도형의 관성능률 (慣性能率)

공간에 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)을 가진 점 \({\rm P}_1,\,{\rm P}_2,\,\cdots,\,{\rm P}_n\)와 직선 \(g\)가 주어져다고 하자. 이 때 각 점에서 직선까지의 거리가 각각 \(r_1,\,r_2,\,\cdots,\,r_n\) 이면, 다음 합

\[{\rm I}_g=\sum_{i=1}^nm_ir_i^2=m_1r_1^2+m_2r_2^2+\cdots+m_nr_n^2\]

을 이 질점계의 \(g\)둘레의 관성능률(慣性能率)이라 한다.

여기서 직선 \(g\)가 \(z\)축이라면 각 점의 좌표를 각각 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1,\,z_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2,\,z_2),\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n,\,z_n)\)으로 나타낼 때 \(z\)축 둘레의 관성능률은 \(r_i^2=x_i^2+y_i^2\ (i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\)이므로

\[{\rm I}_z=\sum_{i=1}^nm_i\left(x_i^2+y_i^2\right)\] 

이다. 같은 방법으로 \(x\)축과 \(y\)축 둘레의 관성능률은 각각

\[{\rm I}_x=\sum_{i=1}^nm_i\left(y_i^2+z_i^2\right),\qquad{\rm I}_y=\sum_{i=1}^nm_i\left(z_i^2+x_i^2\right)\]

으로 주어진다. 여기서

\[{\rm H}_1=\sum_{i=1}^nm_ix_i^2,\qquad{\rm H}_2=\sum_{i=1}^nm_iy_i^2,\qquad{\rm H}_3=\sum_{i=1}^nm_iz_i^2\]

을 각각 \(yz,\,zx,\,xy\) 평면에 관하여 이 질점계의 2차 능률(二次能率)이라 한다.

\[{\rm I}_x={\rm H}_2+{\rm H}_3,\qquad{\rm I}_y={\rm H}_3+{\rm H}_1,\qquad{\rm I}_z={\rm H}_1+{\rm H}_2\cdots(1)\]

가 성립함을 알 수 있다.

질량이 선, 면 또는 입체 상에 연속적으로 분포되어 있을 경우에는 정직선 \(g\)로부터 거리가 \(r\)과 \(r+dr\) 사이에 있는 질량 \(dm\)이 \(f(r)dr\)과 근사하다면, 이 미소부분의 직선 \(g\) 둘레의 관성능률은 \(d{\rm I}_g\fallingdotseq r^2f(r)dr\)과 근사하다. 따라서 전물체의 직선 \(g\) 둘레의 관성능률은

\[{\rm I}_g=\int_\alpha^\beta r^2f(r)dr\]

으로 주어진다. 여기서 물체는 \(r=\alpha\)와 \(r=\beta\) 범위 내에 포함되는 것이다.

\[{\rm H}_1=\int_\alpha^\beta x^2g(x)dx\]

가 된다. \({\rm H}_2,\,{\rm H}_3\)에 대해서도 같은 방법으로 얻을 수 있다. 또, \({\rm I}_x,\,{\rm I}_y,\,{\rm I}_z\)를 \({\rm I}_g\)와 같이 정의하면 식 (1)이 성립한다. 물체의 밀도가 일정한 경우 물체의 관성능률 대신에 도형의 관성능률이란 용어를 사용한다.

[예제 1] 길이 \(2l\)인 선분의, 그 수직 2등분선 둘레의 관성능률을 구하여라. (단, 밀도는 일정하다.)

<풀이> 중심 \(O\)부터 거리 \(r\)과 \(r+dr\) 사이 부분의 질량 \(dm\fallingdotseq\rho dr\). 따라서

\[{\rm I}_g=\int_{-l}^lr^2\rho dr=\frac{2\rho l^3}{3}=\frac{l^2\rm M}{3}\] 

여기서 \({\rm M}=2\rho l\)은 전체질량이다.

[예제 2] 타원면

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\]

로 싸인 타원체에 대하여 \({\rm I}_x,\,{\rm I}_y,\,{\rm I}_z,\,{\rm H}_1,\,{\rm H}_2,\,{\rm H}_3\)를 구하여라. (단, 밀도는 일정하다.)

