합성함수의 미분법
정리 1. 함수 \(y=f(x)\)와 \(z=g(y)\)가 각각 \(x_0\)와 \(y_0=f(x_0)\)에서 미분가능 하면 합성함수 \(h=g\circ f\)는 \(x_0\)에서 미분가능하고 \[h'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0)\] 이다. <증명> \(f\)는 \(x_0\)에서 미분가능이므로 \(x\to x_0\) 일 때 \(y\to y_0\) 이다. 따라서, \[\begin{split}h'(x_0)&=\lim_{x\to x_0}\frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\left\{\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0}\cdot\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right\}\\&=\lim_{y\to y_0}\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0}\cdot\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=g'(y_0)\cdot f'(x_0)\end{split}\] 합성함수에 대한 이 법칙은 일반적으로 \[\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}\] 라 할 수도 있다. [예제 1] \(y=(x^3+3x-5)^8\) 일 때 \(\dfrac{dy}{dx}\)를 구하여라. <풀이> \(u=f(x)=x^3+3x=5,\,y=g(u)=u^8\)라 두면 \[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=8u^7\cdot(3x^2+3)=24(x^3+3x-5)^7(x^2+1)\] [예제 2] \(y=\sin{x^3}\) 일 때 \(\dfrac{dy}{dx}\)를 구하여라. <풀이> \(\dfrac{dy}{dx}=\cos{x^3}\cdot3x^2=3x^2\cos{x^3}\) [예제 3] \(y=\cos^3(x^2+1)\) 일 때 \(\dfrac{dy}{dx}\)를...