기계공학 (Mechanical Engineering)

고대부터 현대까지 유체역학 의 발전과정을 알아본다. 고대 시리큐스(Syracuse)의 아르키메데스(Archimedes, 285-212 B.C)는 정지된 유체에 잠겨있는 물체에 작용하는 부력(buoyancy)에 관한 법칙을 발견하고, 국왕 히어로 1세(Hiero I)의 금관이 갖는 금 함유량을 알아내었다. 로마의 공학자들도 수력학에 관심을 갖고 운하와 수도시설을 건설하였으나, 그들의 지식은 물의 흐름과 마찰에 관한 피상적인 이해에 불과하였다. 로마의 몰락(476) 이후 천년 이상 유체역학의 발전은 이루어지지 않았다. 단지 레오나도 다빈치(Leonardo da Vinci, 1425-1519)만이 밀라노 근처 수문을 설계하고 제작함으로써 수력학에 기여하였으며, 비행하는 새에 작용하는 힘에 관한 연구결과를 남겼다. 17세기에 들어 뉴우톤(Newton, 1643-1727)이 운동법칙들을 제시한 이후, 레온하드 오일러(Leonhard Euler, 1755)는 이 법칙들을 유체유동에 적용하여 이상유체의 유동을 지배하는 미분방정식인 오일러 방정식을 유도하였다. 같은 시대의 다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli, 1738) 역시 이상유체의 유동에 적용할 수 있는 에너지 관계식인 베르누이 방정식 을 제시하였다. 동 시대의 다렘베르트(Jean le Rond d'Alembert)는 이상유체 속에서 움직이는 물체는 유체로부터 아무런 저항도 받지 않는다는 결과를 이론적으로 얻어냈다. 그러나 이 결과는 실험적 사실과 일치하지 않는 것이었다. 당시에는 이러한 모순을 '다렘베르트 역설(d'Alembert paradox)'이라고 불렀다. 당시의 이론학지들은 오일러 방정식으로부터 얻어지는 결과가 실제 유동현상을 정확히 설명할 수 있는지에 많은 관심을 가지지 않았고, 공학자들도 현상의 이론적 측면을 도외시 하였다. 이후 수십년 동안 다렘베르트의 역설은 해결되지 못한 채, 공학자들은 실험에만 집중하였고, 이론학자들은 수학적 전개에만 열중하였다. 다렘베르트...

1. 다음 함수 의 도함수 를 구하여라. \([1]\ (1)\ x^n(x^n+1)\qquad(2)\ (x+a)(x+b)(x+c)\qquad(3)\ (x^n+1)^3\qquad(4)\ x^n\sin{x}\) \(\quad\ (5)\ \sin{x}\cos{x}\qquad\,(6)\ \sin^3{x}\qquad(7)\ \dfrac{ax+b}{cx+d}\qquad(8)\ \dfrac{ax^2+b}{cx^2+d}\qquad(9)\ \dfrac{a\sin{x}+b}{c\sin{x}+d}\) \(\quad\ (10)\ \dfrac{\sin{x}}{x}\qquad(11)\ \dfrac{1}{\sin{x}\cos{x}}\qquad(12)\ \tan{x}+\dfrac{1}{3}\tan^3x\) <풀이> \((1)\ \{x^n(x^n+1)\}'=nx^{n-1}(x^n+1)+x^nnx^{n-1}=nx^{n-1}(2x^n+1)\) \(\begin{align}(2)\ \{(x+a)(x+b)(x+c)\}'&=(x+b)(x+c)+(x+a)(x+c)+(x+a)(x+b)\\&=3x^2+2(a+b+c)x+ab+bc+ca\end{align}\) \((3)\ \{(x^n+1)^3\}'=3(x^n+1)^2nx^{n-1}=3nx^{n-1}(x^n+1)^2\) \((4)\ (x^n\sin{x})'=nx^{n-1}\sin{x}+x^n\cos{x}=x^{n-1}(n\sin{x}+x\cos{x})\) \((5)\ (\sin{x}\cos{x})'=\left(\dfrac{\sin2x}{2}\right)'=\cos2x\) \((6)\ (\sin^3x)'=2\sin^2x\cos{x}\) \((7)\ \left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)'=\dfrac{a(cx+d)-(ax+b)c}{(cx+d)^2}=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}\) \((8)\ \left(\dfrac{ax^2+b}{cx^2+d}\r...

