극좌표계의 벡터 연산 (Vector Operation of Spherical Coordinates)

극좌표계에서 기본적인 벡터 연산자(vector operator)의 유도 과정을 소개한다.

극좌표계의 단위 벡터는 좌표계의 함수이다. 단위 벡터의 좌표계 미분을 복습하면 다음과 같다.

\[\begin{split}&\frac{\partial\hat{r}}{\partial r}=\frac{\partial\hat\theta}{\partial r}=\frac{\partial\hat\phi}{\partial r}=\frac{\partial\hat\phi}{\partial\theta}=0,\,\frac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}=\hat\theta,\,\frac{\partial\hat{r}}{\partial\phi}=\sin\theta\hat\phi,\,\frac{\partial\hat\theta}{\partial\theta}=-\hat{r},\,\frac{\partial\hat\theta}{\partial\phi}=\cos\theta\hat\phi,\,\\&\frac{\partial\hat\phi}{\partial\phi}=-\cos\theta\hat\theta-\sin\theta\hat{r}\end{split}\]

경로 증분 (Path Increment)

단위 벡터의 좌표계 미분과 합성함수의 편미분법을 적용하면 다음과 같이 유도된다.

\[d{\bf p}=d(r\hat{r})=\hat{r}dr+rd\hat{r}=\hat{r}dr+r\left(\frac{\partial\hat{r}}{\partial r}dr+\frac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}d\theta+\frac{\partial\hat{r}}{\partial\phi}d\phi\right)=\hat{r}dr+r\hat\theta d\theta+r\sin\theta\hat\phi d\phi\]

구배 연산자 (Del Operator from the Definition of Gradient)

어느 스칼라 장(場, field) \(f\)가 극좌표계 \(r,\,\theta,\phi\)의 함수라고 하자. 한 점에 \(d{\bf p}\) 만큼의 미소변위가 있을 때 스칼라 함수 \(f\)도 \(df\) 만큼의 미소변화가 생긴다. 그 변화는 함수 \(f\)의 편미분으로 다음과 같이 결정된다.

\[df=\frac{\partial f}{\partial r}dr+\frac{\partial f}{\partial\theta}d\theta+\frac{\partial f}{\partial\phi}d\phi\]

한편으로는 구배의 정의에 의해서 다음식을 얻는다.

\[df=\nabla{f}\cdot d{\bf p}\]

위의 두식은 같아야 하므로

\[\frac{\partial f}{\partial r}dr+\frac{\partial f}{\partial\theta}d\theta+\frac{\partial f}{\partial\phi}d\phi=\nabla{f}\cdot{\bf p}=(\nabla{f})_rdr+(\nabla{f})_\theta rd\theta+(\nabla{f})_\phi r\sin\theta d\phi\]

위의 식은 임의의 \(dr,\,d\theta\) 및 \(d\phi\)에 대하여 성립되어야 한다. 따라서

\[(\nabla{f})_r=\frac{\partial f}{\partial r},\,(\nabla{f})_\theta=\frac{\partial f}{r\partial\theta},\,(\nabla{f})_\phi=\frac{\partial f}{r\sin\theta\partial\phi}\]

위의 식은 구배의 각 성분을 나타내므로

\[\nabla=\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}+\hat\theta\frac{\partial}{r\partial\theta}+\phi\frac{\partial}{r\sin\theta\partial\phi}\]

발산 (Divergence)

발산 \(\nabla\cdot{\bf F}\)는 또 다시 극좌표계의 단위 벡터가 좌표계의 함수라는 것과 적(積)의 미분법을 고려하여 유도된다.

\[\begin{align}&\nabla\cdot{\bf F}=\left(\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}+\hat\theta\frac{\partial}{r\partial\theta}+\hat\phi\frac{\partial}{r\sin\theta\partial\phi}\right)\cdot\left(F_r\hat{r}+F_\theta\hat\theta+F_\phi\hat\phi\right)\\&\qquad\ =\left(\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}+\hat\theta\frac{\partial}{r\partial\theta}+\hat\phi\frac{\partial}{r\sin\theta\partial\phi}\right)\cdot{\bf F}\\&\qquad\ =\hat{r}\frac{\partial{\bf F}}{\partial r}+\hat\theta\frac{\partial{\bf F}}{r\partial\theta}+\hat\phi\frac{\partial{\bf F}}{r\sin\theta\partial\phi}\\\qquad\ &\qquad\ =\hat{r}\cdot\left(\frac{\partial F_r}{\partial r}\hat{r}+\frac{\partial F_\theta}{\partial r}\hat\theta+\frac{\partial F_\phi}{\partial r}\hat\phi+F_r\frac{\partial\hat{r}}{\partial r}+F_\theta\frac{\partial\hat\theta}{\partial r}+F_\phi\frac{\partial\hat\phi}{\partial r}\right)\\&\qquad\,\,+\frac{\hat\theta}{r}\cdot\left(\frac{\partial F_r}{\partial\theta}\hat{r}+\frac{\partial F_\theta}{\partial\theta}\hat\theta+\frac{\partial F_\phi}{\partial\theta}\hat\phi+F_r\frac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}+F_\theta\frac{\partial\hat\theta}{\partial\theta}+F_\phi\frac{\hat\phi}{\partial\theta}\right)\\&+\frac{\hat\phi}{r\sin\theta}\cdot\left(\frac{\partial F_r}{\partial\phi}\hat{r}+\frac{\partial F_\theta}{\partial\phi}\hat\theta+\frac{\partial F_\phi}{\partial\phi}\hat\phi+F_r\frac{\partial\hat{r}}{\partial\phi}+F_\theta\frac{\partial\hat\theta}{\partial\phi}+F_\phi\frac{\partial\hat\phi}{\partial\phi}\right)\end{align}\]

단위 벡터의 좌표계 미분을 적용하면

\[\begin{split}&\nabla\cdot{\bf F}=\hat{r}\cdot\left(\frac{\partial F_r}{\partial r}\hat{r}+\frac{\partial F_\theta}{\partial r}\hat\theta+\frac{\partial F_\phi}{\partial r}\hat\phi\right)\\&\qquad\,\,+\frac{\hat\theta}{r}\cdot\left(\frac{\partial F_r}{\partial\theta}\hat{r}+\frac{\partial F_\theta}{\partial\theta}\hat\theta+\frac{\partial F_\phi}{\partial\theta}\hat\phi+F_r\hat\theta-F_\theta\hat{r}\right)\\&+\frac{\hat\phi}{r\sin\theta}\cdot\left(\frac{\partial F_r}{\partial\phi}\hat{r}+\frac{\partial F_\theta}{\partial\phi}\hat\theta+\frac{\partial F_\phi}{\partial\phi}\hat\phi+F_r\sin\theta\hat\phi+F_\theta\cos\theta\hat\phi-F_\phi\cos\theta\hat\theta-F_\phi\sin\theta\hat{r}\right)\\&\qquad\,\,=\frac{\partial F_r}{\partial r}+\frac{\partial F_\theta}{r\partial\theta}+\frac{F_r}{r}+\frac{\partial F_\phi}{r\sin\theta\partial\phi}+\frac{F_r}{r}+\frac{F_\theta\cos\theta}{r\sin\theta}\\&\qquad\,\,=\frac{\partial F_r}{\partial r}+\frac{2F_r}{r}+\frac{\partial F_\theta}{r\partial\theta}+\frac{F_\theta}{r}\cot\theta+\frac{\partial F_\phi}{r\sin\theta\partial\phi}\end{split}\]