곡선의 凹凸
정의 1 (한 점에 대한 凹凸) 곡선 \(y=f(x)\)가 점 \((c,\,f(c))\)에서 접선을 갖는다고 하자. \(c\)의 근방에서, 점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선이 곡선 \(y=f(x)\)의 그래프보다 위쪽 (또는 아래쪽)에 있으면, \(f(x)\)는 점 \((c,\,f(c))\)에서 위로 凸(또는 아래로 凸)이라 한다.
또한, \(y=f(x)\)의 그래프가 점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선의 윗쪽에서 아래쪽으로 또는 아래쪽에서 윗쪽으로 옮겨질 때 점 \((c,\,f(c))\)를 변곡점(变曲点)이라 한다.
| 정리 1 \(f\)는 \(a,\,b\)에서 미분가능이라 하자. \(a,\,b\) 내의 한 점 \(c\)에서 \(f''(c)>0\ (f''(c)<0)\) 이면, 곡선 \(y=f(x)\)는 점 \((c,\,f(c))\)에서 아래로 凸(위로 凸) 이다. |
<증명> 점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선의 방정식은 \(y=(x-c)f'(c)+f(c)\) 이다. 이 접선과 주어진 곡선 \(y=f(x)\)와의 함수차
\[F(x)=f(x)-\{(x-c)f'(c)+f(c)\}\]
를 생각하면, 평균치 정리에 의해
\[F(x)-F(c)=(x-c)F'(\xi)\]
인 점 \(\xi\)가 \(c\)와 \(x\) 사이에 존재한다. 그런데 \(F(c)=0,\,F'(x)=f'(x)-f'(c)\) 이므로
\[F(x)=(x-c)\{f'(\xi)-f'(c)\}\]
이다. \(f''(c)>0\) 이면 \(f'(x)\)는 \(x=c\)에서 증가상태에 있으므로, \(c\)에 충분히 가까운 점 \(x\)에 대해서
\[\begin{gather}x>c\ \text{이면}\ x>\xi>c\ \text{에서}\ f'(\xi)>f'(c),\\x<c\ \text{이면}\ x<\xi<c\ \text{에서}\ f'(\xi)<f'(c).\end{gather}\]
어느 경우든지
\[F(x)=(x-c)\{f'(\xi)-f'(c)\}>0\]
이다. 따라서 점 \((c,\,f(c))\)의 근방에서 \(y=f(x)\) 상의 점은 접선보다 윗쪽에 있게되어 아래로 凸이다.
\(f''(c)<0\)인 경우도 마찬가지로 하면 된다.
정의 2 (구간에서의 凹凸) 곡선 \(y=f(x)\)가 구간 \((a,\,b)\) 내의 모든 점에서 아래로 凸(위로 凸)이면 이 곡선은 구간 \((a,\,b)\)에서 아래로 凸(위로 凸)이라 한다.
| 정리 2 함수 \(f\)는 구간 \(a,\,b\)에서 미분가능이고, 그 구간에서 \(f''(x)\)의 부호가 일정하다고 하자. 이 때 \(y=f(x)\)는 \begin{split}&f''(x)>0\ \text{이면}\ (a,\,b)\text{에서 아래로}\ &凸\\&f''(x)<0\ \text{이면}\ (a,\,b)\text{에서 위로}&凸\end{split}이다. |
\[f(x)=f(c)+(x-c)f'(c)+{1\over2}(x-c)^2f''(\xi)\ (\text{단},\,x<\xi<c\ \text{또는}\ c<\xi<x)\]
이므로, \((a,\,b)\)에서
\[\begin{gather}f''(x)>0\ \text{이면}\ f(x)>f(c)+(x-c)f'(c),\\f''(x)<0\ \text{이면}\ f(x)<f(c)+(x-c)f'(c).\end{gather}\]
즉,
\[\begin{split}&f''(x)>0\ \text{이면}\ (a,\,b)\text{에서}\ y=f(x)\text{는 아래로}&凸,\\&f''(x)<0\ \text{이면}\ (a,\,b)\text{에서}\ y=f(x)\text{는 위로}&凸.\end{split}\]
[주의] 점 \(c.\,f(c)\)가 변곡점이면 \(f''(c)=0\) 이다. 그러나, \(f''(c)=0\) 일자라도 그 점은 반드시 변곡점이 된다고 할 수 없다.
| 계 \(f\)가 \(x=c\)의 근방에서 \(f''(x)\)가 존재하고, \(f''(c)=0\) 이며, \(x\)가 증가하면서 \(x=c\)를 통과할 때, \(f''(x)\)의 부호가 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 변하면 점 \((c,\,f(c))\)는 변곡점이다. |
<증명> Taylor의 정리에 의해
\[f(x)=f(c)+(x-c)f'(c)+\frac{(x-c)^2}{2}f''(\xi)\ (x<\xi<c,\,또는\ c<\xi<x)\]
이므로 \(x<c\) 일 때 \(f''(x)<0,\,x>c\) 일 때 \(f''(x)>0\) 이라 하면
\[\begin{gather}x<c\text{에서}\ f(x)<f(c)+(x-c)f'(c),\\x>c\text{에서}\ f(x)>f(c)+(x-c)f'(c).\end{gather}\]
가 되므로, \((c,\,f(c))\)는 변곡점이다.