 for use in sth : ~에 사용될 수 있는

전미분 (material derivative)의 대류항, \({\bf v}\cdot\nabla{\bf v}\)은 나이버-스톡스 방정식 (Navier-Stokes equation)에 대입할 수 있는 벡터 항등식을 가지고 있다. 이 벡터 항등식은 아래와 같다. \[{\bf v}\cdot\nabla{\bf v}={1\over2}\nabla{\bf v}^2-{\bf v}\times(\nabla\times{\bf v})\] <증명> 위의 항등식 우변의 각 항을 전개한 후 대류항의 각 성분과 같음을 보인다. \({1\over2}\nabla{\bf v}^2={1\over2}\left(\frac{\partial}{\partial x}{\bf i}+\frac{\partial}{\partial y}{\bf j}+\frac{\partial}{\partial z}{\bf k}\right)(v_x^2+v_y^2+v_z^2)=v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}{\bf i}+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}{\bf j}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}{\bf k}\) \(\nabla\times{\bf v}=\left|\begin{matrix}\bf i&\bf j&\bf k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\v_x&v_y&v_z\end{matrix}\right|=\left(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\right){\bf i}+\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\right){\bf j}+\left(\frac{\partial v...

 take on sth : undertake a task or responsibility, esp. a difficult one.

아래와 같이 복소평면에서 단위원의 방정식 \(z=\cos{x}+i\sin{x}\)를 생각한다. 이 때 실수 \(x\)에 대하여 다음과 같이 허수지수 \(ix\)를 정의하고 \(z\)를 나타낼 수 있다. 이 식을 오일러 공식이라 한다. \[e^{ix}=\cos{x}+\sin{x}\] 여기서 \(e\)는 자연대수의 밑인 오일러의 수이고 \(i\)는 허수단위 \((i^2=-1)\) 이다. <증명> 오일러 공식 좌변을 테일러 급수 전개하면 \(\begin{split}e^{ix}&=1+ix+{(ix)^2\over2!}+{(ix)^3\over3!}+{(ix)^4\over4!}+{(ix)^5\over5!}+\cdots\\&=1+ix-{x^2\over2!}-{ix^3\over3!}+{x^4\over4!}+{ix^5\over5!}+\cdots\\&=\left(1-{x^2\over2!}+{x^4\over4!}-\cdots\right)+i\left(x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-\cdots\right)=\cos{x}+i\sin{x}\end{split}\) 가 되므로 증명되었다. [예제]  오일러 공식을 이용하여 \(\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\)를 증명하여라. <풀이>  \(e^{i(a+b)}-e^{-i(a+b)}=2i\sin(a+b)\) 이므로 \(\begin{split}&\sin(a+b)=-{i\over2}(e^{ia}e^{ib}-e^{-ia}e^{-ib})\\&=-{i\over2}[\{\cos(a)+i\sin(a)\}\{\cos(b)+i\sin(b)\}-\{\cos(a)-i\sin(a)\}\{\cos(b)-i\sin(b)\}]\\&=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\end{split}\)

재료역학 (mechanics of materials)은 다양한 유형의 하중을 받는 고체의 거동을 다루는 응용역학(applied mechanics)의 한 분야이다. 이 분야는 "재료 강도(strength of materials)"와 "변형체 역학(mechanics of deformable bodies)"을 포함하여 여러 이름으로 알려져 있다. 이 고체들(solid bodies)에는 축방향 하중 부재 , 축의 비틀림 , 박판, 보 및 기둥 뿐만 아니라 이러한 구성요소의 조립체가 포함된다. 일반적으로 분석의 목적은 하중에 의해 생성된 응력 (stresses), 변형률 (strains) 및 처짐을 결정하는 것이다. 이 양들을 파손 하중까지 모든 하중값에 대해 찾을 수 있다면 물체의 기계적 거동에 대해 완전히 파악하게 된다. 건물과 교량, 기계와 모터, 잠수함과 선박, 비행기와 안테나 등 모든 구조물의 안전한 설계를 위해서는 기계적 거동에 대한 철저한 이해가 필수적이다. 물론 정역학(statics)과 동역학(dynamics)도 필수적이지만 주로 입자 및 강체와 관련된 힘과 운동을 다룬다. 재료역학에서는 하중을 받아 변형되는 실제 물체 내부에서 발생하는 응력과 변형률을 조사함으로써 한 단계 더 나아가게 된다. 우리는 수많은 이론적 법칙과 개념뿐만 아니라 재료의 (실험에서 얻은) 물리적 특성들도 사용한다. 이론적 분석과 실험적 결과는 재료역학 연구에서 똑같이 중요한 역할을 한다. 많은 경우 기계적 거동을 예측하기 위한 공식과 방정식을 얻기 위해 논리적인 유도를 하지만, 재료의 특정한 물성을 알지 못하는 한 실제로 사용할 수 없다는 점을 알아야 한다. 이러한 특성은 실험실에서 적절한 시험을 수행한 후에만 유용한 것이다. 또한 공학 에서 매우 중요한 많은 실제 문제는 이론적 방법으로는 효율적으로 다룰 수 없기 때문에 실험적 측정이 필요하다. 재료역학의 역사적 발전은 이론과 실험의 흥미로운 조합이다; 어떤 경우에는 실험이 유용한 결과...