<풀이> 점 \((x,\,0,\,0)\)를 통하여 \(x\)축에 수직인 평면으로 타원체를 절단하면 절단면은 타원이고 그 면적은

\[{\rm S}(x)=\pi bc\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\]

이 된다(정적분으로 넓이 구하기 예제 1 참조). 따라서 \(x\)와 \(x+dx\) 사이에 있는 질량은

\[dm\fallingdotseq\rho\pi{bc}\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)dx\]

와 근사하다. 따라서 \(yz\) 평면에 관한 2차능률 \(\rm H_1\)은

\[{\rm H}_1=\int_{-a}^ax^2\rho\pi{bc}\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)dx=2\rho\pi{bc}\left[{x^3\over3}-{x^5\over5a^2}\right]_0^a={4\over15}\rho\pi{a^3bc}={a^2\rm M\over5}\]

여기서 전질량

\[{\rm M}=\int_{-a}^ax^2\rho\pi bc\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)dx={4\over3}\rho\pi abc\]

이다. 같은 방법으로 \({\rm H}_2=b^2{\rm M}/5,\,{\rm H}_3=c^2{\rm M}/5\). 여기서 식 (1)을 이용하면

\[\begin{align}&{\rm I}_x={\rm H_2+H_3}=\left(b^2+c^2\right)\rm M/5\\&{\rm I}_y={\rm H_3+H_1}=\left(c^2+a^2\right)\rm M/5\\&{\rm I}_z={\rm H_1+H_2}=\left(a^2+b^2\right)\rm M/5\end{align}\]

이 얻어진다.

[예제 3] \(xy\) 평면위에만 분포된 질량분포에서는 z축 둘레의 관성능률 \({\rm I}_z\)는 \(x\)축과 \(y\)축 둘레의 관성능률 \({\rm I}_x,\,{\rm I}_y\)의 합과 같음을 보여라.

<풀이> 질점이 \(xy\) 평면상에만 분포되어 있는 경우에는 \({\rm H}_3=\sum m_iz_i^2=0\) 이므로 식 (1)에 의하여 \({\rm I}_x=\sum m_iy_i^2,\,{\rm I}_y=\sum m_ix_i^2\). 따라서 \({\rm I}_z=\sum m_i\left(x_i^2+y_i^2\right)={\rm I}_x+{\rm I}_y\)가 얻어진다.

일반으로 관성능률의 정의에 의하여

\[{\rm I}_x+{\rm I}_y+{\rm I}_z=2\sum_{i=1}^nm_i\left(x_i^2+y_i^2+z_i^2\right)=2\rm H\]

이다. 여기서

\[{\rm H}=\sum_{i=1}^nm_i{\rm R}_i^2,\qquad{\rm R}_i=\left(x_i^2+y_i^2+z_i^2\right)^{1\over2}\]

을 원점에 관한 질점계의 2차능률이라 한다. 여기서 \({\rm R}_i\)는 질점 \(m_i\)와 원점 \(O\)와의 거리이다.

한편 질량이 연속적으로 분포되어 있으면서 원점 \(O\)에서 거리 \(\rm R\)과 \({\rm R}+d{\rm R}\) 사이에 있는 질량이 \(dm\fallingdotseq{\rm F(R)}d{\rm R}\)과 근사하다면 원점에 관한 2차능률 \({\rm H}\)는

\[{\rm H}=\int_a^b{\rm R^2F(R)}d{\rm R}\]

이다. 단, 물체는 원점 \(O\)에서 거리 \(a\)와 \(b\) 사이에 있다.

[예제 4] 원판의 1개의 직경 주위의 관성능률을 구하여라.

<풀이> 원판을 \(x^2+y^2\le{a}^2\)으로 두자. \(z\)축과의 거리 \(r\)과 \(r+dr\) 사이의 질량은 \(dm\fallingdotseq\rho2\pi rdr\) (밀도 \(\rho\)는 일정)이 되고, 연속 질량분포의 관성능률 정의에 의하여

\[{\rm I}_z=\int_0^a\rho r^22\pi rdr=2\pi\rho\int_0^ar^3dr={\pi\over2}\rho a^2={a^2\over2}\rm M\]

여기서 \({\rm M}=\rho\pi a^2\)은 원판의 전질량이다. 예제 8과 원판의 대칭성으로부터 \({\rm I}_x={\rm I}_y\) 이므로

\[{\rm I}_x={\rm I}_z/2=a^2\rm M/4\]

[예제 5] 반지름 \(a\)인 구의 직경 \(g\) 둘레의 관성능률 \({\rm I}_g\)를 구하여라.

