기계공학 (Mechanical Engineering)

\(x\)와 \(y\)가 각각 \(u,\,v\)의 함수 \(x=g(u,\,v),\,y=h(u,\,v)\) 일 때 야코비언 행열식 (Jacobian) Determinant) \(J\)는 다음과 같다. \[J=\left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}\right|\] 독일 수학자 Carl Gustav Jacob의 이름을 딴 야코비언 행열식(혹은 야코비언)은 다중 치환적분 시에 사용된다. 이해를 쉽게하기 위해 단일변수의 미적분을 생각해 보자. 어떤 함수 \(f(x)\)의 적분 이 있고 \(x=g(u)\)로 치환할 경우 다음 식을 얻는다: \[\frac{\partial x}{\partial u}=g'(u)\] 이 식은 정리하면 \(dx=g'(u)du\) 이다. 이 식을 원 적분식에 대입하면: \[\int f(x)dx=\int f(g(u))g'(u)du\] 치환을 위해 곱해진 \(g'(u)\) 항은 본질적으로 다변수 미적분의 야코비언이다. 실제로 이중적분 의 치환도 이것과 비슷한 형태로 표현된다: \[\iint_Rf(x,\,y)dxdy=\iint_Sf(g(u,\,v),\,h(u,\,v))dudv\] 여기서 \(J(u,\,v)\)는 야코비언으로 알려진 그것이다. 야코비언 유도 (Jacobian Derivation) \(uv\) 좌표계의 미소면적 \(dudv\)가 좌표변환 을 통해 어떻게 \(xy\) 좌표계의 \(dxdy\)로 변환되는지 알아 본다. 아래 그림 왼쪽과 같이 각 변의 길이가 \(du\)와 \(dv\)로 이루어진 미소 사각형을 생각한다. 이 사각형은 두 개의 벡터항  \((du,\,0)\)와 \((0,\,dv)\)로 나타낼 수 있고 좌표변환을 통해 어떻게 이 벡터들이 \(xy\)...

 jerk n. 갑작스런 움직임

such that : to the extent that

conform to sth : ~을 따르다. comply with : ~을 준수하다.

그림 1 함수 \({\rm F}(x,\,y)\)가 그림 1과 같은 직사각형의 영역 \(\rm D\), 즉 \[{\rm D}:a\le{x}\le b,\qquad c\le{y}\le d\] 가 주어져 있을 때, \(\rm D\)를 직선 \(y=k\)(상수)로 절단하여 절단된 선분을 \(\rm PQ\)라 하자. 이 선분 \(\rm PQ\) 위에서는 \(y\)가 상수이므로 \({\rm F}(x,\,y)\)는 \(x\)만의 함수가 된다. 여기서 \(y\)를 고정하여 \({\rm F}(x,\,y)\)를 \(a\)에서 \(b\)까지 적분 한 결과를 \[{\rm A}(y)=\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\] 로 표시하고, 이것을 선분 \(\rm PQ\)를 따른 \({\rm F}(x,\,y)\)의 적분 이라 한다. 이 적분 \({\rm A}(y)\)의 값은 \(y\)의 값에 의하여 결정되므로 \({\rm A}(y)\)는 \(y\)의 함수 이다. 여기서, 이 함수 \({\rm A}(y)\)를 \(y\)에 관하여 \(c\)부터 \(d\)까지 적분하면 \[\int_c^d{\rm A}(y)dy=\int_c^d\left\{\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\right\}\cdots(1)\] 가 얻어진다. 이것을 영역 \(\rm D\)에서 \({\rm F}(x,\,y)\)의 반복적분(反復積分 ; iterated integral) 이라 한다. 그림 2 영역 \(\rm D\)에서 \({\rm F}(x,\,y)\ge0\) 이라 하자. \(\rm D\)를 밑면으로 하는 기둥과 곡면 \(z={\rm F}(x,\,y)\)의 사이에 있는 입체와 직선 \(\rm PQ\)를 포함하며 \(xy\) 평면 에 수직인 평면과 교차하는 면적 을 \({\rm A}(y)\)로 두면 \({\rm A}(y)=\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\)이다. 따라서 반복적분 \(\int_c^d{\rm A}(y)dy=\int_c^d\{\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\}dy\)...