다음 공식은 자주 이용되는 것이다. \[\int f(ax+b)dx={1\over a}{\rm F}(ax+b)\qquad(a\ne0)\] 여기서 \(\int f(x)dx={\rm F}(x)\) 이다. <증명>  먼저 \(\int f(x)dx={\rm F}(x)\) 이므로 \({\rm F'}(x)=f(x)\) 이다. 그러므로 다음과 같이 미분계산 을 할 수 있다. \[\left({1\over a}{\rm F}(ax+b)\right)={\rm F'}(ax+b)=f(ax+b)\] 따라서 위의 공식이 증명되었다. 위의 공식을 이용해서, 부정적분의 기본공식 을 생각하면, 다음 공식을 얻는다. 단, \(a\ne0\)이라 한다. \[\begin{align}&\int(ax+b)^\alpha dx={1\over a(\alpha+1)}(ax+b)^{\alpha+1}\qquad(\alpha\ne-1)\\&\int\frac{dx}{ax+b}=\frac{\ln|ax+b|}{a}\\&\int e^{ax}dx=\frac{e^{ax}}{a}\\&\int\cos(ax+b)dx=\ \ \,\frac{\sin(ax+b)}{a}\\&\int\sin(ax+b)dx=-\frac{\cos(ax+b)}{a}\end{align}\] [예제 1] 다음 함수 를 적분 하여라. \((1)\ (2x+1)^3\qquad\quad\ (2)\ \dfrac{1}{(2x+1)^3}\qquad(3)\ \dfrac{1}{2x+1}\) \((4)\ \sqrt{\dfrac{x}{2}+3}\qquad\quad\ \,(5)\ \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\qquad\ \ \ (6)\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{1-3x}}\) \((7)\ \cos(2x+3)\qquad(8)\ \cos^2x\qquad\quad\ \ \ (9)\ (e^{2x}+e^{-2x})^2\) <풀이> \((1)\ \displaystyle\int(2x+3)^3dx={...

쌍곡선 함수는 \[\sinh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\,\cosh{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\,\tanh{x}=\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}\] 에 의해서 정의된 함수 이고 차례대로 hyperbolic sine, cosine, tangent 라 읽는다. 이 함수에 대하여 다음 항등식이 성립한다. \[\begin{align}&(1)\ \cosh^2x-\sinh^2x=1\\&(2)\ \sinh(x+y)=\sinh{x}\cosh{y}+\cosh{x}\sinh{x}\\&(3)\ \cosh(x+y)=\cosh{x}\cosh{y}+\sinh{x}\sinh{y}\\&(4)\ \tanh(x+y)=\frac{\tanh{x}+\tanh{y}}{1+\tanh{x}\tanh{y}}\\&(5)\ \sinh3x=4\sinh^3x+3\sinh{x}\\&(6)\ \cosh3x=4\cosh^3x-3\cosh{x}\end{align}\] <증명> \(\displaystyle(1)\ \cosh^2x-\sinh^2x=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2\) \(\displaystyle=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=1\) \(\displaystyle(2)\ \sinh{x}\cosh{y}+\cosh{x}\sinh{y}=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{e^y+e^{-y}}{2}\right)+\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{e^y-e^{-y}}{2}\right)\) \(\displaystyle=\frac{e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}+\frac{e^{x+y}-e^{x-y}+e^{-x+y}-e^{-x-y...