\(x<c\) 일 때 \(f''(x)>0,\,x>c\) 일 때 \(f''(x)<0\)인 경우도, 똑같이 하면 \((c,\,f(c))\)는 변곡점이 된다.
[예제 1] \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)의 凹凸 및 변곡점을 조사하여라.
<풀이> \(f'(x)=3x^2+2x+b,\,f''(x)=6x+2a\) 이므로
\[\begin{gather}x<-a/3\ \text{이면}\ f''(x)<0\\x>-a/3\ \text{이면}\ f''(x)>0\end{gather}\]
따라서, \(y=f(x)\)는 \((-\infty,\,-a/3)\)에서 위로 凸, \((-a/3,\,\infty)\)에서 아래로 凸이다. 변곡점은 \((-a/3,\,f(-a/3))\) 이다.
[예제 2] \(g(x)=x^2+\sin{\alpha x}\) 일 때, \(|\alpha|<\sqrt{2}\) 이면, 곡선 \(y=g(x)\)는 모든 점에서 아래로 凸임을 보여라.
<증명> \(g'(x)=2x+\alpha\cos{\alpha x},\,g''(x)=2-\alpha^2\sin{\alpha x}.\ |\alpha|<\sqrt{2}\) 이면
\[|\alpha^2\sin{\alpha x}|=|\alpha|^2|\sin{\alpha x}|\le\alpha^2<2\]
이므로 \(g''(x)>0\). 따라서, \(y=g(x)\)는 \(-\infty<x<\infty\)에서, 항상 아래로 凸이다.
| 정리 3 \(f\)는 \(c\)의 근방에서 제\(n\)차까지의 도함수를 갖고, 제\(n\)차 도함수가 연속이며, 또한 \[f''(c)=f'''(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c),\,f^{(n)}(c)\ne0\]이라 한다. (1) \(n\)이 짝수이고, \(f^{(n)}(c)>0\) 이면, \(y=f(x)\)는 \((c,\,f(c))\)에서 아래로 凸 (2) \(n\)이 짝수이고, \(f^{(n)}(c)<0\) 이면, \(y=f(x)\)는 \((c,\,f(c))\)에서 위로 凸 (3) \(n\)이 홀수이면, \((c,\,f(c))\)는 변곡점이다. |
<증명> 점 \(c\)의 근방의 임의의 점을 \(x\)라 하면, Taylor 정리에 의해
\[f(x)=f(c)+(x-c)f'(c)+\frac{(x-c)^n}{n!}f^{(n)}(\xi),\,(\text{단},\,x<\xi<c\ \text{또는}\ c<\xi<x )\]
이다. 한편, \(f^{(n)}(x)\)는 연속이므로, 적당한 \(\delta\)가 존재하여, \((c-\delta,\,c+\delta)\) 내의 임의의 점 \(x\)에서 \(f^{(n)}(x)\)와 \(f^{(n)}(c)\)의 부호가 같게 할 수 있다. 이 때 \(\xi\)에 대해서, \(f^{(n)}(\xi)\)도 \(f^{(n)}(c)\)도 같은 부호이다. 따라서, \((c-\delta,\,c+\delta)\)에서
(1) \(n\)이 짝수일 때 \((x-c)^n>0\) 이므로 \(f^{(n)}(c)>0\) 이면 \(f^{(n)}(\xi)>0\),
\[f(x)=f(c)+(x-c)f'(c)+\frac{(x-c)^n}{n!}f^{(n)}(\xi)>f(c)+(x-c)f'(c).\]
따라서 \(y=f(x)\)는 \((c,\,f(c))\)에서 아래로 凸.
(2) \(f^{(n)}(c)<0\) 이면 \(f^{(n)}(\xi)>0\),
\[f(x)=f(c)+(x-c)f'(c)+\frac{(x-c)^n}{n!}f^{(n)}(\xi)<f(c)+(x-c)f'(c).\]
따라서 \(y=f(x)\)는 \((c,\,f(c))\)에서 위로 凸이다.