정의 1 공간내의 한 점 \(\rm O\)로부터 일차독립 인 3개의 벡터 \[e_1=\overrightarrow{\rm OE_1},\,e_2=\overrightarrow{\rm OE_2},\,e_3=\overrightarrow{\rm OE_3}\] 을 만들면, 임의의 벡터 \(\bf x\)는 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)의 일차결합으로서 \[{\bf x}=xe_1+ye_2+ze_3\ (x,\,y,\,z\text{는 실수})\] 의 형으로 일의성으로 표현된다. 이 때 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)을 공간의 기저(基底)벡터 또는 기저 라 부르고, \(\{e_1,\,e_2,\,e_3\}\)로 표현한다. \(x,\,y,\,z\)는 기저 \(\{e_1,\,e_2,\,e_3\}\)에 관한 벡터 \(\bf x\)의 성분(成分)이라 하고, \[{\bf x}=[x,\,y,\,z]\ \text{또는}\ {\bf x}=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\] 로 나타낸다. 특히 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)가 서로 직교하는 단위벡터일 때, 이것을 보통 \({\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\)로 쓰기로 하고, \(\{{\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\}\)를 정규직교기저(正規直 交基底)라 한다. [ 주의 ] 기저는 항상 일차독립인 벡터의 짝으로 되어 있다. 평면의 경우는, 위 정의의 특별한 경우로서 정의된다. 단, 평면에 있어서 기저의 부호를 생각하여 다음과 같이 생각한다. 직교기저 \({\bf i},\,{\bf j}\)의 시점을 동일한 점 \(\rm O\)라 할 때, \(\bf i\)로부터 \(\bf j\)를 향하여 잰 각이 \(\pi/2\) 일 때, 이것을 정(正) 의 직교기저 라 하고, \(-\pi/2\) 일 때 부(負)의 직교기저 라 한다. 일반적으로, 일차독립이지만, 직교하지 않는 2개의 벡터에 대해서도, 같은 모양으로 기저의 부호를 구별할 수 있다. 공간의 경우에는 \({\bf i},\,...

2변수 \((x,\,y)\) 함수  \({\rm F}(x,\,y)={\rm F(P)}\)에서 \(\rm P\)는 좌표 \((x,\,y)\)를 갖는 \(xy\) 평면 위에 영역 \(\rm D\)가 있다 하자. \(\rm D\)를 여러 곡선으로 분할하여, 분할 \(\Delta\)에서 얻어지는 각 소영역에 번호를 붙여 \[{\rm D}_1,\,{\rm D}_2,\,\cdots,\,{\rm D}_i,\,\cdots,\,{\rm D}_n\] 이라 하자. 그림 1 각각의 소영역 \({\rm D}_i\) 내에서 임의의 점 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2),\,\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n)\)을 잡아 다음의 합 \[\begin{align}{\rm S}_n&=\sum_{i=1}^n{\rm F(P}_i)\Delta{\rm S}_i\\&={\rm F(P_1)\Delta S_1+F(P_2)\Delta S_2+\cdots+F(P}_n)\Delta{\rm S}_n\\&={\rm F}(x_1,\,y_1)\Delta{\rm S_1+F}(x_2,\,y_2)\Delta{\rm S_2+\cdots+F}(x_n,\,y_n)\Delta{\rm S}_n\end{align}\] 을 만들자. 여기서 \(\Delta{\rm S}_i\)는 각 소영역 \({\rm D}_i\)의 면적을 나타낸다. 이 분할을 \(\rm D_i\)의 면적이 0에 수렴하도록 세분할 때 합 \({\rm S}_n\)이 일정한 극한치 \(\rm S\)에 한없이 가까이 갈 때, 즉 \[{\rm S}=\lim_{n\to\infty}{\rm S}_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n{\rm F(P}_i)\Delta{\rm S}_i\] 일 경우, 함수 \({\rm F}(x,\,y)={\rm F(P)}\)는 영역 \(\rm D\)에서 적분가능(積分可能) 이다 라고 한다. 극한치 \(\rm S\)를 \[\iint_{\r...

