2중적분의 계산

영역 \(\rm D\)에서의 2중적분은 \(\rm D\) 위에서의 반복적분과 같다.

[예제 1] 다음의 2중적분을 구하여라.

(1) \(\iint_{\rm D}xyds\qquad\quad\ {\rm D}:x^2+y^2\le a^2,\quad x\ge0,\ y\ge0\ (a>0)\)

(2) \(\iint_{\rm D}\left({x\over a}+{y\over b}\right)ds\ \ {\rm D}:{x\over a}+{y\over b}\le1,\quad\ \ x\ge0,\ y\ge0\ (a,\,b>0)\)

(3) \(\iint_{\rm D}(x^2+y^2)ds\ \ {\rm D}:x+y\le1,\qquad x\ge0,\,y\ge0\)

<풀이>

(1) \(\iint_{\rm D}xyds=\int_0^a\int_0^\sqrt{a^2-x^2}=\int_0^a\left[{xy^2\over2}\right]_{y=0}^{y=\sqrt{a^2-x^2}}dx={1\over2}\int_0^a(a^2-x^2)dx={1\over2}\left[{a^2x^2\over2}-{x^4\over4}\right]_0^a\)

                         \(={a^4\over8}\)

--- under construction ---