<풀이> 밀도 \(\rho\)는 일정하다고 하자. 구면 \(x^2+y^2+z^2=a^2\)으로 싸인 구를 생각하자. 원점에서 \(\rm R\)과 \({\rm R}+d{\rm R}\) 내에 있는 질량은 \(dm\fallingdotseq\rho4\pi{\rm R}^2d\rm R\)와 근사하다(정적분으로  부피구하기 예제 4 (1) 참조). 따라서 원점에 관한 2차능률은

\[{\rm H}=\int_0^a{\rm R}^2\rho4\pi{\rm R}^2d{\rm R}=4\pi\rho\int_0^a{\rm R}^4d{\rm R}={4\pi\over5}\rho a^5\]

한편 \(2{\rm H}={\rm I}_x+{\rm I}_y+{\rm I}_z\) 이고, 또 구의 대칭성으로부터 \({\rm I}_x={\rm I}_y={\rm I}_z\) 이므로

\[{\rm I}_g={\rm I}_x={2\over3}{\rm H}={8\pi\over15}\rho a^5={2\over5}a^2{\rm M}\]

단, \({\rm M}=4\rho a^3/3\)은 전체질량이다(정적분으로  부피구하기 예제 2 (1) 참조).

《문     제》

1. (1) 길이 \(2l\)의 선분의 한 끝점을 지나며 선분에 수직인 직선둘레의 관성능률을 구하여라. (단, 밀도는 일정하다.)

    (2) Cycloid  \(x=a(t-\sin{t}),\,y=a(1-\cos{t})\ (0\le{t}\le2\pi)\)의 \(x\)축 둘레의 관성능률을 구하여라. (단, 밀도는 일정하다.)

<풀이>

(1) 아래 그림으로부터 예제 6과 평행축 정리에 의해 \({\rm I}_g'={\rm I}_g+k^2{\rm M}={\rm I^2M/3+I^2M=4I^2/3}\)

(2) \(x'=a(1-\cos{t}),\,y'=a\sin{t}\) 이고 \({\rm M}=8a\) (곡선의 길이 예제 2 (2)) 이므로

\({\rm I}_x=\int_0^{2\pi}y^2\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt=\sqrt{2}a^3\int_0^{2\pi}(1-\cos{t})^{5/2}dt=8a^3\int_0^{2\pi}\sin^5{t\over2}dt\)

     \(=32a^3\int_0^{\pi/2}\sin^5sds={256\over15}a^3={32\over15}a^2\rm M\)

2. (1) 높이 \(h\)인 3각형의 밑변 둘레의 관성능률을 구하여라.

    (2) 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a,\,b>0)\)으로 싸인 도형의 \(x\)축과 \(y\)축 둘레의 관성능률 \({\rm I}_x\)와 \({\rm I}_y\)를 구하여라.

    (3) 2변의 길이가 \(a\)와 \(b\)인 직사각형의 길이가 \(a\)인 변둘레의 관성능률을 구하여라.

<풀이>

(1) 밑변의 길이를 \(a\)라 하자. 밑변으로부터 거리 \(r\)과 \(r+dr\) 사이의 질량은 \(f(r)dr=\frac{a}{h}(h-r)dr\) 이고 \({\rm M}={ah\over2}\) 이므로

\({\rm I}_g={a\over h}\int_0^hr^2(h-r)dr={a\over h}\left[{hr^3\over3}-{r^4\over4}\right]_0^h={ah^3\over12}={h^2\rm M\over6}\)

(2) \({\rm M}=ab\pi\) 이므로 관성능률의 정의에 의하여

\({\rm I}_x=\int_0^by^2f(y)dy={4a\over b}\int_0^by^2\sqrt{b^2-y^2}dy=4ab^3\int_0^{\pi/2}\left(\sin^2t-\sin^4t\right)dt={\pi ab^3\over4}={b^2\rm M\over4}\)

(무리함수의 적분 [7], 정적분의 부분적분법 예제 1 참조)

같은 방법으로 \({\rm I}_y={a^2\rm M\over4}\) 이다.

(3) \({\rm M}=ab\) 이므로 관성능률의 정의에 의하여

\({\rm I}_g=\int_0^br^2f(r)dr=a\int_0^br^2dr={ab^3\over3}={b^2\rm M\over3}\)

3. (1) 밑변의 반지름 \(a\)인 원기둥의 축의 둘레의 관성능률을 구하여라.

    (2) 밑변의 반지름 \(a\)인 원뿔의 축의 둘레의 관성능률을 구하여라.

<풀이>

(1) \({\rm M}=\pi a^2h\) 이므로

\({\rm I}_g=\int_0^ar^2f(r)dr=2\pi h\int_0^ar^3dr={\pi a^4h\over2}={a^2\rm M\over2}\)

(2) \({\rm M}={\pi a^2h\over3}\) (도형의 중심 4. (1) 참조) 이므로

\({\rm I}_g=\int_0^ar^2f(r)dr={2\pi h\over a}\int_0^ar^3(a-r)dr={\pi a^4h\over10}={3a^2\rm M\over10}\)