무차원 변수의 정의 후 지배 방정식에 대입하는 과정으로 유체 유동을 나타내는  무차원 수 를 유도한다. 먼저 비압축성 유체의 나비어-스톡스 방정식 은 \[\rho\left(\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+{\bf v}\cdot\nabla{\bf v}\right)=-\nabla{p}+\mu\nabla^2{\bf v}+\rho{\bf f}\] 정상상태를 가정하고 체적력을 무시하면 다음과 같이 간략화된다. \[\rho v\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\frac{\partial^2v}{\partial x^2}\] 다음과 같은 무차원 변수를 정의한다. \[\rho^*=\rho/{\rm R}\qquad v^*=v/{\rm V}\qquad x^*=x/{\rm L}\qquad p^*=p/{\rm P}\qquad\mu^*=\mu/{\rm M}\] 위의 방정식에 대입하면 \[\rho^*{\rm R}v^*{\rm V}\frac{\partial(v^*{\rm V})}{\partial(x^*{\rm L})}=-\frac{\partial(p^*{\rm P})}{\partial(x^*{\rm L})}+\mu^*{\rm M}\frac{\partial^2(v^*{\rm V})}{\partial(x^*{\rm L})^2}\] 정리하면 \[\left(\frac{\rm RV^2}{\rm L}\right)\rho^*v^*\frac{\partial v^*}{\partial x^*}=-\left(\frac{\rm P}{\rm L}\right)\frac{\partial p^*}{\partial x^*}+\left(\frac{\rm MV}{\rm L^2}\right)\mu^*\frac{\partial^2v^*}{\partial x^{*2}}\] 양변을 \(\rm RV^2/L\)로 나누면 \[\rho^*v^*\frac{\partial v^*}{\partial x^*}=-\lef...

방정식 \[x^2y-x+y=0\qquad(1)\] 이 주어졌다고 하면 \(y\)는 \(x\)의 함수 라고 생각한다. 이 식을 \(y\)에 대해 풀면 \[y=f(x)=\frac{x}{x^2+1}\qquad(2)\] 가 되고, \(y=f(x)\)는 미분가능 이다. 그리고 (1)의 방정식의 항 \(x^2y,\,x,\,y\)는 모두 미분가능하므로 양변을 \(x\)로 미분하면 \[\begin{split}&2xy+x^2y'-1+y'=0\\&y'(x^2+1)=1-2xy\\&y'=\frac{1-2xy}{x^2+1}\end{split}\] 가 된다. 이와 같이 계산하면 (2)식과 같이 고쳐서 \(y'\)을 계산하는 것보다 용이하다. 또한 (1)은 (2)식과 같이 변형하기가 간단하나, 일반적인 음함수 \[F(x,\,y)=0\qquad(3)\] 이 주어질 때 간단히 \(y=f(x)\) 형으로 반드시 구해진다고 할 수 없다. 그러나, (3)이 함수 \(y=f(x)\)를 \(x\)의 적당한 구간 내에서 정의하여, \(f\)가 미분가능하다고 하면 (3)을 직접 \(x\)로 미분하여 \(y'\)을 구할 수 있다. [예제] \(x^2-6x+y^2-2y=15\) 일 때 점 (-1, 4) 및 (6, 5)에서의 \(dy/dx\)를 계산하여라. <풀이> 양변을 \(x\)로 미분하면 \[\begin{align}&2x-6+2yy'-2y'=0\\&y'=\frac{3-x}{y-1}\end{align}\] 따라서, \(x=-1,\,y=4\) 이면 \(y'=4/3\). \(x=6,\,y=5\) 이면 \(y'=-3/4\).