(3) \(n\)이 홀수이면, \((x-c)^{(n)}\)은 \(c\)의 좌우에서 부호가 변하므로, \(f^{(n)}(c)\ne0\) 이면 \(f^{(n)}(\xi)\ne0\),
\[(x-c)^nf^{(n)}(\xi)\]
도 역시 \(c\)의 좌우에서 부호가 변한다. 따라서 점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선은 그 점에서 곡선 \(y=f(x)\)와 교차하고 있다. 즉, \(c,\,f(c)\)는 변곡점이다.
[예제 3] \(y=x^4-8x^3+24x^2-12x-20\)의 凹凸과 변곡점을 조사하여라.
<풀이>
\(y'=4x^3-24x^2+48x-12\)
\(y''=12x^2-48x+48=12(x-2)^2\)
\(y'''=24(x-2)\)
\(y^{(4)}=24\)
\(x\ne2\) 이면 \(y''>0\) 이므로 항상 아래로 凸.
\(x=2\) 이면 \(y''=y'''=-,\,y^{(4)}>0\) 이므로 아래로 凸. 따라서 주어진 곡선은 \(-\infty,\,\infty\)에서 아래로 凸이다.
《문 제》
1. 구간 \([a,\,b]\)에서 \(f''(x)<0\) 이면, 곡선 \(y=f(x)\)는, 두 점 \((a,\,f(a))\)와 \((b,\,f(b))\)를 잇는 선분의 윗쪽에 있음을 증명하여라.
<증명> 평균치 정리에 의하여 \((a,\,b)\) 내에
\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\]
인 점 \(\xi\)가 존재한다. 따라서 주어진 선분은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)=f'(\xi)(x-a)+f(a)\]
곡선 \(f(x)\)와 선분의 차를 \(F(x)\)라 두면
\[F(x)=f(x)-f'(\xi)(x-a)-f(a)\]
그런데 \(F(x)\)의 극점은 \(F'(x)=f'(x)-f'(\xi)=0\) 이므로 \(x=\xi\) 이다.
또한, 가정에 의해 \(F''(x)=f''(x)<0\) 이므로 \(F(x)\)는 \(x=\xi\)에서 위로 凸이다. 그리고, \(F(a)=F(b)=0\) 이므로 \(F(x)\)는 \(x=\xi\)에서 최대값을 갖는다. 곡선 \(f(x)\)는 선분의 위쪽에 있다.
2. \(\alpha\)를 임의의 실수라 할 때, \(y=x^\alpha(x>0)\)는 \(\alpha>1\) 또는 \(\alpha<0\) 이면 아래로 凸, \(0<\alpha<1\) 이면 위로 凸임을 증명하여라.
<증명> \(y'=\alpha x^{\alpha-1},\,y''=\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-1}\) 이므로
\[\begin{split}&\alpha>1\ \text{또는}\ \alpha<0\ &\text{이면}\ y''>0,\\&0<\alpha<1&\text{이면}\ y''<0.\end{split}\]
따라서, \(\alpha>1\) 또는 \(\alpha<0\) 이면 아래로 凸, \(0<\alpha<1\) 이면 위로 凸이다.
3. 곡선 \(y=\dfrac{x}{x^2+1}\)의 변곡점을 구하여라.
<풀이> \(y'=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2},\,y''=\dfrac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\) 이므로 \(x=0,\,\pm\sqrt{3}\)에서 \(y''=0\) 이고 \(y''\)의 부호가 변한다. 따라서 변곡점은 \((0,\,0),\,\left(\pm\sqrt{3},\,\pm\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)\) 이다.
4. 곡선 \(y=x+\sin{x}\)의 凹凸 및 변곡점을 조사하여라.
<풀이> \(y'=1+\cos{x},\,y''=-\sin{x}\) 이므로
\[\begin{split}&2m\pi<x<(2m+1)\pi&\text{에서 }&\text{위로}&凸\\&(2m+1)\pi<x<(2m+2)\pi&\text{에서 }&\text{아래로 }&凸\end{split}\]
변곡점은 \((n\pi,\,n\pi)\) 이다.
5. 다음 곡선의 凹凸을 조사하며, 변곡점을 구하여라.
