기계공학 (Mechanical Engineering)

x와 y축에 대한 단면의 관성 모멘트(moments of inertia) (아래 그림 참조)는 각각 적분 \[{\rm I}_x=\int y^2d{\rm A}\qquad{\rm I}_y=\int x^2d{\rm A}\] 에 의해서 정의된다. 여기서 x와 y는 미소 면적요소 dA의 좌표이다. dA가 거리의 제곱과 곱해지기 때문에 관성 모멘트는 단면의 2차 모멘트(second moments) 라고도 불리운다. 관성 모멘트가 어떻게 적분으로 얻을 수 있는가를 설명하기 위해, 아래 그림과 같은 사각단면을 생각한다. x와 y축의 원점은 도심 에 위치하고 있다. 편의 상, 폭 b와 높이 dy의 얇은 띠 형태의 면적요소를 이용하면 dA=bdy 이다. 그러면 x축에 대한 관성 모멘트는 \[{\rm I}_x=\int_{-h/2}^{h/2}y^2bdy=\frac{bh^3}{12}\] 이다. 유사한 방법으로 세로 띠 형태의 면적요소 dA를 이용하면 y축ㅇ에 대한 관성 모멘트를 얻는다. \[{\rm I}_y=\int_{-b/2}^{b/2}x^2hdx=\frac{hb^3}{12}\] 만약 다른 축을 선택하면 관성 모멘트는 다른 값을 갖게 된다. 예를 들어, 사각형의 하단 축을 생각하자. 이 경우에는 y를 하단축으로부터 면적요소 dA까지의 거리로 정의한다. 그러면 관성 모멘트의 계산은 다음과 같다. \[{\rm I}_{bottom}=\int_0^hh^2bdy=\frac{bh^3}{3}\] 도심의 x축 보다 하단 축에 대한 관성 모멘트가 더 크다는 것에 주목한다. 일반적으로, 관성 모멘트는 기준축이 그 자신에 평행하게 도심으로부터 멀어질 수록 증가한다. 축의 선택과 무관하게 관성 모멘트는 x와 y좌표가 제곱되므로 항상 양수값을 갖는다(첫번째 식 참조). 특정 축에 대한 복합단면의 관성 모멘트는 각 부분들의 동일 축에 대한 관성 모멘트들의 합이다. 예를 들어 위의 그림 왼쪽 중공박스 단면이 있다. x축은 도심 C를 지나는 대칭 축이 된다. 이 x축에 대한 관성 모멘트는 두 사각형의 ...

엑셀에서 점도표를 만들 수 있는 간단한 방법을 알아본다. 먼저 관측치와 빈도수를 셀에 입력한다. 그림 1에서 A열이 관측치이고 B열이 빈도수이다.. 그림 1 B열의 빈도수를 선택하여 2차원 묶은 세로 막대형 차트를 삽입한다(그림 2). 그림 2 빈도수를 나타내는 세로 막대형 차트가 그림 3과 같이 생성된다. 그림 3 가로축 레이블이 관측치가 아니므로 편집을 클릭하여 변경한다(그림 4). 그림 4 축 레이블 범위로 관측치에 해당하는 A열을 선택한다(그림 5). 그림 5 그림 6과 같이 가로축 레이블이 관측치로 변경되었다. 그림 6 세로 막대를 점으로 변경하기 위해 막대를 우클릭한 후 데이터 계열 서식창을 띄운다. 채우기 항목에서 그림 또는 질감 채우기를 선택한다. 다음에서 삽입 항목 중 클립아트를 선택한다. 이 때 점 하나 당 1개 단위를 나타내므로 1 단위/그림으로 설정한다. 그림 선택창이 뜨면 마음에 드는 점요소를 선택한다(그림 7). 그림 7 확인을 누르면 그림 8과 같이 점도표가 완성된다. 그림 8

 비틀림(Torsion)이란 축을 중심으로 회전을 발생시키는 우력(couples)을 받는 봉(member)의 휨을 말한다. 이러한 형태의 하중은 두 쌍의 힘들이 작용하고 끝단이 고정된 직선 원축을 보여주는 아래 그림 a에 도시하였다. 각 쌍의 힘들은 우력을 형성하며 종축을 중심으로 비틀려는 경향이 있다. 우력의 모멘트(moment)는 힘과 하중들의 작용선 간의 거리의 곱이다. 따라서 첫번째 우력은 모멘트 \(T_1=P_1d_1\) 그리고 두번째는 모멘트 \(T_2=P_2d_2\) 이다.  우력의 모멘트를 표시하는데 있어 편의상 벡터 를 사용하여 이중머리 화살표로 표시하기로 한다(그림 b). 화살표는 우력이 포함된 면에 수직이며 우력의 방향은 모멘트 벡터의 오른손 법칙을 따른다. 또 다른 표현은 비틀림 방향에 따라 곡선 화살표를 사용하는 것이다(그림 c). 위의 그림 \(T_1\)과 \(T_2\) 같이 축의 비틀림을 발생시키는 우력을 토크(torques), 비틀림 우력(twisting couples) 또는 비틀림 모멘트(twisting moments)라 불리운다.  비틀림을 받는 원축의 예로는 기계류의 차축(axle)과 구동축(drive shaft) 이다. 또한 항공기 등에서 볼 수 있는 박육관(thin-walled tubular members)도 생각할 수 있다.

