도형의 관성능률 (慣性能率)

공간에 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)을 가진 점 \({\rm P}_1,\,{\rm P}_2,\,\cdots,\,{\rm P}_n\)와 직선 \(g\)가 주어져다고 하자. 이 때 각 점에서 직선까지의 거리가 각각 \(r_1,\,r_2,\,\cdots,\,r_n\) 이면, 다음 합

\[{\rm I}_g=\sum_{i=1}^nm_ir_i^2=m_1r_1^2+m_2r_2^2+\cdots+m_nr_n^2\]

을 이 질점계의 \(g\)둘레의 관성능률(慣性能率)이라 한다.

여기서 직선 \(g\)가 \(z\)축이라면 각 점의 좌표를 각각 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1,\,z_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2,\,z_2),\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n,\,z_n)\)으로 나타낼 때 \(z\)축 둘레의 관성능률은 \(r_i^2=x_i^2+y_i^2\ (i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\)이므로

\[{\rm I}_z=\sum_{i=1}^nm_i\left(x_i^2+y_i^2\right)\] 

이다. 같은 방법으로 \(x\)축과 \(y\)축 둘레의 관성능률은 각각

\[{\rm I}_x=\sum_{i=1}^nm_i\left(y_i^2+z_i^2\right),\qquad{\rm I}_y=\sum_{i=1}^nm_i\left(z_i^2+x_i^2\right)\]

으로 주어진다. 여기서

\[{\rm H}_1=\sum_{i=1}^nm_ix_i^2,\qquad{\rm H}_2=\sum_{i=1}^nm_iy_i^2,\qquad{\rm H}_3=\sum_{i=1}^nm_iz_i^2\]

을 각각 \(yz,\,zx,\,xy\) 평면에 관하여 이 질점계의 2차 능률(二次能率)이라 한다.

\[{\rm I}_x={\rm H}_2+{\rm H}_3,\qquad{\rm I}_y={\rm H}_3+{\rm H}_1,\qquad{\rm I}_z={\rm H}_1+{\rm H}_2\cdots(1)\]

가 성립함을 알 수 있다.

질량이 선, 면 또는 입체 상에 연속적으로 분포되어 있을 경우에는 정직선 \(g\)로부터 거리가 \(r\)과 \(r+dr\) 사이에 있는 질량 \(dm\)이 \(f(r)dr\)과 근사하다면, 이 미소부분의 직선 \(g\) 둘레의 관성능률은 \(d{\rm I}_g\fallingdotseq r^2f(r)dr\)과 근사하다. 따라서 전물체의 직선 \(g\) 둘레의 관성능률은

\[{\rm I}_g=\int_\alpha^\beta r^2f(r)dr\]

으로 주어진다. 여기서 물체는 \(r=\alpha\)와 \(r=\beta\) 범위 내에 포함되는 것이다.

\[{\rm H}_1=\int_\alpha^\beta x^2g(x)dx\]

가 된다. \({\rm H}_2,\,{\rm H}_3\)에 대해서도 같은 방법으로 얻을 수 있다. 또, \({\rm I}_x,\,{\rm I}_y,\,{\rm I}_z\)를 \({\rm I}_g\)와 같이 정의하면 식 (1)이 성립한다. 물체의 밀도가 일정한 경우 물체의 관성능률 대신에 도형의 관성능률이란 용어를 사용한다.

[예제 1] 길이 \(2l\)인 선분의, 그 수직 2등분선 둘레의 

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