정적분과 부정적분

정리 1 함수 \(f(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속일 때, \(f(x)\)의 부정적분 중 하나를 \({\rm F}(x)\)라 하면 \[\int_a^bf(x)dx={\rm F}(b)-{\rm F}(a)\]

<증명> 정적분 정리 6에 의하면 \([a,\,b]\)에 속하는 임의의 \(x\)에 대하여 \(\int_a^xf(x)dx\)는 \(f(x)\)의 부정적분이다. \(f(x)\)의 두 부정적분의 차는 \(\rm C\) 이므로

\[\int_a^xf(x)dx={\rm F}(x)+{\rm C}\]

여기서 \(x=a\)라 두면 \(\int_a^af(x)dx=0\) 이므로 위의 식에 의해서

\[\begin{gather}\int_a^af(x)dx={\rm F}(a)+{\rm C}=0\\\therefore\ {\rm C}={\rm F}(a)\end{gather}\]

이것을 대입하면

\[\int_a^xf(x)dx={\rm F}(x)-{\rm F}(a)\]

\(x=b\)를 대입하면

\[\int_a^bf(x)dx={\rm F}(b)-{\rm F}(a)\]

그런데 하나의 함수 \({\rm F}(x)\)에 있어서, 차 \({\rm F}(b)-{\rm F}(a)\)를 다음 기호

\[\left[{\rm F}(x)\right]_a^b={\rm F}(b)-{\rm F}(a)\]

로 나타내기로 한다. 이 기호를 사용하면 위의 정리 1의 결론은

\[\int_a^bf(x)dx=\left[{\rm F}(x)\right]_a^b\qquad{\rm F}(x)=\int f(x)dx\]

정리 1에 나타난 정적분의 계산법에 따라서 다음 정적분을 계산해 보자.

\[\int_0^1\sqrt{x}dx=\left[{2\over3}x\sqrt{x}\right]_0^1={2\over3}\]

[예제 1] 다음 정적분을 구하여라.

(1) \(\displaystyle\int_0^1x^2dx=\left[{x^3\over3}\right]_0^1={1\over3}\)

(2) \(\displaystyle\int_0^{\pi\over2}\cos{x}dx=\left[\sin{x}\right]_0^{\pi\over2}=1\)

(3) \(\displaystyle\int_0^1(x+1)^{10}dx=\left[{(x+1)^{11}\over11}\right]_0^1={2047\over11}\)

(4) \(\displaystyle\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\left[{\rm Sin}^{-1}\frac{x}{a}\right]_0^a={\pi\over2}\)

(5) \(\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^2-x+1}=\int_0^1\frac{dx}{\left(x-{1\over2}\right)^2+\left({\sqrt{3}\over2}\right)^2}={2\over\sqrt{3}}\left[{\rm Tan}^{-1}\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right]_0^1={2\pi\over3\sqrt{3}}\)

(6) \(\displaystyle\int_{\pi\over2}^\pi\cos^2xdx={1\over2}\int_{\pi\over2}^\pi(1+\cos2x)dx={1\over2}\left[x+\frac{\sin2x}{2}\right]_{\pi\over2}^\pi={\pi\over4}\)

(7) \(\displaystyle\int_0^{2\pi}|\sin{x}|dx=\int_0^\pi\sin{x}dx-\int_\pi^{2\pi}\sin{x}dx=[-\cos{x}]_0^\pi+[\cos{x}]_\pi^{2\pi}=4\)

(8) \(\displaystyle\int_0^1(e^x+1)^2dx=\int_0^1(e^{2x}+2e^x+1)dx=\left[{e^{2x}\over2}+2e^x+x\right]_0^1={e^2\over2}+2e-{3\over2}\)

(9) \(\displaystyle\int_1^2\ln{x}dx=[x\ln{x}]_1^2-\int_1^2dx=2\ln2-[x]_1^2=2\ln2-1\)

[예제 2] 다음 공식을 증명하여라. 단, \(m,\,n\)은 양의 정수이다.

(1) \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin{mx}\sin{nx}dx=\begin{cases}\pi\quad(m-n)\\0\quad(m\ne n)\end{cases}\)

--- under construction ---