정의 1 (함수의 연속)  함수 f가 다음 세 성질을 만족할 때 x=a 에서 연속 (連續)이라 한다. (1) f는 a에서 정의되어 있고, (2) \(\lim_{x\to a}f(x)\)가 존재하고, (3) \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) 이다. 이 정의에 의하면 x→a 일 때 f(x) →f(a) 임을 뜻하므로 ε-δ법으로도 정의할 수 있다. ε-δ법에 의한 정의 함수 f의 정의역내의 한 점을 a라 한다. 임의의 ε>0에 대하여 적당한  δ>0 이 존재하여 |x-a|< δ 일 때 |f(x)<f(a)|< ε 이면 f는 x=a에서 연속이라 한다. 이것을 기호로 ∀ε>0, ∃δ>0 |x-a|< δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε 와 같이 나타낸다. 또, 폐구간 [a, b]에서 정의된 함수 f가 a 또는 b에서 연속이라 함은 각각 \[\lim_{x\to a+0}f(x)=f(a),\quad\lim_{x\to b-0}=f(b)\] 를 뜻한다. 함수 f의 정의역내의 점 a 또는 b에서 위의 성질이 성립되면 f는 각각 a에서 우연속 (右連續), b에서 좌연속 (左連續)이라 한다. f가 c의 근방을 포함하는 구간에서 정의되어 있을 때 c에서 연속이라 함은 c에서 우 및 좌연속인 것이다. 정의 2 (불연속)  함수 f가 그 정의역내의 점 a에서 연속이 아닐 때 x=a에서 불연속 (不連續)이라 한다. 정의 3 (연속함수) 함수 f가 그 정의역내의 모든 점에서 연속일 때 f를 연속함수 (連續函數)라 한다. [예제 1] f(x)=px+q (p, q는 상수)로 정의된 함수 f는 임의의 실수 a에서 연속임을 보여라. <증명> 정의역은 -∞<x< ∞ 이다. |f(x)-f(a)|=|p(x-a)|=|p||x-a| 이므로 p=0 일 때는 δ는 임의의 양수이면 된다. p≠0 일 때는 |f(x)-f(a)|=|p||x-a|<ε 이면 되므로 임의의 양수  ε에 대하여 \...

개요 (Introduction) 본 글은 고전적 보의 굽힘 이론(classical beam being theory)에 대하여 복습한다. 이는 거의 모든 구조 설계와 해석에 있어서 중요한 고려 대상이다. 다소 명확하지는 않지만, 기둥의 좌굴 (column buckling)과도 또한 관련이 있다. 곡률 반경 (Radius of Curvature) 보의 굽힘에 있어서 곡률 반경 은 기본이 되므로 복습하도록 한다. 곡률 반경은 통상 그리스 문자 ρ로 나타내고, 그래프의 일부분 도로의 커브, 또는 대부분 경로의 일부와 같은 곡률을 갖는 원의 반경으로 생각할 수 있다. 경로가 직선이면, ρ는 무한대이고 날카로운 곡선이면 매우 작을 것이다. 곡률 반경에 대한 수학적 표현을 알아 본다. 위의 그림과 같이 임의의 함수 y=f(x)를 생각한다. 호의 길이 s= ρθ이고, 여기서 θ는 호의 각도이다. 미소 증분은 ds= ρdθ이고 양변을 dx로 나누면 \[\rho\frac{d\theta}{dx}=\frac{ds}{dx}\] 이제 d θ/dx와 ds/dx에 대한 표현이 필요하므로 먼저 d θ/dx는 다음 관계를 상기하면 \[\tan\theta=\frac{dy}{dx},\ \text{따라서}\ \theta={\rm Tan}^{-1}(y')\] d θ/dx를 얻기 위해 x에 관해 미분하면 (미분과정은 링크 를 참조한다.) \[\frac{d\theta}{dx}=\frac{y''}{1+(y')^2}\] ds/dx를 얻기 위해서는 우선 경로증분을 생각하면 \[ds^2=dx^2+dy^2\] 양변을 dx로 나누고 제곱근을 취하면 \[\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}=\sqrt{1+(y')^2}\] 이들을 앞의 식에 대입하고 정리하면 유명한 다음 식을 얻는다. \[{1\over\rho}=\frac{y''}{\left\{1+(y')^2\right\}^{3/2}}\] 수많은 역...