기계공학 (Mechanical Engineering)

개요 (Introduction) 위의 기둥은 하나가 아닌, 두 하중을 지지한다. 하나는 오일러 좌굴이론 과 같이 기둥 중심과 일치한다. 반면에 두번째는 편심하중 조건으로 옵셋되어 있다. 이 복합하중은 복잡한 역학적 문제를 유발하며 해법은 표준 교재에서 다루고 있지 않다. 따라서, 본 글에서 그 풀이 과정과 해의 특징을 알아본다. 반력 (Reaction Forces) 첫번째 단계로 기둥의 반력을 결정하기 위해 하중과 모멘트를 합한다. 이를 통해 하단에서 윗 방향으로 수직반력 P+P*, 그리고 편심하중 P*으로 인한 모멘트 P*e에 대항하는, 크기가 같고 방향이 반대인 횡방향 하중 P*e/L가 양단에 작용한다. 굽힘모멘트 (Bending Moments) 모든 좌굴문제가 그렇듯이, 출발점은 표준 보의 굽힘 미분방정식 이다. \[EIy''=M\] M에 대한 표현은 L* 위와 아래 부분이 각각 상이하다. 따라서, 먼저 L* 위의 기둥에 대한 미분방정식을 정의하고, 다음으로 아래 부분에 대한 미분방정식을 정의 한다. 위의 그림은 기둥 상부의 자유물체도(FBD)를 보여준다. 내부힘들은 흑생으로, 외부힘들은 적색으로 표시하였다. 잘라진 면의 모멘트 총합으로부터 아래의 방정식이 유도된다. \[\text{Top}:\ M={P^*e\over L}(L-x)-Py\] 여기서, y는 기둥의 횡방향 처짐이다. Top 라벨은 이것은 L* 위의 구간에만 적용된다는 표시이다. 위의 그림은 기둥 하부의 자유물체도이다. 다시 단면부의 모멘트 총합으로부터 아래 미분방정식을 얻는다. \[\text{Bottom}:\ M=-{P^*e\over L}x-(P+P^*)y\] Bottom 라벨은 이것은 L* 아래 구간에만 적용된다는 표시이다. 지배 미분방정식 (Governing Differential Equation) 굽힘모멘트 식을 보의 굽힘 미분방정식, EIy''=M에 대입하고 정리하면 다음과 같다. \[\begin{align}&\text{Top}:\ EIy...

개요 (Introduction) 고전 기둥 좌굴이론 (classical column buckling theory)과 같이, 편심하중의 기둥 좌굴 또한 독특하고 난해한 주제이다. 주어진 하중에 대하여 처짐과 응력 에 대한 비선형 의존성이 있다는 점에서 독특하다. 그림에 나타낸 바와 같이 하중 P는, 그의 작용점이 기둥으로부터 거리 e 만큼 떨어져 있을 때, 편심(eccentric) 되었다고 한다. 이는 통상 고전이론의 처짐에 기인한 모멘트 외에 추가로 P×e의 굽힘모멘트 를 유발한다. 특이하게도, 편심하중 기둥의 역학은 고전이론보다 단순하게 생각할 수 있다. 요컨데, 고전 기둥좌굴과 달리, 여기서 붕괴(failure)는 실제로 재료의 항복 과 관계가 있다. 사실, 붕괴는 하중이 임계치(critical vector) Pcr에 도달하기 전에 재료의 항복강도 를 초과하는 응력에 의해 항상 발생함을 보일 것이다. 이론해 - 양단 회전 기둥 (Analytical Solutions - Both Ends Pinned) 편심하중 기둥의 좌굴 해석은 고전 오일러 좌굴이론과 동일하게 보의 굽힘 방정식에서 시작한다. \[EIy''=M\] 그러나, 이번에는 M=P(y+e)가 되고, 여기서 P는 압축하중, y는 기둥의 처짐 그리고 e는 기둥의 중심으로부터 상대적으로 떨어진 거리, 편심량(eccentricity) 이다. 이 식을 위의 미분방정식 M에 대입하면 다음식이 유도된다. \[EIy''+Py=-Pe\] 이 방정식은 다음의 일반해를 갖는다. \[y=A\sin\left(\sqrt{P\over EI}x\right)+B\cos\left(\sqrt{P\over EI}x\right)-e\] 여기서 A와 B는 경계조건으로부터 결정되는 상수이다. 경계조건은 회전양단, x=0 및 x=L에서 y=0 이다. 첫번째 경계조건, x=0 에서 y=0, 으로부터 B=e를 얻는다. 두번째 경계조건(x=L 에서 y=0)과 삼각함수 항등식 으로부터 다음을 얻는다. \[A=e\t...

