원통좌표계에서 2차 텐서의 발산

원통좌표계에서 2차 텐서(2nd rank tensor)의 발산을 유도해 본다. 원통좌표계의 델 연산자\((\nabla)\)를 적용하고 텐서를 단위벡터의 형태로 나타내면 다음과 같다.

\[\nabla\cdot\boldsymbol\sigma=\left(\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}+\hat\theta\frac{\partial}{r\partial\theta}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot\left(\begin{matrix}\quad\sigma_{rr}\hat{r}\hat{r}+\sigma_{r\theta}\hat{r}\hat\theta+\sigma_{rz}\hat{r}\hat{z}\\+\sigma_{\theta r}\hat\theta\hat{r}+\sigma_{\theta\theta}\hat\theta\hat\theta+\sigma_{\theta z}\hat\theta\hat{z}\\+\sigma_{zr}\hat{z}\hat{r}+\sigma_{z\theta}\hat{z}\hat\theta+\sigma_{zz}\hat{z}\hat{z}\end{matrix}\right)\]

2차 텐서 각 항에 단위벡터의 좌표계 미분과 적(積)의 미분법을 이용하여 델 연산자의 성분을 적용하면

\[\begin{split}&\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sigma_{rr}\hat{r}\hat{r}\right)=\hat{r}\frac{\partial\sigma_{rr}}{\partial r}\\&\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sigma_{r\theta}\hat{r}\right)\end{split}\]

--- under construction ---