2개의 확률변수의 상관정도를 나타내는 값으로 확률변수 \(X\)와 \(Y\)의 기대값(평균)이 각각 \(\mu,\,\nu\)라고 하면 \[E(X)={1\over n}\sum_{i=1}^nx_i=\mu,\,E(Y)={1\over n}\sum_{i=1}^ny_i=\nu\] 공분산(covariance)는 다음과 같다. \[{\rm Cov}(X,\,Y)=E\{(X-\mu)(Y-\nu)\}={1\over n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)(y_i-\nu)\] 즉, 각 확률변수 \(X,\,Y\) 편차의 곱의 평균을 의미한다. 확률변수 \(X,\,Y\)가 각각 \(m,\,n\)차의 열벡터를 가질 때는 \(m\times n\) 공분산 행렬로 나타낼 수 있다. \[X=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_m\end{pmatrix},\,Y=\begin{pmatrix}y_1&y_2&\cdots&y_n\end{pmatrix}\] \[{\rm Cov}(X,\,Y)=E\{(X-\mu)(Y-\nu)^T\}=\{{\rm Cov}(X,\,Y)\}^T\] [예제] 위의 확률변수 \(X\)와 \(Y\)의 공분산 \({\rm Cov}(X,\,Y)\)는 다음과 같이 나타낼 수 있음을 증명하여라. \[{\rm Cov}(X,\,Y)=E(X,\,Y)-\mu\nu\] <증명> 기대값의 선형성과 평균의 정의\((\mu=E(X),\,\nu=E(Y))\)를 이용한다. \[\begin{split}{\rm Cov}(X,\,Y)&=E\{(X-\mu)(Y-\nu)\}=E(XY-X\nu-Y\mu+\mu\nu)\\&=E(XY)-E(X\nu)-E(Y\mu)+E(\mu\nu)=E(XY)-\nu E(X)-\mu E(Y)+\mu\nu\\&=E(XY)-\nu\mu-\mu\nu+\mu\nu=E(XY)-\mu\nu\end{split}\]

이공학의 많은 분야에서 나타는 쌍곡선 함수와 그 적분 에 대해서 알아 보자. 먼저 쌍곡선 함수를 정의한다. \[\sinh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\qquad\cosh{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\] 라 주고, 이들을 각각 쌍곡선 사인과 쌍곡선 코사인이라 한다. 위의 정의로부터 다음 항등식이 성립함을 알 수 있다. \[\cosh^2x-\sinh^x=1\] 또한 \[\begin{split}\tanh2x=\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}},\qquad\coth{x}=\frac{\cosh{x}}{\sinh{x}}\\{\rm sech}\,{x}=\frac{1}{\cosh{x}},\qquad{\rm csch}\,{x}=\frac{1}{\sinh{x}}\end{split}\] 로 정의하고 함수 \(\sinh{x},\,\cosh{x},\,\tanh{x},\,\coth{x},\,{\rm sech}\,x\) 및 \({\rm csch}\,x\)를 총칭해서 쌍곡선 함수라 한다. 쌍곡선 함수는 삼각함수 와 비슷한 성질을 가지고 있으나, 그의 기하학적 의미를 생각하는 것보다, 형식적으로 위의 정의식에 의해서 도입된 함수라고 알고 있는 것이 좋다. 맨 앞의 두 식을 미분 하면 바로 \[(\sinh{x})'=\cosh{x}\qquad(\cosh{x})'=\sinh{x}\] 가 성립함을 알 수 있다. 따라서 다음 공식 \[\int\sinh{x}dx=\cosh{x},\qquad\int\cosh{x}dx=\sinh{x}\] 을 얻는다. 또한 두번째 정의식의 처음 두 식을 미분하면 \[(\tanh{x})'={\rm sech}^2x,\qquad(\coth{x})'=-{\rm csch}^2x\] 을 얻는다. 따라서 다음 공식을 얻는다. \[\int{\rm sech}^2xdx=\tanh{x}\qquad\int{\rm csch}^2x-=-\coth{x}\]  

2개의 변수 \(x,\,y\)가 동시에 다른 한 개의 변수 \(t\)의 함수 가 되어 \[x=f(t),\,y=g(t)\] 로 표현되는 경우, 일반적으로 \(y\)는 \(t\)를 매개로 하는 \(x\)의 함수라고 생각할 수 있다. \(x=f(t),\,y=g(t)\)가 미분가능 하며 \(x=f(t)\)의 역함수 \(t=h(x)\)가 존재하고 미분가능하면 \[y=g(t)=g(h(t))=(g\circ h)(x)\] 또한 \(f'(t)=\frac{dx}{dy}\ne0\) 이면 \(h'(x)=\frac{1}{dx\over dt}\) 이므로  합성함수의 미분법 에 의해 \[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}\] [예제 1] \(x=r\cos\alpha t,\,y=r\sin\alpha t(\alpha\ne0)\) 일 때 \(dy/dx\)를 구하여라. (단, \(r,\,\alpha\)는 정수이다.) <풀이> \(\frac{dx}{dt}=-\alpha\sin\alpha t,\,\frac{dy}{dt}=\alpha r\cos\alpha t\) \(\frac{dx}{dt}\ne0\)이기 위해서는 \(t\ne\frac{n\pi}{\alpha}\)이면 된다. 따라서 \(t=\frac{n\pi}{\alpha}\) 이면 \(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\alpha r\cos\alpha t}{-\alpha r\sin\alpha t}=-\cot\alpha t.\)

