곡선의 凹凸

정의 1 (한 점에 대한 凹凸) 곡선 \(y=f(x)\)가 점 \((c,\,f(c))\)에서 접선을 갖는다고 하자. \(c\)의 근방에서, 점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선이 곡선 \(y=f(x)\)의 그래프보다 위쪽 (또는 아래쪽)에 있으면, \(f(x)\)는 점 \((c,\,f(c))\)에서 위로 凸(또는 아래로 凸)이라 한다.

또한, \(y=f(x)\)의 그래프가 점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선의 윗쪽에서 아래쪽으로 또는 아래쪽에서 윗쪽으로 옮겨질 때 점 \((c,\,f(c))\)를 변곡점(变曲点)이라 한다.

정리 1 \(f\)는 \(a,\,b\)에서 미분가능이라 하자. \(a,\,b\) 내의 한 점 \(c\)에서 \(f''(c)>0\ (f''(c)<0)\) 이면, 곡선 \(y=f(x)\)는 점 \((c,\,f(c))\)에서 아래로 凸(위로 凸) 이다.

<증명> 점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선의 방정식은 \(y=(x-c)f'(c)+f(c)\) 이다. 이 접선과 주어진 곡선 \(y=f(x)\)와의 함수차

\[F(x)=f(x)-\{(x-c)f'(c)+f(c)\}\]

를 생각하면, 평균치 정리에 의해

\[F(x)-F(c)=(x-c)F'(\xi)\]

인 점 \(\xi\)가 \(c\)와 \(x\) 사이에 존재한다. 그런데 \(F(c)=0,\,F'(x)=f'(x)-f'(c)\) 이므로

\[F(x)=(x-c)\{f'(\xi)-f'(c)\}\]

이다. \(f''(c)>0\) 이면 \(f'(x)\)는 \(x=c\)에서 증가상태에 있으므로, \(c\)에 충분히 가까운 점 \(x\)에 대해서

\[\begin{gather}x>c\ \text{이면}\ x>\xi>c\ \text{에서}\ f'(\xi)>f'(c),\\x<c\ \text{이면}\ x<\xi<c\ \text{에서}\ f'(\xi)<f'(c).\end{gather}\]

어느 경우든지

\[F(x)=(x-c)\{f'(\xi)-f'(c)\}>0\]

이다. 따라서 점 \((c,\,f(c))\)의 근방에서 \(y=f(x)\) 상의 점은 접선보다 윗쪽에 있게되어 아래로 凸이다.

\(f''(c)<0\)인 경우도 마찬가지로 하면 된다.

정의 2 (구간에서의 凹凸) 곡선 \(y=f(x)\)가 구간 \((a,\,b)\) 내의 모든 점에서 아래로 凸(위로 凸)이면 이 곡선은 구간 \((a,\,b)\)에서 아래로 凸(위로 凸)이라 한다.

정리 2 함수 \(f\)는 구간 \(a,\,b\)에서 미분가능이고, 그 구간에서 \(f''(x)\)의 부호가 일정하다고 하자. 이 때 \(y=f(x)\)는 \begin{split}&f''(x)>0\ \text{이면}\ (a,\,b)\text{에서 아래로}\ &凸\\&f''(x)<0\ \text{이면}\ (a,\,b)\text{에서 위로}&凸\end{split}이다.

<증명> Taylor 정리에 의해, \(a,\,b\) 내의 임의의 점 \(c\)와 \(x\)에 대하여

\[f(x)=f(c)+(x-c)f'(c)+{1\over2}(x-c)^2f''(\xi)\ (\text{단},\,x<\xi<c\ \text{또는}\ c<\xi<x)\]

이므로, \((a,\,b)\)에서

\[\begin{gather}f''(x)>0\ \text{이면}\ f(x)>f(c)+(x-c)f'(c),\\f''(x)<0\ \text{이면}\ f(x)<f(c)+(x-c)f'(c).\end{gather}\]

즉,

\[\begin{split}&f''(x)>0\ \text{이면}\ (a,\,b)\text{에서}\ y=f(x)\text{는 아래로}&凸,\\&f''(x)<0\ \text{이면}\ (a,\,b)\text{에서}\ y=f(x)\text{는 위로}&凸.\end{split}\]

[주의] 점 \(c.\,f(c)\)가 변곡점이면 \(f''(c)=0\) 이다. 그러나, \(f''(c)=0\) 일자라도 그 점은 반드시 변곡점이 된다고 할 수 없다.

계 \(f\)가 \(x=c\)의 근방에서 \(f''(x)\)가 존재하고, \(f''(c)=0\) 이며, \(x\)가 증가하면서 \(x=c\)를 통과할 때, \(f''(x)\)의 부호가 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 변하면 점 \((c,\,f(c))\)는 변곡점이다.

<증명> Taylor의 정리에 의해

\[f(x)=f(c)+(x-c)f'(c)+\frac{(x-c)^2}{2}f''(\xi)\ (x<\xi<c,\,또는\ c<\xi<x)\]

이므로 \(x<c\) 일 때 \(f''(x)<0,\,x>c\) 일 때 \(f''(x)>0\) 이라 하면

\[\begin{gather}x<c\text{에서}\ f(x)<f(c)+(x-c)f'(c),\\x>c\text{에서}\ f(x)>f(c)+(x-c)f'(c).\end{gather}\]

가 되므로, \((c,\,f(c))\)는 변곡점이다.

\(x<c\) 일 때 \(f''(x)>0,\,x>c\) 일 때 \(f''(x)<0\)인 경우도, 똑같이 하면 \((c,\,f(c))\)는 변곡점이 된다.

[예제 1] \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)의 凹凸 및 변곡점을 조사하여라.

<풀이> \(f'(x)=3x^2+2x+b,\,f''(x)=6x+2a\) 이므로

\[\begin{gather}x<-a/3\ \text{이면}\ f''(x)<0\\x>-a/3\ \text{이면}\ f''(x)>0\end{gather}\]

따라서, \(y=f(x)\)는 \((-\infty,\,-a/3)\)에서 위로 凸, \((-a/3,\,\infty)\)에서 아래로 凸이다. 변곡점은 \((-a/3,\,f(-a/3))\) 이다.

[예제 2] 

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