음함수

\({\rm F}(x,\,y)=ax+by+c=0\) 라고 하는 관계식에서

\[\begin{align}&b\ne0\ \text{이면}\ y=-\frac{ax+c}{b},\,\frac{dy}{dx}=-{a\over b}\\&a\ne0\ \text{이면}\ x=-\frac{by+c}{a},\,\frac{dx}{dy}=-{b\over a}\end{align}\]

와 같이, 각각의 조건하에서 \(y\)를 \(x\)의 함수로 표현하든지, \(x\)를 \(y\)의 함수로 표현할 수 있다. 이 경우 필요한 조건은

\[b={\rm F}_y\ne0\ \text{또는}\ a={\rm F}_x\ne0\]

이다. 또한

\[\begin{align}&{\rm F}_y\ne0\ \text{이면}\ \frac{dy}{dx}=-\frac{{\rm F}_x}{{\rm F}_y}\\&{\rm F}_x\ne0\ \text{이면}\ \frac{dx}{dy}=-\frac{{\rm F}_y}{{\rm F}_x}\end{align}\]

이다. 일반적으로 2변수함수 \({\rm F}(x,\,y)\)가 있고, 방정식 \({\rm F}(x,\,y)=0\)이 주어지면, 위와 같은 사실을 알 수 있다.

정리 1   2변수함수 \({\rm F}(x,\,y)\)에 대하여 (1) 점 \((a,\,b)\)에서 \({\rm F}(a,\,b)=0,\,{\rm F}_y(a,\,b)\ne0\) (2) 점 \((a,\,b)\)의 근방에서 \({\rm F}_x,\,{\rm F}_y\)가 연속이라고 하면, 다음 성질을 만족하는 함수 \(y=f(x)\)가 \(x=a\)의 근방에서 존재한다. \[f(a)=b,\,{\rm F}(x,\,f(x))=0\]그리고 \[dy/dx=-{\rm F}_x/{\rm F}_y\]이다.

또한 \({\rm F}(x,\,y)\)의 2차편도함수 \({\rm F}_{xx},\,{\rm F}_{xy},\,{\rm F}_{yy}\)가 존재하고 연속이면, \({\rm F}_y\ne0\) 일 때는, \(y=f(x)\)로서, \(y'=-{\rm F}_x/{\rm F}_y\)를 구하고 이것을 다시 미분하면

\[y''=-\frac{({\rm F}_{xx}+{\rm F}_{xy}y'){\rm F}_y-{\rm F}_x({\rm F}_{yx}+{\rm F}_{yy}y')}{{\rm F}_y^2}=-\frac{{\rm F}_{xx}{\rm F}_y^2-2{\rm F}_{xy}{\rm F}_x{\rm F}_y+{\rm F}_{yy}{\rm F}_x^2}{{\rm F}_y^3}\]

가 얻어진다. 또한 \({\rm F}(x,\,y)\)가 고차편도함수를 가지면, 차례로 \(y=f(x)\)의 고차도함수를 구할 수 있다.

[예제 1] \({\rm F}(x,\,y)=x^3-3axy+y^3=0\) 일 때, \(dy/dx,\,d^2y/dx^2\)을 구하여라.

<풀이> \({\rm F}_x+{\rm F}_yy'=0\) 이므로 \(3x^2-3ay+(-3ax+3y^2)y'=0\).

즉, \(x^2-ay-(ax-y^2)y'=0\) (*)

따라서

\[ax-y^2\ne0\ \text{이면}\ y'=\frac{x^2-ay}{ax-y^2}\]

(*)를 한 번 더 \(x\)로 미분하면

\[\begin{gather}2x-ay'-(a-2yy')y'-(ax-y^2)y''=0,\\y''=\frac{2\{x-ay'+y(y')^2\}}{ax-y^2}=\frac{2a^3xy}{(ax-y^2)^3}\end{gather}\]

《문    제》

1. 다음 각 방정식으로 정의되는 \(x\)의 음함수 \(y\)의 극치를 구하여라.

(1) \(xy(y-x)=2a^3\ (a>0)\)

(2) \(x^3-3axy+y^3=0\)

(3) \(x^4+2x^2+y^3-y=0\)

<풀이>

(1) \({\rm F}(x,\,y)=xy(y-x)-2a^3=0\)으로 두면 \({\rm F}_x+{\rm F}_yy'=0\) 이므로 \(y(y-x)-xy+\{x(y-x)+xy\}y'=0\)

\[y'=\frac{y(2x-y)}{x(2y-x)}\]

\(y'=0\) 이기 위해서는 \(y=2x\) 이므로 \(x=a,\,y=2a\) 이다. 또한

\[y''=\frac{2y'(2x-2y-xy')+2y}{x(2y-x)}\]

에서 \(y''(a)=4/(3a)>0\) 이므로 \(x=a\) 일 때 극소치 \(y=2a\) 이다.

(2) \({\rm F}(x,\,y)=x^3-3axy+y^3=0\) 으로 두면 \({\rm F}_x=3x^2-3ay,\,{\rm F}_y=-3ax+3y^2\) 이므로

\[y'=-\frac{{\rm F}_x}{{\rm F}_y}=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}\]

따라서 \(x^2=ay\) 일 때 \(y'=0\) 이고, 이 때 \(x=2^{1/3}a,\,y=4^{1/3}a\) 이다. 또한,

\[y''=\frac{2\{y'(a-yy')-x\}}{x(2y-x)}\]

에서 \(y''(2^{1/3}a)=-2^{2/3}/\{a(2^{2/3}-1)\}<0\) 이므로 \(x=2^{1/3}a\) 일 때 극대치 \(y=4^{1/3}a\) 이다.

(3) \({\rm F}(x,\,y)=x^4+2x^2+y^3-y=0\)으로 두면 \(4x^3+4x+3y^2y'-y'=0\) 이므로

\[y'=\frac{4x(x^2+1)}{1-3y^2}\]

\(x=y=0\) 일 때 \(y'=0\) 이고

\[y''=\frac{12x^2+4+6y(y')^2}{1-3y^2}\]

에서 \(y''(0)=4>0\) 이므로 \(x=0\) 일 때 극소치 \(y=0\) 이다.

2. \(y=1+xe^y\) 일 때, \(dy/dx,\,d^2y/dx^2\)을 구하여라.

<풀이> 양변에 대수를 취하면 \(\ln(y-1)=\ln{x}+y\) 이다. 양변을 \(x\)에 관하여 미분하면

\[y'=\frac{y-1}{x(2-y)}\]

한 번 더 \(x\)로 미분하면

\[y''=\frac{(y-1)^2(3-y)}{x^2(2-y)^3}\]