delta\theta\le\rm S(\theta+\Delta\theta)-S(\theta)\le{1\over2}M^2\Delta\theta\\\therefore\ {1\over2}m^2\le{1\over\Delta\theta}\left\{\rm S(\theta+\Delta\theta)-S(\theta)\right\}\le{1\over2}\rm M^2\end{gather}\]
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| 그림 6 |
여기서 \(\Delta\theta\to0\) 이면, 함수 \(f(\theta)\)가 연속이므로 \(m\to f(\theta),\,{\rm M}=f(\theta)\)가 된다. 따라서 \(\rm S(\alpha)=0\) 이므로
\[{\rm S(\beta)-S(\alpha)=S(\beta)=S}={1\over2}\int_\alpha^\beta r^2d\theta\]
[예제 3] 다음 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라. \((a>0)\)
(1) \(r^2=2a^2\cos2\theta\) (연주형, lemniscate)
(2) \(x^3+y^3-3axy=0\)
<풀이>
(1) 이 곡선의 개형은 그림 7과 같다. 사선부분의 곡선호는 \(\theta\)의 범위 \(0\le\theta\le\pi/4\)에 해당된다. 이 부분의 면적 \(\rm S'\)는 계 4에 의하여
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| 그림 7 |
따라서 곡선의 대칭성을 이용하면 구하는 부분의 넓이 \(\rm S=4S'=2a^2\).
(2) \(x=r\cos\theta\)와 \(y=r\sin\theta\)로 치환하여 주어진 방정식을 극좌표로 표시하면
\[r=\frac{3a\cos\theta\sin\theta}{\cos^3\theta+\sin^3\theta}\]
가 된다. 여기서 구하는 도형은 \(\theta\)가 \(0\le\theta\le\pi/2\)에 위치한다.
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| 그림 8 |
따라서 계 4에 의하여 구하는 넓이 \(\rm S\)는
\[\begin{align}{\rm S}&=\int_0^{\pi\over2}r^2d\theta={9\over2}a^2\int_0^{\pi\over2}\frac{\cos^2\theta\sin^2\theta}{(\cos^3\theta+\sin^3\theta)^2}d\theta={9\over2}a^2\int_0^{\pi\over2}\frac{\tan^2\theta}{(1+\tan^3\theta)^2}\sec^2\theta d\theta\\&={9\over2}a^2\int_0^\infty\frac{t^2}{(1+t^3)^2}dt=-{3\over2}a^2\left[{1\over1+t^3}\right]_0^\infty={3\over2}a^2\end{align}\]
(무한적분 이용)
《문 제》
1. 2개의 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\) 및 두 직선 \(x=a\)와 \(x=b\)로 싸인 부분의 넓이는
\[{\rm S}=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx\]
와 같음을 보여라.
<증명> \(f(x)\ge g(x)\) 일 때 정리 1에 의해서 성립한다. \(f(x)<g(x)\) 일 때는 다음과 같이 증명된다.
\[{\rm S}=\int_a^b\{g(x)-f(x)\}dx=-\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx\]
2. 반지름이 \(r\)인 원의 넓이가 \(\pi r^2\)임을 증명하여라.
<증명>
\[{\rm S}={1\over2}\int_0^{\pi\over2}r^2d\theta={r^2\over2}[\theta]_0^{2\pi}=\pi r^2\]
3. 다음 도형의 넓이를 구하여라.
(1) 포물선 \(y^2=x\)와 직선 \(y=x-1\)로 싸인 도형
(2) 2개의 포물선 \(y^2=4px\)와 \(x^2=4py\)로 싸인 도형 \((p>0)\)
(3) 곡선 \(2y=4x-x^2\)과 직선 \(2y=x-4\)로 싸인 도형
(4) 곡선 \(y=\dfrac{8}{x^2+4},\,x=2y,\,x=0\)으로 싸인 도형
(5) 곡선 \(2ay=x^2,\,y=\dfrac{a^3}{x^2+a^2}\)으로 싸인 도형
<풀이>
(1) \(\displaystyle{\rm S}=\int_{1-\sqrt{5}\over2}^{1+\sqrt{5}\over2}\left\{(y+1)-y^2\right\}dy=\left[-{y^3\over3}+{y^2\over2}+y\right]_{1-\sqrt{5}\over2}^{1+\sqrt{5}\over2}={5\sqrt{5}\over6}\)
(2) \(\displaystyle{\rm S}=\int_0^{4p}\left(2\sqrt{px}-{x^2\over4p}\right)dx=\left[{4\sqrt{p}\over3}x^{3\over2}-{x^3\over12p}\right]_0^{4p}={16\over3}p^2\)
(3) \(\displaystyle{\rm S}=\int_{-1}^4\left\{\left(2x-{x^2\over2}\right)-\left({x\over2}-2\right)\right\}dx=\left[-{x^3\over6}+{3\over4}x^2+2x\right]_{-1}^4={125\over12}\)
(4) \(\displaystyle{\rm S}=\int_0^2\left({8\over x^2+4}-{x\over2}\right)dx=\left[4{\rm Tan}^{-1}{x\over2}-{x^2\over4}\right]_0^2=\pi-1\)
(5) \(\displaystyle{\rm S}=2\int_0^a\left(\frac{a^3}{x^2+a^2}-{x^2\over2a}\right)dx=2\left[a^2{\rm Tan}^{-1}{x\over a}-{x^3\over6a}\right]_0^a=\left({\pi\over2}-{1\over3}\right)a^2\)
4. 다음 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.