1. 다음 각 곡선 및 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이 를 구하여라. (1) \(a^2y=x^2(x+a)\) \((a>0)\) 및 \(x\)축 (2) \(y^2=4ax\) 및 \(x^2=4ay\) \((a>0)\) (3) \(y^2=4a(x+a)\) 및 \(y^2=4b(b-x)\) \((a,\,b>0)\) (4) \(x^2=4ay\) 및 \(y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}\) (5) \(y^2=(x-a)(x-b)^2\ (0<a<b)\) (6) \(y=x^2,\,y=x\) 및 \(y=2x\) (7) \(y=x\ln{1\over x}+(1-x)\ln{1\over1-x}\ (0\le{x}\le1)\) 및 \(x\)축 (8) \(ax^2+2hxy+by^2+c=0\ (ab-h^2>0,\,bc<0)\) (9) \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) 상의 한 점을 \({\rm P}(x,\,y)\), 정점을 \(\rm A\)라 할 때 호 \(\rm AP\)와 \(\rm OA,\,OP\)로 싸인 부분 (10) \(16a^4y^2=b^2x^2(a^2-2ax)\ (a>0,\,b>0)\) (11) \(r=a(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\) (12) \(r\cos\theta=a\cos2\theta\) (13) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 및 \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\ (a,\,b>0)\)의 공통부분 (14) \(r=a(1-\cos\theta),\,r=a(1+\cos\theta)\)의 공통부분 (15) 연주형 \(r^2=2a^2\cos2\theta\)의 내부에 있고 원 \(r=a\)의 외부에 있는 부분 (16) \(y^2(2a-x)=x^3\) 및 \(x^2+y^2=2ax\)로 싸인 3개의 유한 부분 <풀이> (1) 주어진 곡선은 \(x=-a\)와 \(x=0\)에서 \(x\)축과 만...

< 문제 > \(\rm ABCDEF\)는 정육면체이다. \(\rm BM=4,\,MR=2\) 일 때 \(\rm RH\)를 구하여라.   < 풀이 > \(\rm R\)로부터 \(\rm ME\) 상에 수선 \(\rm RG\)를 그리면 \(\rm\triangle MCB\)와 \(\rm\triangle MGR\)은 닮은 꼴이다. 주어진 조건으로부터 두 삼각형의 비율은 2:1 이고 \(\rm CB=L\)(한 변의 길이)로 두면 \(\rm RG=L/2\) 이다. 즉, 점 \(\rm R\)과 \(\rm D\)는 일치한다. 따라서 \(\rm RH=RB=6\) 이다.

Airy stress functions 2-D 평형 탄성 문제에 있어서 에어리 응력 함수(Airy stress function) 사용은 매우 유용하다. 여기서는 체적력과 가속도가 없는 경우를 소개한다. 이 경우 2-D 평형 방정식은 다음과 같이 축약된다. \[\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}=0\qquad\frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}=0\] 다음에는 2-D 응력 성분과 연관된 스칼라 함수 , \(\phi\), 즉 에어리 응력 함수를 제안한다. \[\sigma_{xx}=\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\qquad\sigma_{yy}=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\qquad\tau_{xy}=-\frac{\partial^2\phi}{\partial{x}\partial{y}}\] 이 응력 함수는 평형 방정식을 만족한다. \[\begin{gather}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}\right)=0\\\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}\right)=0\end{gather}\] 위의 결과 \(\phi\)의 선택과는 상관 없이 항상 만족한다는 사실이다. 따라서 어떤 함수를 선택해도 해당 문제의 해가 될 수 있다. 단지 해...

어떤 물체의 중심 \(G\)를 지나는 직선 \(g\) 둘레의 관성능률 을  \({\rm I}_g\)라 하고 \(g\)에 평행한 직선 \(g'\) 둘레의 관성능률을 \({\rm I}_g'\)로 두면 \[{\rm I}_g'={\rm I}_g+k^2{\rm M}\] 이다. 단, \(k\)는 \(g\)와 \(g'\)와의 거리이고 \(\rm M\)은 물체의 전체 질량이다. <증명> 아래 그림과 같이 \(g\)를 \(z\)축으로 두자. 또 \(g'\)를 \(z'\)축으로 하는 좌표계  x'y'z'-계를 설정하자. \(yz\)평면과 \(zx\)평면에 관한 2차능률을 각각 \(\rm H_1\)과 \(\rm H_2\), \(y'z'\)평면과 \(z'x'\)평면에 관한 2차능률을 각각 \(\rm H_1'\)과 \(\rm H_2'\)로 두면 \[{\rm H}_1=\int_a^bx^2g(x)dx,\qquad{\rm H}_2=\int_c^dy^2h(y)dy\] 한편 \(x'=x+k,\,y'=y\) 이므로 \[{\rm H}_1'=\int_a^b(x+k)^2g(x)dx,\qquad{\rm H}_2'=\int_c^dy^2h(y)dy={\rm H}_2\] 이다. 따라서 \[\begin{align}{\rm H}_1'&=\int_a^b\left(x^2+2kx+k^2\right)g(x)dx=\int_a^bx^2g(x)dx+2k\int_a^bxg(x)dx+k^2\int_a^bg(x)dx\\&=\int_a^bx^2g(x)dx+k^2{\rm M}={\rm H}_1+k^2{\rm M}\end{align}\] 여기서 중심 \(G\)가 \(z\)축 상에 있으므로 \[\int_a^bxg(x)dx=0\] 도 명백히 \[{\rm M}=\int_a^bg(x)dx\] 도형의 관성능률 식 (1)에 의하여 \[{\rm I}_g'={\r...