다음과 같이 외팔 원형 단면보가 비틀림 T와 굽힘모멘트 M을 동시에 받고 있다. 보의 상단 미소요소는 평면응력(plane stress) 상태이며 굽힘모멘트 M에 의한 수직응력 \(\sigma_x\), 비틀림모멘트 T에 의한 전단응력 τ로 나타난다. 굽힘과 비틀림의 조합하중 최대 수직응력은 주응력 식을 이용하여 다음과 같이 계산되며 상당굽힘응력(equivalent bending stress)이라고 한다. \[\sigma_e=\sigma_1={1\over2}\sigma_x+{1\over2}\sqrt{\sigma_x^2+4\tau^2}\] 여기서 \(\sigma_x\) 및 τ는 각각 비틀림토오크 T와 굽힘모멘트 M에 의한 비틀림과 굽힘응력이므로 아래와 같이 나타낼 수 있다. \[\sigma_x={Mr\over I}={32M\over\pi d^3}\qquad\tau={Tr\over I_p}={16T\over\pi d^3}\] 이제 상당응력에 해당하는 상당모멘트를 구해 본다. 먼저 상당비틀림모멘트(equivalent twisting moment)는 토오크와 전단응력의 관계로부터 \[T_e=\tau_e{I_p\over r}={I_p\over d}\sqrt{\sigma_x^2+4\tau^2}={\pi d^3\over32}\sqrt{\left({32M\over\pi d^3}\right)^2+\left({16T\over\pi d^3}\right)^2}=\sqrt{M^2+T^2}\] 동일한 방법으로 상당굽힘모멘트(equivalent bending moment)를 얻는다. \[M_e=\sigma_e{I\over r}={I\over d}\left(\sigma_x+\sqrt{\sigma_x^2+\tau^2}\right)={1\over2}(M+T_e)={1\over2}\left(M+\sqrt{M^2+T^2}\right)\]

논문이나 문헌에 있는 차트 그림으로부터 데이터를 추출하는 방법을 소개한다. 오픈 소스 프로그램인 Engage Digitizer를 사용하면 된다. 아래 사용방법을 순서대로 설명해 놓았다. 1. 아래 링크로부터 install 프로그램을 다운받아 설치한다. Engage Digitizer 다운로드(Window10/64bit) 기타 운영 체제는 아래 사이트를 방문한다. https://github.com/markummitchell/engauge-digitizer/releases 2. 문헌에 있는 차트 그림 파일을 저장한다. 예를 들면 논문에 있는 보론강, 22MnB5의 인장커브 곡선이 있다고 하자.   3. 좌표계의 원점이 일치하지 않으므로 그림판을 이용하여 좌표축을 이동시킨다. 4. Engage Digitizer 프로그램을 실행 후 그림 파일을 import 한다. 5. 검사 목록 가이드 마법사가 자동 실행되면 Next를 클릭한 후 곡선의 이름을 입력한다.  6. Next - Finish를 클릭해 마법사를 종료한 후 '축 포인트 도구'가 선택되었는지 확인한다. 7. 3개의 축 지점을 찍어 좌표를 정의한다. 예를 들면 먼저 원점을 커서로 찍고 좌표값 (0, 0)을 입력한 후 승인한다.  8. 같은 방법으로 축좌표 (5, 0), (0, 100)을 작성한다. 이로서 좌표계가 정의되었다. 9. '세그먼트 채우기 도구'를 선택한다. 커브 위로 커서를 이동하면 세그멘트로 인식하는 경우 하이라이트 되고 일정 간격으로 디지털화 한다. 인식되는 세그먼트를 모두 클릭한다. 10. 인식되지 않는 곡선 세그먼트는 '커브 포인트 도구'를 사용하여 디지털화 한다. 11. 디지털화한 데이터를 export 한다.   12. 데이터는 csv 형식으로 저장되고 엑셀에서 열고 차트를 만들면 아래와 같은 커브 데이터를 확인할 수 있다.

기계의 결합요소로 가장 많이 사용하는 것이 나사이며 간단히 풀 수 있다. 회전운동과 직선운동과의 상호 변환요소로써 또는 작은 회전모멘트로 축방향 큰 힘을 얻을 수 있는 운동용 나사로써 중요한 기계요소이다. 위의 그림과 같이 지름 \(d_1\)인 원통에 밑변 \(AC=\pi d_1\)인 직각삼각형 ABC를 감으로 빗변 AB는 원통면에 나선(螺旋, helix)이라는 곡선을 그린다. 이 나선을 따라 원통을 한 바퀴 돌면 \(BC=l\) 만큼 올라간다. 이 \(l\)을 리이드(lead)라 한다. 그림의 나선은 왼쪽으로 돌 때 올라가므로 왼나선(left hand helix)이라 하고, 직각삼각형 ABC를 반대방향으로 감으면 오른나선(right handed helix)이라 한다. 이 때 BC를 밑변으로 하는 삼각형 BCE를 나선에 따라 감으면 BE, CE는 나선면(helix surface or helicoid)를 형성하고 단면이 삼각형 BCE인 띠를 감은 것처럼 된다. 이것을 나사(screw)라 하고, 삼각형 BCE를 나사산(screw thread)이라 한다. 나선의 경사각 ∠BAC=α를 리이드각(lead angle)이라 하며, 1줄 나사에서는 피치각(pitch angle)이라고도 한다. 리이드각 α는 아래 그림과 같이 바깥지름 \(d\), 골지름 \(d_1\), 유효지름 \(d_2\)에 따라 \(\alpha_2,\ \alpha_1,\ \alpha\)가 되고 보통 유효지름의 것을 사용한다. 따라서 \(\tan\alpha=l/\pi d_2\)가 성립하고 나사의 작용에 중요한 평균경사각이다. 나사곡선 상으로 3각형, 4각형 등의 여러가지 단면을 가진 띠를 감으면 봉우리와 골 부분이 생긴다. 원통 바깥면에 나사산을 새긴 것을 수나사(external screw thread)라 하고 안쪽면에 새긴 것을 암나사(internal screw thread)라 한다. 그리고 수나사를 새긴 것을 보울트(bolt), 암나사를 새긴 것을 너트(nut)라 하며 서로 짝을 이룬다. 나사산이...