미분한다 는 것은 부정적분 을 구하는 연산의 역연산이다. 그러므로 기본적인 도함수를 구하는 공식을 바탕으로 하여, 함수 의 부정적분을 구하는 공식을 유도할 수 있다. \[\begin{matrix}({\rm a})\int dx=x\qquad\ \,(x\ne0)&({\rm b})\int x^adx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}\ (\alpha\ne-1)\\({\rm c})\int{1\over x}dx=\ln|x|\ (x\ne0)&({\rm d})\int e^xdx=e^x\qquad\qquad\qquad\quad\,\\({\rm e})\int\cos{x}dx=\sin{x}\qquad\ &({\rm f})\int\sin{x}dx=-\cos{x}\qquad\qquad\\({\rm g})\int\sec^2xdx=\tan{x}\quad\ \ \,&({\rm h})\int\csc^2xdx=-\cot{x}\qquad\quad\ \,\\({\rm i})\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx={\rm Sin}^{-1}x\quad&({\rm j})\int\frac{1}{1+x^2}dx={\rm Tan}^{-1}x\qquad\quad\ \ \end{matrix}\] 여기서 \(\alpha\)는 임의의 실수이고, 역삼각함수 \({\rm Sin}^{-1}x\)와 \({\rm Tan}^{-1}x\)는 각각의 주치를 나타낸다. [주의 1] 공식 \((\rm c)\)를 유도함에 있어서는 다음과 같이 한다. \(x>0\) 일 때 \[(\ln|x|)'=(\ln{x})'={1\over x}\] \(x<0\) 일 때 \[(\ln|x|)'=(\ln(-x))'={-1\over-x}={1\over x}\] 이므로 공식 \((\rm c)\)는 \(x\ne0\) 일 때 항상 성립한다. [주의 2] 공식 \((\rm i)\)와 \((\rm j)\)에 나타난 역삼각함수 \({\rm Si...

\(a>0,\,a\ne1,\,x>0,\,x+h>0\) 이라 하면, \[\begin{align}\frac{d}{dx}\log_ax&=\lim_{h\to0}\frac{\log_a(x+h)-\log_ax}{h}=\lim_{h\to0}{1\over h}\log_a\left(1+{1\over x}\right)\\&={1\over x}\lim_{h\to0}\log_a\left(1+{h\over x}\right)^{x\over h}={1\over x}\lim_{t\to\pm\infty}\log_a\left(1+{1\over t}\right)^t\\&={1\over x}\log_ae\end{align}\] (← 실수의 지수 예제4 참조) 특히 \(a=e\) 인 경우는 \(\ln{e}=1\)이 된다. 이상을 종합하면 \[\frac{d}{dx}\log_ax={1\over x}\log_ae,\qquad\frac{d}{dx}\ln{x}={1\over x}\] 지수함수 는 대수함수의 역함수 이므로 \[y=a^x\ \text{이면}\ x=\log_ay.\] 따라서 \[\frac{d}{dx}a^x=\frac{1}{\frac{d}{dy}\log_ay}=\frac{y}{\log_ae}=a^x\ln{a}\] 특히 \(a=e\) 이면 \(\ln{a}=1\) 이다. 따라서, \[\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln{a},\qquad\frac{d}{dx}e^x=e^x.\] [예제 1]   멱함수 \(f(x)=x^\mu(x>0,\,\mu\text{는 임의의 실수})\)를 미분 하라. <풀이>  \(x^\mu=e^{\mu\ln{x}}\)로 쓸 수 있으므로 \[\frac{d}{dx}x^\mu=\frac{d}{dx}e^{\mu\ln{x}}=e^{\mu\ln{x}}\cdot\frac{\mu}{x}=x^\mu\cdot\frac{\mu}{x}=\mu x^{\mu-1}.\] [예제 2]  \(f(x)\)가 미분가능하면 ...