야코비언 행열식 (Jacobian Determinant)

\(x\)와 \(y\)가 각각 \(u,\,v\)의 함수 \(x=g(u,\,v),\,y=h(u,\,v)\) 일 때 야코비언 행열식(Jacobian) Determinant) \(J\)는 다음과 같다.

\[J=\left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}\right|\]

독일 수학자 Carl Gustav Jacob의 이름을 딴 야코비언 행열식(혹은 야코비언)은 다중 치환적분 시에 사용된다. 이해를 쉽게하기 위해 단일변수의 미적분을 생각해 보자. 어떤 함수 \(f(x)\)의 적분이 있고 \(x=g(u)\)로 치환할 경우 다음 식을 얻는다:

\[\frac{\partial x}{\partial u}=g'(u)\]

이 식은 정리하면 \(dx=g'(u)du\) 이다. 이 식을 원 적분식에 대입하면:

\[\int f(x)dx=\int f(g(u))g'(u)du\]

치환을 위해 곱해진 \(g'(u)\) 항은 본질적으로 다변수 미적분의 야코비언이다. 실제로 이중적분의 치환도 이것과 비슷한 형태로 표현된다:

\[\iint_Rf(x,\,y)dxdy=\iint_Sf(g(u,\,v),\,h(u,\,v))dudv\]

여기서 \(J(u,\,v)\)는 야코비언으로 알려진 그것이다.

야코비언 유도 (Jacobian Derivation)

\(uv\) 좌표계의 미소면적 \(dudv\)가 좌표변환을 통해 어떻게 \(xy\) 좌표계의 \(dxdy\)로 변환되는지 알아 본다. 아래 그림 왼쪽과 같이 각 변의 길이가 \(du\)와 \(dv\)로 이루어진 미소 사각형을 생각한다. 이 사각형은 두 개의 벡터항 \((du,\,0)\)와 \((0,\,dv)\)로 나타낼 수 있고 좌표변환을 통해 어떻게 이 벡터들이 \(xy\) 평면상에서 새로운 미소면적(통상 평행사변형)으로 치환되는지 관찰할 수 있다.

먼저 청색 벡터 \((du,\,0)\)를 보자. \(xy\) 좌표계의 벡터 성분은 \(x\)와 \(y\) 좌표이므로 \(u\)의 미소 변화에 따라 \(x\)와 \(y\) 좌표가 얼마나 변화하는지 알아내면 된다. 이것은 편도함수를 활용하면 되는데 \(u\)의 미소 변화에 따르는 \(x\)의 미소 변화는 \(x\)의 \(u\)에 대한 편미분계수를 곱한 것과 같기 때문이다. \(y\) 좌표에 대해서도 동일하게 하고 조합하면 오른쪽의 새로운 청색 벡터를 얻을 수 있다. 같은 방법으로 적색 벡터 \((0,\,dv)\)를 변환하면 \(xy\) 평면 상의 새로운 적색 벡터를 얻을 수 있다.

이제 두 벡터로 이루어진 평행사변형의 면적은 그 벡터들의 외적과 같다. 그러므로 새로운 미소 면적은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

\[\begin{align}dxdy=dA&=\left|\left(\frac{\partial x}{\partial u},\,\frac{\partial y}{\partial u}du\right)\times\left(\frac{\partial x}{\partial v}dv,\,\frac{\partial y}{\partial v}dv\right)\right|\\&=\left|\left(\frac{\partial x}{\partial u},\,\frac{\partial y}{\partial u}\right)\times\left(\frac{\partial x}{\partial v},\,\frac{\partial y}{\partial v}\right)\right|dudv\\&=\left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}\right|dudv=J(u,\,v)dudv\end{align}\]

\(dxdy=dA=J(u,\,v)dudv\) 라는 사실을 상기하면 위의 행열식이 \(J(u,\,v)\)라는 것을 알 수 있다.