(1) 곡선 \(x=3t^2,\,y=2t^3\)과 \(x\)축 및 \(x=1\)
(2) 곡선 \(x=a\sqrt{1-t^2},\,y^2=at\sqrt{1-t^2}\ (0\le t\le1)\)와 \(x\)축
(3) 곡선 \(x=a\cos^3t,\,y=a\sin^3t\ (0\le t\le2\pi)\ (a>0)\)
<풀이>
(1) \(\displaystyle{\rm S}=\int_0^{1/\sqrt{3}}2t^3(3t^2)'dt=12\int_0^{1/\sqrt{3}}t^4dt=12\left[{t^5\over5}\right]_0^{1/\sqrt{3}}={4\sqrt{3}\over45}\)
(2) \(\displaystyle{\rm S}=\int_1^0at\sqrt{1-t^2}\left(a\sqrt{1-t^2}\right)'dt=-a^2\int_1^0t^2dt={a^3\over3}\)
(3) \(\displaystyle{\rm S}=\int_0^{2\pi}\left|a\sin^3t(a\cos^3t)'\right|dt=3a^2\int_0^{2\pi}\sin^4t\cos^2tdt\)
\(\displaystyle=3a^2\left[-{\sin^3t\cos^3t\over6}+{\sin^3t\cos{t}\over8}-{\sin{t}\cos{t}\over16}+{t\over16}\right]_0^{2\pi}={3\pi\over8}a^2\)
5. 다음 곡선으로 싸인 부분의 넓이를 구하여라.
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| 그림 9 |
(1) \(r=a(1+\cos\theta)\) (심장형(cardioid))
(2) \(r\cos\theta=a\cos2\theta\)
(3) \(y^2(a^2+x^2)=x^2(a^2-x^2)\)의 1개의 자폐선
(4) \(x^2+y^2=4a^2x^2y^2\)의 1개의 자폐선
<풀이>
(1) \(\displaystyle{\rm S=2S'}=a^2\int_0^\pi(1+\cos\theta)^2d\theta=a^2\int_0^\pi\left({3\over2}+2\cos\theta+{\cos2\theta\over2}\right)d\theta\)
\(\displaystyle=a^2\left[{3\over2}\theta+2\sin\theta+{\sin2\theta\over4}\right]_0^\pi={3\pi\over2}a^2\)
(2) \(\displaystyle{\rm S=2S'}=a^2\int_0^{\pi\over3}\frac{\cos^22\theta}{\cos^2\theta}d\theta=a^2\int_0^{\pi\over4}(2\cos2\theta-2+\sec^2\theta)d\theta\)
\(\displaystyle=a^2\left[\sin2\theta-2\theta+\tan\theta\right]_0^{\pi\over4}=2\left(1-{\pi\over4}\right)a^2\)
(3) \(\displaystyle{\rm S=2S'}=\int_0^{\pi\over4}r^2d\theta=a^2\int_0^{\pi\over4}(2-\sec^2\theta)d\theta=a^2[2\theta-\tan\theta]_0^{\pi\over4}=a^2\left({\pi\over2}-1\right)\)
(4) \(\displaystyle{\rm S}={1\over2}\int_0^{\pi\over2}r^2d\theta=2a^2\int_0^{\pi\over2}\sin^2\theta\cos^2\theta d\theta=2a^2{\rm B}(2,\,2)={a^2\over2}{\rm B}(2,\,0)={a^2\over4}{\rm B}(0,\,0)\)
\(\displaystyle={\pi\over8}a^2\)
(3), (4) : \(x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta\) 대입하여 직교 → 극좌표계로 변환
(4) : 정적분의 부분적분법 예제 2 참조
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