원통좌표계 에서 2차 텐서(2nd rank tensor)의 발산을 유도해 본다. 원통좌표계의 델 연산자 \((\nabla)\)를 적용하고 텐서 를 단위벡터 의 형태로 나타내면 다음과 같다. \[\nabla\cdot\boldsymbol\sigma=\left(\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}+\hat\theta\frac{\partial}{r\partial\theta}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot\left(\begin{matrix}\quad\sigma_{rr}\hat{r}\hat{r}+\sigma_{r\theta}\hat{r}\hat\theta+\sigma_{rz}\hat{r}\hat{z}\\+\sigma_{\theta r}\hat\theta\hat{r}+\sigma_{\theta\theta}\hat\theta\hat\theta+\sigma_{\theta z}\hat\theta\hat{z}\\+\sigma_{zr}\hat{z}\hat{r}+\sigma_{z\theta}\hat{z}\hat\theta+\sigma_{zz}\hat{z}\hat{z}\end{matrix}\right)\] 2차 텐서 각 항에 단위벡터의 좌표계 미분 과 적(積)의 미분법 을 이용하여 델 연산자의 성분 을 적용하면 \[\begin{split}&\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sigma_{rr}\hat{r}\hat{r}\right)=\hat{r}\frac{\partial\sigma_{rr}}{\partial r}\\&\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sigma_{r\theta}\hat{r}\hat\theta\right)=\hat\theta\frac{\partial\sigma_{r\theta}}{\partial r}\\&\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sigma_{rz...

[문 제] \(\rm O\)와 \(\rm D\)는 각 원의 중심이다. \(\rm R=6,\,r=3\) 일 때 \(\rm DA\times DB\)를 구하여라. <풀이> \(\angle{\rm ADO}=a,\,\angle{\rm ADB}=b,\,\angle{\rm BDT}=c\)로 두면 \[\angle{\rm TBD}={\pi\over2}-c,\,\angle{\rm BAD}={\pi\over2}-c-b,\,\angle{\rm ABO}={\pi\over2}+a-b-c,\,\angle{\rm DBO}=a+b\] 한편 \(\angle{\rm ABO}+\angle{\rm DBO}+\angle{\rm TBD}=\pi\) 이므로 \(a=c\) 이다. 따라서 \[{\rm DA\times DB=2R}\cos{a}\left(r\over\cos{a}\right)=36\]

정의 1. 두 개의 벡터 \({\bf a}, {\bf b}\)에 대하여 다음과 같은 크기와 방향을 갖는 벡터 \(\bf c\)를, \(\bf a\)와 \(\bf b\)의 외적(外積) 또는 벡터적 이라 말하고, \({\bf a}\times{\bf b}\) 또는 \([{\bf a},\,{\bf b}]\)로 나타낸다.   \({\bf c}={\bf a}\times{\bf b}\)의 크기 : 점 \(\rm O\)를 시점으로 해서 \({\bf a}=\rm OA,\,{\bf b}=OB\)를 만들 때, \(\rm OA\)와 \(\rm OB\)를 두변으로하는 평행사변형의 면적. \({\bf c}={\bf a}\times{\bf b}\)의 방향 : 벡터 \({\bf a},\,{\bf b}\)에 수직이고, \(\rm OA\)를 \(\rm O\)의 주위에 \(\pi\) 이하의 각 \(\theta\) 만큼을 회전해서 \(\rm OB\)에 겹치게 할 때, 오른쪽 나사 의 진행하는 방향. 특히, \({\bf a},\,{\bf b}\)가 평행할 때나 어느 한쪽이 영벡터 일 때는 \({\bf a}\times{\bf b}={\bf 0}\)로 한다. [ 주의 ] \(\theta\)를 벡터 \(\bf a\)와 \(\bf b\)가 이루는 각이라 할 때, \(\rm OA,\,OB\)를 두변으로 하는 평행사변형의 면적은 \(|{\bf a}||{\bf b}|\sin\theta\)와 같다. 이것이 \(|{\bf a}\times{\bf b}|\) 이다. 정리 1   (외적의 성질) (i)   \({\bf a}\times{\bf a}={\bf 0}\) (ii)  \({\bf a}\times{\bf b}=-{\bf b}\times{\bf a}\) (iii) \((t{\bf a})\times{\bf b}={\bf a}\times(t{\bf b})=t({\bf a}\times{\bf b})\) (iv) \({\bf a}...