(1) \(y=2x^3-9x^2+12x-1\) (2) \(y=\ln\dfrac{1}{1+x^2}\) (3) \(y=e^{-x^2}\) (4) \(y=x^2e^{-x}\)
(5) \(y=e^{-ax}-e^{-bx}\ (0<a<b)\)
<풀이>
(1) \(y'=6x^2-18x+12,\,y''=6(2x-3),\,y'''=12\) 이므로
\[\begin{gather}x<{3\over2}\ \text{이면}\ y''<0\\x>{3\over2}\ \text{이면}\ y''>0\end{gather}\]
따라서 \(\left(-\infty,\,\dfrac{3}{2}\right)\)에서 위로 凸, \(\left(\dfrac{3}{2},\,\infty\right)\)에서 아래로 凸, 변곡점은 \(\left(\dfrac{3}{2},\,\dfrac{7}{2}\right)\)
(2) \(y'=-\dfrac{2x}{1+x^2},\,y''=\dfrac{2(x^2-1)}{(1+x^2)^2}\) 이므로
\[\begin{split}&\ x<-1\ \text{또는}\ x>1\ &\text{이면}\ y''>0\\&-1<x<1\ &\text{이면}\ y''<0\end{split}\]
따라서 \((-\infty,\,-1)\) 및 \((1,\,\infty)\)에서 아래로 凸, \((-1,\,1)\)에서 위로 凸, 변곡점은 \(\left(\pm1,\,\ln\dfrac{1}{2}\right)\)
(3) \(y'=-2xe^{-x^2},\,y''=2e^{-x^2}(2x^2-1)\) 이므로
\[\begin{split}&\ x<-{1\over\sqrt{2}}\ \text{또는}\ x>{1\over\sqrt{2}}\ &\text{이면}\ y''>0\\&-{1\over\sqrt{2}}<x<{1\over\sqrt{2}}&\text{이면}\ y''<0\end{split}\]
따라서 \(\left(-\infty,\,-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\) 및 \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,\infty\right)\)에서 아래로 凸, \((-1,\,1)\)에서 위로 凸, 변곡점은 \(\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,e^{-{1\over2}}\right)\)
(4) \(y'=xe^{-x}(2-x),\,y''=e^{-x}(x^2-4x+2)\) 이므로
\[\begin{split}&x<2-\sqrt{2}\ \text{또는}\ x>2+\sqrt{2}\ &\text{이면}\ y''>0\\&2-\sqrt{2}<x<2+\sqrt{2}&\text{이면}\ y''<0\end{split}\]
따라서, \((-\infty,\,2-\sqrt{2})\) 및 \((2+\sqrt{2},\,\infty)\)에서 아래로 凸, \((2-\sqrt{2},\,2+\sqrt{2})\)에서 위로 凸, 변곡점은 \((2\pm\sqrt{2},\,(2\pm\sqrt{2})^2e^{-(2\pm\sqrt{2})})\)
(5) \(y'=-ae^{-ax}+be^{-bx},\,y''=a^2e^{-ax}-b^2e^{-bx}\) 이고 \(y''=0\)을 만족하는 \(x\)를 \(x_0\)라 하고 대수를 취하면
\[2\ln{a}-ax_0=2\ln{b}-bx_0\qquad\text{즉},\,x_0=\frac{2(\ln{a}-\ln{b})}{a-b}\]
이므로
\[\begin{split}x<x_0\ \text{이면}\ y''<0\\x>x_0\ \text{이면}\ y''>0\end{split}\]
따라서 \((-\infty,\,x_0)\)에서 위로 凸, \((x_0,\,\infty)\)에서 아래로 凸, 변곡점은 \(\left(x_0,\,e^{-ax_0}-e^{-bx_0}\right)\)
6. (1) \(x>0,\,c>0\) 일 때
\[\ln{x}\le\ln{c}+\frac{x-c}{c}\]
을 증명하여라.
(2) 위의 부등식을 이용하여 \(n\)개의 양수 \(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n\)에 대하여, 부등식
\[\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\le\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\]
을 증명하여라.
<증명>
(1) \(y=\ln{x}\)로 두고 \(x=c\)를 중심으로 하는 Taylor 전개식은
\[\ln{x}=\ln{c}+\frac{x-c}{c}-\frac{(x-c)^2}{2\xi^2},\,x<\xi<c\]
따라서, \(\ln{x}\le\ln{c}+\dfrac{x-c}{c}\) 이다.
(2) 상가평균을 \(\rm M\), 상승평균을 \(\rm N\)이라 하면 (1)의 부등식에 의해
\[\ln{x_k}\le\ln{\rm M}+\frac{x_k-{\rm M}}{\rm M}\ (k=1,\,2,\,\cdots,\,n)\]
한편, 상승평균 \(\rm N\)에 대수를 취하면 위의 부등식에 의해
\[\ln{\rm N}={1\over n}\sum_{k=1}^n\ln{x_k}\le{1\over n}\sum_{k=1}^n\left(\ln{\rm M}+{x_k\over{\rm M}}-1\right)={1\over n}\left(n\ln{\rm M}+{1\over{\rm M}}\sum_{k=1}^nx_k-n\right)=\ln{\rm M}\]
즉, \(\rm N\le M\) 이다.
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